浙江省金砖联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题 含解析

浙江省金砖联盟2024学年第一学期期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合补集的概念即可求解.【详解】，，所以.故选：D2.下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义依次判断各个选项.【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误；对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误；对于C，即，满足函数的定义，故C正确；对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误.故选：C.3.已知幂函数为偶函数，则实数的值为（）A. B. C.1 D.或1【答案】C【解析】【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值.【详解】由题意，，即，解得或，当时，是偶函数，满足题意，当时，，，没有奇偶性，不合题意，所以.故选：C.4设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】，因为函数为增函数，所以，，所以.故选：A.5.已知，，且，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.9【答案】A【解析】【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解.【详解】，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5.故选：A.6.已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1200万台（参考数据:）（）A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年【答案】B【解析】【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案.【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆．由题意可得，．经过6年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆，即到2029年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆．故选：B．7.已知函数，则的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数的奇偶性，再利用函数值的正负逐一排除即可.【详解】∵，∴，定义域关于原点对称，故是偶函数，排除A，当时，，即，当时，又有，因此，排除B，C.故选：D．8.已知函数，若，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】A【解析】【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，因为，所以，两边平方后化简即可.【详解】函数定义域为，，因为，所以函数的图象关于直线对称，令，则且在上单调递增；函数时单调递减，在时单调递增，故当时等号成立，此时；又在上单调递增；由复合函数单调性知，上单调递减，在上单调递增；又因为，所以，两边平方得，即若，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：将函数变形为，判断出函数的图象关于直线对称，以及在上单调递减，在上单调递增是解决本题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据奇函数的定义，结合函数单调性的性质、对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A，因为是偶函数，不合题意，故A错误；对于B，是奇函数，且在上单调递增，故B正确；对于C，函数，当时，，而时，，所以在上不单调递增，故C错误；对于D，令，因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以是奇函数，故D正确.故选：BD.10.已知，均为正实数，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】对A，C，利用基本不等式可判断；对B，D，利用作差比较法判断.【详解】对于A，，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，，则，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D，，，，即，所以，即，故D错误.故选：AB.11.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数，，若，，则（）注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）.A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据及的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若，则，，，满足，若且，则，，，满足，若且，则，，，满足，

若且，则，，，满足，综上，可得，故A正确；对于B，由于，所以，所以，故B错误；对于C，，，，又，所以，所以，故C正确；对于D，因为，当时，此时，中至少有一个为1，所以，当时，此时，均为0，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是利用以及的定义，得到时，，中至少有一个为1，时，此时，均为0，运算得解.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数定义域为_________．【答案】【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，解得，所以的定义域为.故答案为：13.命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由“，”假命题得到“，”为真命题，然后分类讨论和两种情况，列不等式求解即可.【详解】“，”为假命题则“，”为真命题，①当时，，成立；②当时，，解得；综上所述，.故答案为：.14.已知，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】令，画出fx的图象，要使函数有5个不同的零点，即函数有两个零点即，或，，再结合二次函数根的分布即可求解.【详解】令，画出fx的图象，如下图，要使函数有5个不同的零点，即函数有两个零点，或，，当，时，即，所以有两根和，符合题意；当，时，又因为，所以，解得.综上所述：的取值范围为.【点睛】方法点睛：根据函数的解析式画出函数，再通过换元法得出令，再结合函数的图象求出符合题意的的范围，再利用二次函数根的分布即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算求值：（1）；（2）若，求值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质结合根式的运算性质可得答案.（2）将已知条件多次平方，整体代入即可求解【小问1详解】原式【小问2详解】由，则，则，所以，则，所以.16.已知集合，函数的定义域为.（1）求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数有意义，解不等式从而求出其定义域；（2）根据条件得出集合与集合间的关系，从而求解.【小问1详解】由题意，，即，解得，.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，当即，即时，合题意；当时，有，解得，综上，实数的取值范围为.17.是定义在区间上奇函数，且，若，，时，有.（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性；（2）不等式先对恒成立得到，再由对恒成立，可求得实数的取值范围.【小问1详解】取任意，且；由是定义在上的奇函数，可得，又因为对任意的且时，有成立，所以，且；因此可得，即.所以在上单调递增；【小问2详解】由（1）可知，在上的最小值为，因为对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，令，即对成立，的对称轴为所以或，即或，解得或所以实数的取值范围为.18.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）解不等式；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）0,1（3）【解析】【分析】（1）由奇函数定义得f−x=−fx（2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可；（3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围.【小问1详解】函数中，，因为为奇函数，所以f−x=−fx整理得，所以.【小问2详解】由（1）可知，其定义域为，由得，即，整理得，解得，所以不等式的解集为0,1.【小问3详解】由（2）知，，当时，，故，所以在上值域为，又，，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上值域为，因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.19.对于四个正数，，，，若，那么称是的“不足序列”.（1）对于3，4，5，7，试求的“不足序列”；（2）对于四个正数，，，，若是的“不足序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由；（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“不足序列”，且是的“不足序列”，求：正整数的最小值.【答案】（1）（2），理由见详解（3）【解析】【分析】（1）根据新定义直接求解；（2）利用作差法比较大小即可；（3）根据“不足序列”的定义列出不等式组，