对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第04讲对数与对数函数

（含对数型糖水不等式的应用）

（8类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

判断指数函数的单调性

2024年新I卷，第6题,5分判断对数函数的单调性

根据分段函数的单调性求参数

2024年新II卷，第8题,5分由对数函数的单调性解不等式函数不等式恒成立问题

对数函数模型的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数的运算性质的应用

对数函数的单调性解不等式

2021年新II卷，第7题,5分比较对数式的大小无

2020年新I卷，第12题,5分对数的运算随机变量分布列的性质

2020年新II卷，第7题,5分对数函数单调性复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6

分

【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或

常用对数

2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点

3.熟练掌握对数函数^=108“》伍〉0且。/1）与指数函数^=罐（。〉0且。01）的图象关

系

【命题预测】本节内容通常会考查指对累的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备

考复习

知识点1对数的定义

知识点2对数的分类

知识点3对数的性质与运算法则

知识点4对数函数的定义及一般形式

知识点5对数函数的图象与性质

考点1对数的运算

考点2对数函数的定义域

考点3对数函数的图象与性质

考点4对数函数的单调性

核心考点考点5对数函数的值域与最值

考点6对数函数中奇偶性的应用

考点7对数函数值的大小比较(含构造函数比较大小)

考点8对数型糖水不等式的应用

知识讲解

1.对数的运算

(1)对数的定义

如果a*=N(a〉O且awl),那么把龙叫做以a为底，N的对数，记作x=log“N,其中a叫做对数的底

数，N叫做真数

(2)对数的分类

一般对数：底数为a>0,且。力1,记为log。N

常用对数：底数为10,记为IgN,gp：log10x=1gx

自然对数：底数为e(e^2.71828…)，记为InN,即：logex=Inx

(3)对数的性质与运算法则

①两个基本对数：①log"1=0,②log“a=1

②对数恒等式：①a'。"=N，②log,/=N。

,,log"IgblnZ)

③换底公式：log„b=-----=--=-—；

logfaIgama

推广1：对数的倒数式logflb=——nlogflb•logba=1

10gz.a

推广2：logflblogfeclogca=l=>logflb10gziclogcd=logfld。

④积的对数：log“(〃N)=logaM+log°N；

⑤商的对数：log。W=log”M—log。N；

⑥幕的对数：❶log“A"'=机log“b,❷log„Z）=-logZ）,

ana

m—n

m

❸log."b"'=—logflb,❹log”b=log"b

na7

2.对数函数

（1）对数函数的定义及一般形式

形如：y=logax（a〉0且awl,x〉0）的函数叫做对数函数

（2）对数函数的图象和性质

a>\0<Q<1

yA1

图

象二

O!(1,0)X

定义域：（0,+8）

值域：R

性当x=l时，了=0即过定点（1,0）

质当0cx<1时，yG(-00,0)；当x>l时，ye(—oo,0)；

当x>l时，ye(0,+co)当0<x<l时，ye(0,+oo)

在（0,+co）上为增函数（5）在（0,+oo）上为减函数

3.对数型糖水不等式

⑴设n&N+,Kn>l,则有log„+1«<log„+2(«+l)

(2)设a>b>l,m>Q,则有logfl6<logfl+m(Z)+m)

⑶上式的倒数形式：设a>b>T,m>0,则有logfca>logA+m(a+m)

考点一、对数的运算

典例引领

1.(2024・重庆・三模)已知a=log25,8=5",则必=.

2.(2024・青海•模拟预测)若a=log35,5b=6,则M-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

”,t满足5叫=7"=/且,+1=2,则，=

3.（2024・四川•模拟预测）若实数加，

mn

A.2GB.12C.MD.V35

即

2

1.（2024•河南郑州・三模）己知log/+410g/=4,则£_的值为_________

2b

115

2.（2024•全国•|Wj考真题）已知且■]；~7=—,贝U.

3.(2024•辽宁丹东•一模)若*3,N=5,5c=4,则log4abe=()

]/?

A.-2B.-C.—D.1

22

考点二、对数函数的定义域

典例引领

1.（2024•河南•三模）函数/（x）=Jln（l-x）的定义域为（）

A.（-oo,0]B.（-8,1）C.[0,1）D.[0,+oo）

即0唧（

1.（2023•广东珠海•模拟预测）函数"x）=lg（2x-l）的定义域是（）

A.B.五]C.卜词D-[r+0°

2.（2024•青海海南•二模）函数/3=坨（1°一.的定义域为（）

A.（-Vi（）,VTo）B.（-oo,-Vw）u（Vio,+oo）

c.[-Vio,Vio]D.（-Vio,o）u（o,Vio）

考点三、对数函数的图象与性质

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数①y=logax；②y=logbx；③y=logcx；④y=logdx的大致图象

如图所示，则下列不等关系正确的是（）

A.a+cVb+aB.〃+dV6+c

C.b+cVa+dD.b-\~d<a+c

2.（2024•广东深圳二模）已知。>0,且则函数y=log，x+j1的图象一定经过（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

3.2024•陕西渭南•二模）已知直线2机x+即一4=。（m>0,〃>0）过函数歹=log。（％—1）+2（〃〉0,且awl）

的定点T,则2+9的最小值为.

mn

即时削

L（2。24高三・全国・专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数尸?，尸噫（x+1）（4。，且"）

2.（2024•全国•模拟预测）若函数y=log.（x-2）+l（a>0,且aH1）的图象所过定点恰好在椭圆

—+—=1(机>0,〃>0)上，则〃7+"的最小值为.

mn

考点四、对数函数的单调性

典例引领

1.（辽宁•高考真题）函数y=l°g2（/-5x+6）的单调减区间为（）

2

A.l展+力B.（3,+oo）C.（一00'，］D.（—oo,2）

2.（2024•江苏南通・模拟预测）已知函数/5）=111（办+2）在区间（1,2）上单调递减，则实数。的取值范围是

（）

A.a<0B.—l〈a<0C.—1<a<0D.1

—X2—2ax—ax<0

XI,八'八在R上单调递增，则Q的取值范围是（）

1ex+ln（x+l）,x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

4.（2024•北京•高考真题）已知（国,必），（%,%）是函数了=2,的图象上两个不同的点，贝IJ（）

西+x

A.B.2

2

C.log%<玉+、21Pi+%

2D.log2>x[+x2

1.（23-24高三下•青海西宁•开学考试）已知函数/（x）=lg（/+"+l）在区间（-*-2）上单调递减，贝Ijq的

取值范围为.

2.（2022高三•全国•专题练习）函数〃x）=l°gj-2/+3X+2）的单调递减区间为.

5

3.（23-24高三上•甘肃白银,阶段练习）已知/（力=4"一1）二2。,龙,1是区上的单调递减函数，则实数。的

〔log“x,x>l

取值范围为.

考点五、对数函数的值域与最值

典例引领

L（山东•高考真题）函数〃幻=1幅（3、+1）的值域为（）

A.（0,+co）B.[0,+co）C.（1,+s）D.[l,+00）

2.（22-23高三上•河北•阶段练习）已知函数/（x）=lg（办2-6x+5）的值域为R,那么。的取值范围

是.

3.（23-24高一下•上海闵行•阶段练习）函数了=bg/x+2）-x2,xe[2,6]的最大值为.

2

即时性测

1.（2024高三・全国•专题练习）函数/（切=的工+工广€[1,6]的值域为.

2.（2023高一•全国•课后作业）函数＞=108//一6》+17）的值域是.

2

3.（2024高三・全国•专题练习）已知函数〃x）=log2X（lW无＜4）,则函数g（x）=口+了⑺1+/1）的值域

为.

考点六、对数函数中奇偶性的应用

典例引领

L（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=logz（值二-x）是奇函数，则。=.

2.（23-24高一上•安徽阜阳•期末）若函数"xhMe'-eTH'lnk+GTIj+l（加，"为常数）在[1,3]上

有最大值7,则函数“X）在卜3,-1[上（）

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

3.（2024•江苏泰州•模拟预测）已知函数〃x）=log2，-3]+b,若函数的图象关于点（1,0）对称，

则log/=（）

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

即时性测

1.（22-23高二下•江西上饶•阶段练习）已知函数/'（司=丁_111（7?71-@+3,xe[-2023,2023]的最大值为

M,最小值为加，则河+加=.

2.（2024•宁夏银川•二模）若/'（x）=lna+J-+6是奇函数，贝昉=_____.

I-X

考点七、对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小）

典例引领

0,3

1.（2024•天津•IWJ考真题）若。=4.2一°3,b=4.2,c=log420.2,则〃，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

0.7,1

2.（2022•天津•高考真题）已知Q=2°,，bc=log-)则（)

I2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.（2022,全国,jWj考真题）设a=0.1e"」,6=§,c=-ln0.9,贝!!()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.（2021,全国,|Wj考真题）设Q=21nl.01,Z>=lnl.O2,c=VfO4-l.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

即时检测

1.（2021・天津考真题）设a=log"3,b=k>gi0.4,c=0.4。二则公》c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

已知。=logs2,6=log3,c=g,则下列判断正确的是（）

2.（2021•全国伺考真题）8

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

若a=片

3.（2024•全国•模拟预测）b=log147,c=log126,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

51

4.（23-24高三上•河北保定•阶段练习）设a=log34,b=log080.7,c=1.02,则a,6,c的大小关系为

)

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

1012202310132025

5.（2024•山西•二模）设°=I,b=I,则下列关系正确的是（）

ion1012

A.e2<a<bB.e2<b<aC.a<b<e2D.b<a<e2

考点八、对数型糖水不等式的应用

典例引领

1.（2022•全国•统考高考真题）已知夕"=10,a=l（T-ll,6=&"-9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

1.比较大小：log74与log96?

=log2（）24（）

2.（2024・重庆・模拟预测）设a2023,b=log20232022,c=log020240.2023,贝！］

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

『I好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•河北衡水三模）已知集合/={123,4,5},S=|x|-1<Ig（x-l）<||,则（）

A.B.{2,3,4}C.{2,3}D.卜

2.（2024•贵州贵阳•三模）已知。=4°3,6=（1084。）4,。=1。84（1084。），贝！I（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

1

3.（2024•天津滨海新•三模）已知〃=2脸。％6=log042,c=-———,则（）

l°go.3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

4.（2024•江苏宿迁•三模）己知函数〃x）为R上的奇函数，且当x>0时，/«=jlog2x-l,贝lj/（-孤）

（）

5.2024•河北沧州•模拟预测)直线x=4与函数〃x)=logax(«>1),g(x)=log.x分别交于43两点，且|明=3,

2

则函数〃(月=〃幻+8@)的解析式为()

A./z(x)=-log2xB.A(x)=-log4x

C.A(x)=log2xD./7(x)=log4x

6.(2024•江苏盐城•模拟预测)函数N=cosx与^二炮国的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

7.(2024・四川成都•模拟预测)已知定义在R上的奇函数/(x)满足〃x+3)=/(x-l),且当xe(-2,0)时，

/(x)=log2(x+3),则/(2021)-/(2024)=()

—

A.1B.—1C.1lo§2D.—1—log23

二、填空题

8.(2024・湖北•模拟预测)若函数〃x)=ln(e2，-q)-x(xeR)为偶函数，贝巾=.

9.(2024•吉林,模拟预测)若函数/(x)=ln(ox+l)在(1,2)上单调递减，则实数。的取值范围

为.

2X—Ax

ee

10.(2024・四川成都•三模)函数/(x)=ln3的图象过原点，Mg(x)=-+f(x)+m,若g(a)=6,

则g(-a)=.

能力提〜

一、单选题

1.(2024•黑龙江•模拟预测)设函数/(工)=111|'-4|在区间(2,3)上单调递减，贝匹的取值范围是()

A.(—8,3]B.(—8,2]C.[2,+co)D.[3,+oo)

2.(2024•山东荷泽•模拟预测)已知函数/(x)=ln言等1一2(加>0)是定义在区间(。,6)上的奇函数，则

实数6的取值范围是()

A.(0,9]B.(0,3]C.[o]D.

3.(2024•河北•三模)已知6,ce(l,+s),黑，卜怨,~=~，则下列大小关系正确的是()

aInlObml1clnl2

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

4.(2024,广西贵港•模拟预测)已知函数/(x)=log4(4"+l)-gx,若/'(a-1)V/(2a+1)成立，则实数。的取

值范围为（）

44

A.（—8,—2]B.（―8,—2][0,+8）C.[—2,—]D.（—oo,-2]U,+°o）

722

5.（2024•湖北黄冈•模拟预测）已知〃=ln《，6=cos-,。=丁则。也。的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

'_<3

,、4-4J4

6.（2024・陕西安康•模拟预测）已知函数/（x）="XX"43是R上的单调函数，则实数。的取值范围

loga（4x）-l,x>-

是（）

A.（0,1）B.（1,V3]C.（1,V3）D.（1,3）

7.（2024•河北衡水•模拟预测）设。>0,若函数（值71-x）是偶函数，则。=

（）

3

A.yB.-C.2D.3

2

173

8.（2024.湖北黄冈•二模）已知a,b,c,d分别满足下列关系：16-=15,i=log16,logc=-,J=tan-,则

17而15162

a,b,c,d的大小关系为（)

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

二、多选题

(、f0,0<x<1

9.(2024•山东荷泽•模拟预测)已知函数/x=।、，，若a>8>0,且就21,则下列关系式一定成

[Inx,尤>1

立的为()

A.f[ab^=bf(a)B.f(ab)=f(a)+f(b)

C.f^\>f(a)-f(b)D.f(a+b)<f(a)+f(b)+\n2

三、填空题

10.（2024•陕西西安•模拟预测）函数y=log.x+a“T+2（a>0且"1）的图象恒过定点化与，若

m+n=b-kS.m>0H>0,贝|—+—的最小值为.

fmn

真题感赳

115

1.（2024•全国•|Wi考真题）已知〃〉1且^；7=一不，则。=_____

log8«log.42

2.（2024•全国高考真题）设函数/（工）=（工+〃）山（工+6）,若八»20,则/+〃的最小值为（）

£1

A.B.一D.1