中考数学知识点合集

1第一部分教材知识梳理·系统复习知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例（1）按定义分（2）按正、负性分之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如④三角函数型：如实数有理数t0有限小数或 负有有理数t0有限小数或 负有理数}无限循环小数实数无理数正无理数负无理数无理数正无理数负无理数正实数0负实数知识点二：实数的相关概念（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|=.|a-b|=（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0则x=±a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）21000用科学记数法表示为2.1×104；19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是3.14；精确知识点四：实数的大小比较28.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为1＞0＞-2＞-2.3_.知识点五：实数的运算9.见运算乘方几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）（1）计算：1-2-6=-7;(-2)2=4;(2)64的平方根是_±8,算术平方根失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是4,的算术平方根是 .2 ._____零次幂a0=负指数幂a-p=1/ap（a≠0，p为整数）平方根、算术平方根若x2=a（a≥0）,则x=±·a.其中·a是算术平方根.立方根 若x3=a,则x=3a.先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括·号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化知识点一：代数式及相关概念·关键点拨及对应举例式式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.项的次数叫做多项式的次数.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有知识点二：整式的运算式加运(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符不要有漏项.例2(3a－2b－1)6a＋4b＋2.3则(4)同底数幂的除法：am÷an＝a其中m,n都在整数mn=6.m=23m.式乘运(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分-别相乘；②只有一个字母的照(2)单项式×多项式：m(a+b)=ma+mb.(3)多项式×多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加.失分警示：计算多项式乘以多项式时，注注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的代入替换、计算.例a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知识点五：因式分解分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.(1)因式分解要分解到最后结果不能再分(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念（1）分式：形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；(3)值为零的条件·：当A＝0，B≠0时，分式＝0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.3.基本性质(1)基本性质（2）由基本性质可推理出变号法则为：由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：4知识点三：分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即→分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式和的最简公分母加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即例：乘法：除法：乘除法乘方：为正整数).混合运算分解后约分.简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意-要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.三、知识清单梳理知识点一：二次根式关键点拨及对应举例 （1）二次根式的概念：形如va(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等·于0.（3）最简二次根式：①被开方数的因数·是整数，因式是整式（分母中不含-根:号②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0＞1.52.二次根式（1）双重非负性：①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即a≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：时出现在二次根式的被开方数下时，可得(4)商的算术平方根(2)(4)商的算术平方根(3)积的算术平方根-例：计算： =3.14；知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式.例：计算：4.二次根式的乘除法乘法：注意-：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）.运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：四、知识清单梳理知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例本性质(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(3)性质3对称性）若a=b,则b=a.(4)性质4传递性）若a=b,b=c,则a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.(1)若a=b,则a/c=b/c.(×)·(2)若a/c=b/c，则a=b.(6的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程.(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.(4)二元一次方程组的·解：二元一次方程组的两个方程的公共解.在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.元一次方程，则a的值为0.知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x·=-b/a.分子用-括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：已知则x-y的值为x-y=4.方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三：一次方程(组)的实际应用解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组(4)解方程(组)；(·5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称.小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间..①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者·走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.五、知识清单梳理知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2·的整式方程.(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.一元二次方程，则方程的根为－1.7·2.一元二的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.(2)因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法.解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ=b2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根.(2)当Δ=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根.(3)当Δ=b2-4ac<0时，原方程没有实数根.例：方程x2+2x-1=0的判别式等于8，故该方程有两个不相等的别式等于－8，故该方程没有实数根.*4.根与系系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两·个根分别为x1、x2,则x1+x2=-·b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22x1x2x1x2前提条件时△=b2-4ac≥0.知识点三：一元二次方程的应用4.列一元程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答.运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.六、知识清单梳理知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例分母中含有未知数的方程叫做分式方程.x+y=-4；③其中是分式方程的8是③.2.解分式方程基本思路：分式方程方程两边同乘以最简公分母约去分母整式方程例·：将方程转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).解法步骤：·(1)去分母，将分式方程化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去.3.增根使分式方程中的分母为0-的根即为增根.例：若分式方程有增根，则增根为知识点二：分式方程·的应用4.列分式方程解应用-题的一般步骤(1)审题；(·2)设未知数；(3)列分式-方程；·(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答.在检验这一步中，既要-检验所求-未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥,<,≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a-－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b.±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，.牢记-不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.94.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥ax＞ax≤ax＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，ℼ≤”表示含有，要用实心圆点表示；ℼ＜ℽ，ℼ＞ℽ表示不包含要用空-心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.先分别求出各个不-等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设-a＜b解集数轴表示x≥b大大取大x≤a小小取小a≤x≤b大小，小大中间找无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：等字眼，与方程中设未知数一致.八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征何象限.的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.是否为规则图形，若是，再①关于x轴对称的点P1的坐标为(ab)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－ab).M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂接计算面积的图形来解决.距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|.点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2线上的点的横坐标相等.4.函数的相关概念叫做变量.（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确图像法、解析法.根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义.5.函数的图象②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点①设时间为t（或线段长为x找因变量与t·(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.九、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质1时，称为正比例函数.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k-b＞0（1）一次函数y=kx+b中，k确也可以运用数值代入法.y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”).四四四二、四3.一次函数与与y轴的交点是(0，(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒坐标是（-2,0与y轴交点的坐标是（0,2）.4.确定一次函①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；③解：求出k与b的值，得到函数表达式.求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.如:已知一次5.一次函数图②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b程轴交点的横坐标.轴的交点坐标为（1,0）.>4时，y的值为负数.7射线或线段.涉及最值问题的确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质-关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念取值范围是非零的一切实数.函数是反比例函数.2.反比例函和性质k的符号经过象限y随x变化的情况判断.k>0图象经过第一、三象限每个象限内，函数y的值k<0图象经过第二、四象限每个象限内，函数y的-值3.反比例函数的图象特征（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.“在"、"不在")4.待定系数法例：已知反比例函数图象过点3，-1则它的解析式是y=3/x.5.系数k的几何意义失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达则k＜0.6.与一次函数的综合思想求解.也可逐一选项判断、排除.于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形从小到大的顺序排列为：SAOC=SOPE>S-BOD.7.一般步骤十一、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例数的定义形如y＝ax2＋-bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：·y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组解方程（组求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个若已知抛物线与x轴的两个交3.二次函数的图象和性质（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值比较函数值大小.（2）在自变量限定范围求二能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线开口对称轴坐标增减性最值,,a决定抛物线的开口方在直线x=1的左边，则-b/2a>1，再根据a的符号即可得a、b当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边.c决定抛·物线与y轴的当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2-4ac决定抛物线与x轴的交知识点三：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ=b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ=b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ=b2－4ac＜0，无实·根例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0则关于x的一元二次方程6.二次函数与不等式抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集·;在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.十二、知识清单梳理知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题-目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标·系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.-据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；③根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值1分析问题中的数量关系，列出函数关系式；2研究自变量的取值范围；3确定所得的函数；④检验-x的值是否在自-变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问·题.解决最值应用题要注意两点：要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形1根据几-何图形的性质，探求图形中的关系式；2根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；3利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.十三、知识清单梳理知识点一：直线、线段、射线关键点拨基本事实（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线.（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短.例：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.知识点二：角、角平分线2.概念（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形.（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线例：补角是148°.3.角的度量1°=60′，1′＝60''，1°=3600''4.余角和补角(1)余角：∠1+∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余·角；(2)补角：∠1+∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识点三：相交线、平行线5.三线八角（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.一个角的同位角、内错角或同旁内角可6.对顶角、邻补角（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.7.垂线（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度点B到AC的距离为8.平行线（1）平行线的性质与判定①同位角相等两直线平行②内错角相等两直线平行③同旁内角互补两直线平行（2）平行公理及其推论①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.②平行于同一条直线的两直线平行.的平行线.综合运用.知识点四：命题与证明证明（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.命题.十四、知识清单梳理知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例的分类（1）按角的关系分类ll钝角三角形ll钝角三角形（2）按边的关系分类三边关系.系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°;②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.等腰（边）三角形的性质求解.要线段这个中间量来列方才能够求解.角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）（1）将三角形的面积等分（2）直角三·角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形的规律总结如图①,AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-如图④,BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等.(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.(3)全等三角形的周长等、面积等.失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.全等的判定形全等SSS（三边对应相等）们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.形全(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）SAS,ASA和AAS.等角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图-①,连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②,由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC→∠B=∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两-边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B=∠C，则△ABC是等腰三角形.中线、等腰”四个条件中，只要如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时-，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三-角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC=∠B=∠C＝60°;②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；角形，所以等边三角形也满足②三个角都相等（均为60°)的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B=60°,则△ABC是等边三角形.知识点二：角平分线和垂直平分线分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1=∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上.4.垂直平分形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.知识点三：直角三角形的判定与性质三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A+∠B＝90°;(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2.可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.长度，若斜边不明确，应分类讨往需要结合勾股定理来列方程解决.判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°,则△ABC是Rt△;(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△·ABC是Rt△(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.十六、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例线段那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.质(1)基本性质⇔ad=(2)合比性质：⇔(3)等比性质⇔常用引入参数法，将所有的量都统一用含同可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.分割那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段-AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为知识点二：相似三角形的性质与判定判定(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF.或找底、腰对应成比例.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A=∠D，(3)三边对应成比例的两个三角形相似．如三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例.(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.7.相似三基本模型果.十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义·关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正切:tanA=根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理-解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 12cosA 12tanA331333知识点二：解直角三角形3.解直角三s角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.科学选择解直角三角形的方法口诀：已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°;(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=c已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.知识点三：解直角三角形的应用角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角如图①)(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②)(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角如图③)解直角三角形中“双直角三角形”的（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求-解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.十八、知识清单梳理知识点一：多边形关键点拨与对应举例.多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解.例：(1)若一个多边形的内2.多边形的内(1)内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为每一个外角为360°/n.(3)正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.多边形的边数为10.(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形.知识点二：平行四边形的性质4.平行四边形的定义两组对边分别平行的·四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.利用平行四边-形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.（3）过平行四边形对称中心的任一直·线等分平行四边形的面积及周长.例：EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.5.平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BCD＝180°,∠BAD+∠ADC＝180°.（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD（4）对称性：中心对称但不是轴对称.6.平行四边形中的几个解（1）如图①,AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.（3）如图③,已知点E为AD上一点，根-据平行线间的距离处处相等，可题模型题模型得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.知识点三：平行四边形的判定.平行四边形的判定（1）方法一（定义法两组对边分别平行的四边形是平行四边形.即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,A·D∥BC,则四边形ABCD是□.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形若∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是□.的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可使四边形ABCD为平行四边形.第20讲特殊的平行四边形一、知识清单梳理知识点一：特殊平行四边形的性质与判定-关键点拨及对应举例(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌（2）对角线相等且互=2SABD=4SAOB.角=2SABD=4SAOB（1）定义法：有一个角是直角的平行四（3）对角线相等的平且有一组邻边相等的平行四（4）对角线相等且互相垂直、例：判断正误.对角线互相垂直平分的四边形是包含关系：知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行（2）对角线相等的四边形所得到的中点四（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四四边形（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点5.特殊四边形中的解题模型十九、知识清单梳理知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点·或2点的圆有无数个.（3）任意三·角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.关于垂径定理的计算常与勾股线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：1弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.知识点四：圆周角定理及其推论其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,在圆中求-角度时，通常需要通-过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙OD是⊙O上的度数为130°.∠A=1/2∠O.(2)推论：1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.2直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. 3圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°.二十、知识清单梳理知识点一：与圆有关的.位置关系-关·键点拨及对应举例圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外.判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.线圆位关位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.公共点个数2个数量关系d＞rd＜r知识点二：切线的性质与判定的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是·圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线-段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.DB是⊙O的切·线，果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆接圆相关概念圆心的确定质（2）直角三角形的内切圆（如图b）r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等接应用.切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算二十一、知识清单梳理知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例（1）正多·边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.例：(1)如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边 心距为32，中心角等于（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=90°a:r:R=2::2a:r:R=2:2中心角=120°a:r:R=2:1:2知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长扇形的面积Slr例：已知扇形的圆心角为的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆-锥-的底面周长.在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.为3，圆心则-图中阴影部分的面积为（2）计算公式：,S侧==二十二、知识清单梳理知识点一：图形变换关键点拨与对应举例（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与常见的轴对称图形：等腰三另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称.角形、菱形、矩形、正方形、②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分正六边形、圆等.对称能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后-，对应-角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.的旋转（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等.对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心.（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.的位似（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.知识点二：网格作图与图形的位置及运动平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.B亚卫在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化-的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.例：平面直角坐标系中，有B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线 于坐标轴成对称变换在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等.对称在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.成位似变换在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.知识点一：三视图关键点拨.三视图主视图：从正面看到的图形.俯视图：从