2024年高考数学一轮复习讲义：重点突破之数列（习题含解析）

蠹器数列

核心突破•题型剖析

题型一等差)等比婀娱汇

例1已知｛圆｝为等差数列，前〃项和为S(“©N*),｛况｝是首项为2的等比数歹U，

且公比大于0,历+。3=12,b,i—dA—2a1,Sn=llZ?4.

(1)求｛圆｝和｛加｝的通项公式;

(2)求数列仅2疝21｝的前n项和(〃©N*).

解(1)设等差数列｛外｝的公差为d,等比数列｛瓦｝的公比为外

由已知。2+。3=12,得。i(q+/)=12,

而61=2,所以q2+g—6=0.

又因为q>0,解得q=2,所以劣=2".

由i>3=a4-2ai,可得3d—ai=8①，由Sn=lll>4,可得ai+5d=16②，联立①②,

解得tn-:1,d—3,由此可得a“=3〃-2.

n

所以数列｛为｝的通项公式为an=3n-2,数列｛儿｝的通项公式为bn=2.

(2)设数列｛02疝2〃一1｝的前几项和为£,由。2"=6〃-2,岳"—1=2X4"T,有42疝2”-

1=(3〃一1)X4",故

23,!

7；)=2X4+5X4+8X4H---F(3n-l)X4,

47^=2X42+5X43+8X44H---h(3n-4)X4n+(3n~1)X4/,+1,

上述两式相减，得-34=2X4+3X42+3X43]---卜3X4”—(3〃-1)X4仆1

12X(1-4")

4-(3n-l)X4n+1

1-4

-(3n-2)X4w+1-8.

得4=当二><4"+1+专.

3n—2Q

所以数列｛。2“。2”1｝的前n项和为一—x4,,+1+g.

感悟提升等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前〃

项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.

训练1已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为的，公差dWO,z是.，05的等比中项,

55=25.

(1)求｛0,｝的通项公式；

(2)若数列｛瓦｝满足bn-\-bn+l=Sn＞求。2—岳0.

解(1)：(22是0,45的等比中项，

'.ai—aias,••(ezi+d)2=((zi+4J),

••cP=2aid.

又•.'dWO,d=2ai,①

S5=5ai+104/=25,②

由①②解得ai=l,d=2,

.n(l+2n-1)

••cin―2n1,Sn―-n~9.

(2)：瓦+况+1="，

当"三2时，bn-i+bn=(n—I)2,

.**bn+i—bn-i=2n—1,

"4-62=2X3—1,

"6—04=2X5—1,

,V

<b20—Z?i8=2X19—1,

一9(5+37)

••bio—bi=2=189,

bi-。20=—189.

题型二数列与不等式的交汇

9

-

例2(12分)(2021•浙江卷)已知数列｛z｝的前n项和为Sn,ai=4且4Sn+l=3Sn

一9(〃©N*).

(1)求数列｛z｝的通项公式；

(2)设数列｛瓦｝满足3瓦+(〃-4)a"=0(〃GN),记｛加｝的前n项和为7k若4W2数

对任意〃©N*恒成立，求实数7的取值范围.

［规范答题］

解（1）因为4S"+i=3S〃-9,

所以当“22时，4Sn=3Sn-l-9,

两式相减可得4m+1=3或，即等=*...............2分

Cln4

,9127

当〃=1时，4s2=”—^+。2）=—彳一9,

解得。2=一得所以MV

所以数列｛。,｝是首项为一9木公比为3;的等比数列，

o3,!1

所以a”=—[X|jJ=—彳7...................................4分

(2)因为3及+(〃一4)飙=0,

所以瓦=(“一4)•售)...............5分

所以4=—3x1—2Xg)—ixg)+0xg)H4>g),

2345

所以|〃=—3X0—2X0)+°x(l)+…+5—5)•(|

+(…鼠..................................7分

—(n—4)-

⑶"+1

所以〃=—472・5................................9分

因为丸儿对任意〃©N*恒成立，

所以一4>0恒成立，

即一3〃W2（〃一4）恒成立.

12

当X4时，3一口,此时7W1；

当〃=4时，一12W0恒成立；

—3〃12

当〃>4时，丸三~=-3—'T,此时丸—3.

n—4n—4

所以一3W7W1,即实数7的取值范围为［—3,1］................12分

答题模板

第一步根据题目条件，求出数列的通项公式

第二步根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项

相消法、错位相减法等)求和

第三步利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围

第四步反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤

训练2已知正项数列｛m｝的前〃项和为S",且ai=2,4s"=0@+i(〃dN*).

(1)求数列｛而｝的通项公式；

(2)设数列［以的前〃项和为乙，求证：了篇

(1)M'：4Sn=anan+l,〃GN*,

又。1=2,・・。2=4.

当"22时，4Sn-l=Ctn-lCln,得4an~UnCln+1—Cln-lCln.

由题意知小WO,・・Q〃+I—o〃_i=4.

当n=2k+l,左©N*时，a2k+2~a2k=4,即ai,OA,,,,,a2k是首项为4,公差为4

的等差数列，

：.a2k=4+(k~l)X4=4k=2X2k；

当n=2k,左©N*时，。2后+1—。2斤—1=4,

即ai,而，…，Q2I是首项为2,公差为4的等差数列，

=2+(左一1)X4=4左一2=2(2左一1).

综上可知,an=2n,«GN*.

(2)证明•*$>4"J+1)

=平—力

n+1/

XT+TT+…+D

41n+lj4n+4-

又.」=」_<」_=_______二一一二一）

*an4〃24咒2一1（2〃-1）I_（_2〃_+_l）J2x2n—l2n+lJ,

•••T+5+…

¥一出T+…+出厂Sr）

十一六日

〃1

即得口<〃<,

题型三数列中的结构不良试题__________

例3在①忌+1=/（2。厂5a〃+i）,且。“>0；②S”2Sn+i,3s〃+2成等差数列，且

S2=,；③2S〃+a〃一/=0（/为常数）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并给出解答.

问题：已知数列｛或｝的前〃项和为S”，tzi=1,,其中“GN*.

（1）求｛m｝的通项公式；

（2）记bn=\og^an+i,求数列｛丽况｝的前n项和为Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解（1）选择条件①：

因为后+1=手历（2白〃-5斯+1）9

所以3品+1+5。力。九+1—2晶=0.

所以（3Q〃+I—。〃）（。〃+1+2Q〃）=0.

因为。〃>0,所以3如+1—。"=0,即色包=4.

UnJ

所以数列｛如｝是首项0=/公比的等比数列.

n

所以a〃=arq〃

选择条件②:

因为S",2Sn+l,3S〃+2成等差数列,

所以S〃+3S"+2=4S”+I.

所以3(Sn+2-Sn+l)=Sn+1~Sn,

即3。〃+2=。〃+1.

4111

又S2=g,a\=y所以。2=§=gm,

所以号」=*〃eN*）.

UnJ

所以｛m｝是首项ai=/公比q=g的等比数歹人

所以防=arq"T=*a=（j）.

选择条件③：

因为2S.+Z—1=0（7为常数），

所以当nN2时，2S〃—i+z—i—1=0.

两式相减得2（S〃一S〃_i）+a〃一〃八_1=0,

即3。〃=。〃-1（几22）.

y1an1,w

又。i=f,（〃32）,

3an-i3

所以｛词是首项ai=g,公比q=；的等比数列.

_1⑴"1

所以Qi=arq"1=y(jJ

(2)由(1)知a所以bn=\o^-an+\=n+l,

n3

所以an-bn=(n+l)

1

1S+…+〃Q)+("+1)冏，①

所以Tn=2义+3X

l^=2X(j+3XQ[+…+(〃+l>q).②

①—②得2利

=3+[©+G[+…l)g)

52〃+5

6—2.3,,+1,

匕匕2丁52n+5

所以Tn=^—^-

感悟提升高考中结构不良题的解法

(1)先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析''动"条件，

结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.

(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之

处选择更适合自己的条件进行解答.

训练3(2021.葫芦岛二模)已知首项为2的数列｛服｝中，前〃项和S满足S尸勿2

十几«£R).

(1)求实数t的值及数列｛飙｝的通项公式z；

(2)从①及=一■一,②瓦=2斯十斯，③瓦=2Q〃S三个条件中任选一个补充在下面

anan+\

问题中并求解.若,求数列｛瓦｝的前〃项和7k

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解⑴令〃=1得Si=，+1=2,所以1=1.

因为5=/+〃，所以当〃三2时，

Sn-\—(n—l)2+n—1,

=22

所以an—Sn—Sn~in-\~n—[(n—l)+(n—l)]=2n,(n22)

当〃=1时，经验证符合上式，所以诙=2〃.

(2)右选①'bnan(2n+x2n,2(n+1)4n(n+1)4[几n+

所以4=61+历+…+瓦

二W1~2^2~3^

4(n+lj4/z+4,

若选②，bn~Cln+2,Un=2n+4",

所以7；=(2+41)+(4+42)H-----H(2«+4n)

=(2+4+6H-----H2H)+(4+42H------H4«)

n(2+2n)4(1—4")

=2+-1^4-

44w+14

=〃(〃+1)+](4"—l)=n2+n+^——

若选③，瓦=2Q〃♦〃”=2〃,4",

7；=2X41+4X42+6X43H-----P2〃♦4〃，

则4LZ=2X42+4X43+6X44H----P2A4"+I,

8(1—4〃)

两式相减得一〃一〃・华

34=2X41+2*42+2x43H----P2X42+i~1-4

8(1—4")

2〃.4"+1]=-一2几+11,

,,8(1一4〃)In

故Tn=----g------+yX4n+1.

I分层训练•巩固提升

05＞础巩固

1.(2020•全国III卷)设等比数列｛斯｝满足〃1+。2=4,〃3—〃I=8.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)记&为数列｛log3Z｝的前〃项和.若SW+SM+1=SM+3,求利.

解(1)设｛4〃｝的公比为q,则an=aiqn~i.

因为。1+。2=4,Q3—。1=8,

+mq=4,Qi=1,

所以《解得＜

,〃iq2—QI=8.0=3.

n

所以｛。〃｝的通项公式为an=3~\

⑵由⑴知10g3〃〃=〃-L

所以数列｛10g3或｝是首项为0,公差为1的等差数列,

(〃一1)〃

因此S”=-2’

由于Sm~\~Sm+1=Sm+3,

得m(m-l)+(m+l)m=(m+3)(m+2),

即nr—5m一6=0.

解之得m=6或机=一1(舍去).

所以实数m的值为6.

2.设数列｛a”｝满足ai=1,tZ/i+i—a”=2,3"1.

(1)求数列｛圆｝的通项公式；

(2)令及=(2〃+1)或，求数列｛瓦｝的前〃项和Sn.

解(1)由已知,当时，斯一(一1=已3『2,

a”=ai+(。2—。1)+(。3-ai)+,,,+(an—an-i)

]—3"1

=l+2(l+3+32H---F3^2)=1+2X———=3^',

1—J

当〃=1时，/=1符合上式，所以服=3"一，"GN*.

⑵由⑴知况=(2〃+1)诙=(2"+1>3〃-1,

S"=3X3°+5X3iH---l-(2n+l)-3n-1,①

l

3Sn=3X3】+5X32H---F(2n-l)-3^+(2n+1)-3\②

①一②得一2S”=3+2(3i+32d---F3『i)一(2〃+1〉3"

=2(1+3H---F3"T)一(27/+1>3"+1

1—3”

=2X^y-(2n+l)•3〃+l=—2〃-3".

所以"©N*.

3.①对任意〃>1,“GN*满足&+1+S-1=2(的+1)；②S〃+i—2=S〃+a”5©N*)；

③的=W"+i—〃(〃+1)(咒@N*).从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并

解答.

问题：已知数列｛斯｝的前〃项和为S”s=4,,若数列｛z｝是等差数歹U,

求出数列｛外｝的通项公式；若数列｛m｝不是等差数列，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解若选择条件①：因为对任意”>1,“GN*,满足S”+i+S-i=2(S〃+l),

所以Sn+1~Sn=Sn~Sn-l~\-2,

即Cln+1—Cln=2,

因为无法确定m的值，所以Q2—Ql不一定等于2,

所以数列｛z｝不一定是等差数列.

若选择条件②：由S计1—2=Sn~\~an,则Sn+l—Sn—Cln=2,即an+l—Cln=2,〃£N*.

又因为Q2=4,所以QI=2,

所以数列｛z｝是等差数列，公差为2,因此数列｛斯｝的通项公式为访=2几

==

若选择条件③:因为Snnan+i—n(n+l),所以Sn-i(n—l)an—(n—l)n(n^2,

〃£N*),

两式相减得，Un~TlCln+\—(M—1)Q〃一2几(〃三2),即Cln+1—。〃=2(〃22).

又Si=〃2—2,即。2—6/1=2,所以痴+1—cin=2,〃£N*.

又。2=4,CL2—。1=2,所以01=2,

所以数列｛z｝是以2为首项，2为公差的等差数列，所以z=2+2(〃-1)=2几

4.各项均为正数的数列｛丽｝的前n项和为Sn,S〃=(晶+；丽(〃©N*).

⑴求an；

an,几为奇数,

(2)令瓦=L//田*金=历，4(〃£N*),求｛金｝的前〃项和7k

b~,几为偶数,

[2

解(1)QI=Si+；〃in；*一=0,

因为ai>0,故6/1=2；

当〃22时，an—Sn-Sn-\

;（温一忌—1）-3（痴+酸-1）=°，

即（厮+。〃-1）（如一厮-1-2）=0.

因为如>0,所以的一如_1=2,即｛如｝为等差数列,

所以z=2〃（〃£N*）.

（2）CI=/?6=Z?3=B=6,C2=bs=b4=b2=bi=ai=29

时，Cn=Z?2n+4=b2n~1+2=Z?2n-2+1=a2n~2+1=2W-1+2,

此时，^=8+(22+2)+(23+2)H---|-(2w-1+2)=2/!+2n；

当〃=2时，72=22+2X2=8=CI+C2.

J6,n=l,

所以“一(2"+2〃，〃巳2且〃©N*.

|B级能力提升

5.已知等差数列｛aQ的公差为-1,且(22+47+02=-6.

(1)求数列｛厮｝的通项公式金与前〃项和Sn-,

(2)将数列｛◎｝的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛况｝

的前3项，记｛瓦｝的前〃项和为4,若存在机©N*,使对任意〃©N*,总有的

〈得十丸恒成立，求实数丸的取值范围.

解(1)由<22+07+02=—6,得47=—2,

・・Q1=4,

n(9一〃)

••Un=5—Yly从而Sn~2-

(2)由题意知Z?i=4,历=2,历=1,

设等比数列｛从｝的公比为q,则q=£=T，

随机增加而递减,

.•.｛，,｝为递增数列，得4WT”,<8.

一n(