全国重点高中2025届高三年级9月模拟预测数学试题（含答案）

九师联盟•全国重点高中2025届高三年级9月模拟预测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知P：3%<0,3%>1；q：Vx>0,Inx>0,贝!|（）

A.p和q均是真命题B.-ip和q均是真命题

C.p和->q均是真命题D.rp和均是真命题

2.已知集合A={a,|a|},B={x|x2-3x-4<0},若力C\B=A,则实数a的取值范围是（）

A.[-1,1]B.（-1,0）C,[-1,0]D.[-1,0）

3.为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场、超市和集

贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得

了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的

降解率"与时间t（月）满足函数关系式V=a〃（其中a,b为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降

解了20%,经过4个月，降解了60%,那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（）（结果保留整数）（

参考数据：1g3=0.48,1g5«0.70）

A,5个月B.6个月C,7个月D.8个月

4.函数/（%）=3/°953T）的图象大致是（）

/(2023)+/(2024)4-7(2025)=()

A.-2B.0C.-6D.-4

6.已知a>0,h>0,且a+b=1,贝+§的最小值为

A.4B.5C学D.

7.若函数/(%)=+bln(J/+1_%)+3(a>0且。。1,b为常数)在［—c,0］(c为常数)上有最小值一5,

则/(%)在［0,0上()

第1页，共8页

A.有最大值12B.有最大值6C.有最小值-5D.有最小值-8

,ex--x2+3a,0<x<2,

8.若函数/㈤=d+电炉_24久22在(。，+8)上单调递增，则实数a的取值范围是()

.2，一

A.[-y，e]B.[-j,o]C,[-f,o]D,

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知实数a,b,c,d满足aVb<0<c<d,贝！J

A.a+d<b+cB.a2d2>b2c2C.a—d<b-cD.

10.已知函数〃久)=｛二室i；1?；金片。'关于久的方程严⑺一⑺+2避)/(久)+2^2m=0,下列命题正

确的是()

A.若2<机<3,则方程恰有4个不同的解

B.若1<机<2,则方程恰有5个不同的解

C.若方程恰有2个不同的解，则zn〉3或爪=2也

D.若方程恰有3个不同的解，则mWl

11.已知函数/(%)=ax-xlnx+x+2(a〉0且aJ1),/''(%)是f(x)的导函数,则下列命题错误的是()

A.若a=6,则/'’(久)是增函数B.若。=6,则/■(>)是增函数

C.若/Q)有极大值，则a>lD.若/O)有极大值，则0<a<l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知幕函数/'(X)=ax"+。-2的图象经过点(2,8),则a+b+c=.

13.已知定义在R上的函数/1(%)满足:Vx,yER,f(xy)+/(x)/(y)=0,f(x)在[0,+8)上单调递减，

/(-l)=1,则满足|/(x)|<1的％的取值范围为.

14.已知定义域均为D的函数f(x),g(x),若VxeD,/(x)>ax+b>^(x),则称直线y=ax+6为曲线

y=/(刀)和？=g(x)的隔离直线.若/'(久)=x2+x-xlnx-3(x>1),g(x)=-x2+4x-4(x>1),则曲线

y=/0)和，=g(x)的隔离直线的方程为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

x-1

已知a>1,函数/'(X)=a+x-3,g(x)=logQx+x-2.

(1)若fOo)=9(久0)=T，求久o的值;

(2)若久i，%2分别为f(%)，。(久)的零点，求％1+比2的值.

16.(本小题12分)

第2页，共8页

已知函数/(%)=ax2—(a+2)%+In%+1(。eR).

⑴当a=1时，求"%)的极值；

2

(2)若Wxi，X2e(0,+8),当X1KX2时，写E詈>—2恒成立，求a的取值范围.

17.(本小题12分)

设a>0且aW1,函数/(%)=loga(x-l),g(x)=loga(2x+t)(teR).

(1)当t=1时，求不等式2/(%)<g(x)的解集；

(2)若函数九(%)=篦(%)+观2+2七+2在区间(1,3］上有零点，求t的取值范围.

18.(本小题12分)

已知函数/'(%)=axlnx--%--+2(aeR).

(1)若曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线与直线2y+3=0平行，求f。)的单调区间；

(2)当x21时，/(x)>0,求a的取值范围.

19.(本小题12分)

已知函数人%)的定义域和值域分别为4B,若函数g(x)满足：(i)。(久)的定义域为B；(ii)g(x)的值域为

A；(iii)VxEB,x=y(gO)),Vx6A,x=5(/(%)),则称g(%)与f(%)具有N关系.

(1)若fO)=2x,判断下列两个函数是否与f(x)具有N关系，并说明理由；

①y=210g2X；②y=log2x.

(2)若以久)与/(x)具有N关系，证明：函数g(X)的图象与/(约的图象关于直线y=%对称；

(3)已知函数F(x)=e\GQ)与F(x)具有N关系，令/(x)=F(x)G(x)-l.

①判断函数人尤)的单调性；

②证明：Vx>2,“久：1)>x2

第3页，共8页

参考答案

1.D

2.D

3.X

4.B

5.C

6.D

7.4

8.C

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.6

13.（-1,1）

14.y=2x-3

15.解：（1）因为9（久0）=-1,所以loga久0+孙-2=-1,

即log/o=1-劭，所以凉-工。=%，

因为/'（X。）=-L所以必厂1+%0-3=-1，即必厂1=2r0,

因为必。一%1-/。=a0—1,

所以久o（2-xo）=1,解得%o=1.

（2）因为%1，尤2分别为/（久），的零点，

所以/'（久1）=0,即必111+久1-3=0,

x-1

所以於111+logaai-2=0,所以9（必1-1）=0,

因为a>1,所以9（久）=logax+久一2在（0,+8）上单调递增，

又。（%2）=0,所以％2=户1—1,

因为必1-1+句-3=0,所以肛+%2=3.

16.解：（1）当a=1时，/（x）=%2—3x+Inx+1,

/。）的定义域为（0,+8）,1⑶=2久-3+"2工｛（I）,久>0.

11

令,（%）>0,得0<%<5或］>1,令［（X）<0,得万<%<1,

第4页，共8页

所以八支)在(01)和(1，+8)上单调递增，在&1)上单调递减,

所以/(%)在％处取得极大值，在％=1处取得极小值.

所以/(%)极大值=/(1)=一亨一仇2,/(%)极小值=/(I)=-1.

(2)因为Vxi，XG(0,+8),当％]力久2时，笔E户>一2恒成立，

2九1

所以VX1，X2G(0,+8),当比17X2时，代工。+2〉二，了2)+2工21>0恒成立,

所以函数y=/(%)+2%在(0,+8)单调递增，

令9(%)=/(%)+2%=ax2—ax+In%+1,

贝!Jd(%)=2ax-a+£=2收丁：+1,

所以2a%2-Q%+1)0在(0,+8)上恒成立，

若a=0显然符合题意；

若aH0,因为函数y=2ax2-ax+1图象的对称轴方程为％=).

(a>0

所以,(才-a[+1)(T解得：0<a48,

综上，a的取值范围为[0,8].

17.解：⑴当t=l时,不等式2/(久)49(久),

可化为210ga(K—l)410ga(2x+1),

,X-1>0

若0<a<1,则,2x+1>。，

.(x—1)2》2X+1

解得x》4,

不等式2/(x)《g(x)的解集为[4,+8).

,x-1>0

若a>1,贝小2x+1>0,

,(x—1)2<2X+1

解得1<x44,

不等式2f(x)《g(x)的解集为(1,4].

综上所述：

当0<a<l时，2/(x)4g(x)的解集为[4,+8)；

当a>l时，2/O)&g(x)的解集为(1,4],

第5页，共8页

(2)由题意知:h(x)=+tx2+2t+2

=x—1+tx2+2t+2=tx2+x+2t+1,

令+%+2t+1=0,BPt(x2+2)=—(%+1),

x6(1,3］,•,•%+1E(2,4］,

r1T"2-4-Q

•••tH0,x2+2HO,-=----

tx+1

设TH=%+1G(2,4得=+2__0n_|_m+2,

因为函数y=-(m+§+2在(2,4］上单调递减，

所以一?《:<—1?所以一■!<［《一白・

4-CZD11

故实数t的取值范围为

Q1QI

18.解：(1)/(%)=ax\nx--x--+2(a6R),/'(%)=alnx+a--+

乙乙人乙乙人

曲线y=f(久)在点(1/(1))处的切线与直线2y+3=0平行,

((1)=a—1=0今a=1,则/''(X)=lnx—1+去.

令g。)=In久一打表则g'(x)=;_*=4导，

当xG(0,1)时，g'(x)<0,当xG(1,+8)时，“(X)>0,

•••。(久)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

g(x)min=g(l)=。，即VxG(0,+OO),g(x)>0,即/''(X)>0,

/(%)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间.

3131

(2)/(%)=a%ln%—/一五+2(%>1),/'(%)=alnx+。一,+诟，

令h(%)=alnx+a-1+^7(x>l),则h'Q)=:==收,%>1),

当。<0时，h!{x)<0,h(%)在［L+8)上单调递减，又h(l)=V0,

•••h(x)<0,即1(%)<0,f(%)在［1,+8)上单调递减,

又/(I)=0,贝行(%)<0,不合题意.

当a>0时，令兄⑶=0,得久=口负根舍),

若0<a<l,则Jj>l，则旗久)在(1,9)上单调递减，在(耳，+8)上单调递增,

第6页，共8页

又九(l)=a—1<0,所以在(I，5上/i(x)<0,即/(幻<0,

又/(I)=0,所以在(1,白)上人式)<0,与题意不符；

若a21,则J|wi,则九'(%)20,故%(x)在［1,+8)上单调递增，

又八⑴=a—120,所以%。)20,即f(x)20在［1,+8)上恒成立,

所以f(x)在［1,+8)上单调递增,又f(l)=0,所以VxG［1,+8),/(X)>0.

综上所述，a的取值范围是［1,+8).

19.(1)解：y=21og2%与/'(久)=2*不具有N关系，y=log2%与/'(%)=2工具有N关系.

理由如下：因为/1(X)=2工,则其定义域为R,值域为(0,+8),y=21og2%和y=log2%的定义域均为

(0,+oo),值域均为R,满足条件①和(讥)，

x

若g(x)=21og2x,则f(g(x))=2。(*)=221幅工=X2,。(/⑶)=21og22=2x,不满足条件(M),故y=2

log2久与/■(>)不具有N关系；

laxx

若g(x)=log2x,则Vxe(0,+oo),f(g(x))=2^=x,VxeR,g(/Q))=log22=x,满足条件

(1五),故y=log2%与/'(久)具有N关系.

(2)证明：在函数g(x)的图象上任取一点P(?n,g(ni)),mEB,g(m)6A,其关于直线y=乂的对称点为

因为VxeB,X=F(g(X)),所以f(g(m))=m,即点P'(gO),m)在函数f(x)的图象上,

在/'(久)的图象上任取一点QO/O)),nEA,f(n)EB,其关于直线y=x的对称点为。(/(冗),")，

因为VxeA,X=g(/(x)),所以g(/(n))=n,即点Q'(/(X),?1)在函数g(x)图象上，

所以9(x)的图象和f(>)的图象关于直线y=久对称.

(3)①解:由题意,/(x)=ex\nx-l,其定义域为(0,+8),

((久)=ex\nx+^ex=^-(xlnx+1).

1

令g(%)=xlnx+1,则“(%)=Inx+1,易知g'(工)=