三角形（全等相似）-2024年中考数学考试易错题（原卷版）

专题06三角形（全等、相似）

易错点1:三角形的垂心

易错点2:三角形的重心

L易错点3:三角形的外心

易错点4:三角形的内心

三角形（全等、等腰、直角）易错点5:倍长中线法

易错点6:等腰三角形的新定义

易错点7:两圆一线画等腰

易错点8:两线一圆画直角

易错点9:秦九韶一海伦公式

r易错点1：黄金分割

/易错点2:平行辅助线

y易错点3:相似中的比值

「易错点4:相似中的动点

/易错点5:相似与反比例函数

三角形相似易错点6:相似与圆

:易错点7:相似与三角函数

'易错点8:相似与二次函数

卜易错点9:相似的新定义

'易错点10：相似中的无刻度尺作图

三角形（全等、等腰、直角）专题

易错点:

1.三角形的概念：对于三角形的定义、性质及分类理解不够深入，容易混淆等腰三角形、等边三角形、直角

三角形等概念。

2.三角形的边和角：对于三角形的三边关系（如任意两边之和大于第三边）和三角形内角和等于180度的性

质理解不透彻，导致在解题时出错。

3.三角形的全等：对于三角形全等的判定条件（如SAS、ASA、AAS、SSS等）掌握不熟练，容易在判定过

程中出错。

4.三角形的相似：对于三角形相似的判定条件（如AA、SAS、SSS等）理解不够深入，容易混淆相似和全

等的概念。

5.三角形的面积：对于三角形面积的计算公式（如底乘高除以2）掌握不熟练，容易在计算过程中出现错误。

6.三角形的中位线：对于三角形中位线的性质（如中位线平行于第三边且等于第三边的一半）理解不够深入,

导致在解题时出错。

7.三角形的角平分线：对于三角形角平分线的性质（如角平分线将相对边分为两段，这两段与该角两边的比

例相等）掌握不熟练，容易在解题时出错。

.WOO

易错点1:三角形的垂心

例：在中，/氏4。=60。,乙4及？=45。,〃是。3。的垂心，若AHBC与的面积分别为岳、邑，则

I:&=()

A.V3：V2B.6:1C.72:1D.1:73

变式1：如图，在AJBC中，/4BC=48。，ZACB=76°,两条高AD、CE交于点O,连接NO,则

ZOAE=

变式2：（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，A/BC是一

个格点三角形，点/的坐标为（-2,2）.

I'M

__I-

IIIII0IIIp•'1'

I—I—I—I—I-----1—I—I—I—I—I-1

I-」_」_」_」_____l_」_」_，一」

①MBC的面积为

②在所给的方格纸中，请你以原点。为位似中心，将A/BC缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）

③在（2）中，若尸（a,b）为线段NC上的任一点，则缩小后点P的对应点尸/的坐标为.

（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：

我们知道，三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交

于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.

图1

①如图1,在平行四边形48c中，E为CD的中点，作3c的中点F.

②如图2,在由小正方形组成的4x3的网格中，A/BC的顶点都在小正方形的顶点上，作A/BC的高

易错点2：三角形的重心

例：如图，点G是AABC的重心，过点6作皿〃8（7分别交48,AC于点M,N,过点N作ND〃AB交BC

于点。，则四边形AD2W与的面积之比是（）

变式1：如图，在中，/A4c=90。，点G是448c的重心，连结G4GC,如果/C=3,^G=1,

那么NGCA的正切值为.

变式2：【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

如果在图①中，取ZC的中点凡假设3尸与4。交于G',如图②，那么我们同理有==第=所以有

ADBF3

mC~I,Di

1===:,即两图中的点G与G'是重合的.

ADAD3

于是，我们有以下结论：

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

【结论应用】

如图③所示，在AABC中，己知点DE,尸分别是3C,CE的中点，DE、8尸相较于点。，且工域=设,

则四边形ODCF的面积值为

图②图③

易错点3：三角形的外心

例：如图，已知£是“3C的外心，P、0分别是48、NC的中点，连接EP、交8C于点RD,若BF=5,

DF=3,CD=4,则。3C的面积为（）

A.18B.24C.30D.36

变式1：如图,点。是“BC的内心，也是的外心.若44=84。，贝1」/。=

变式2：如图,在锐角三角形48。中，AB=AC,是AASC的外接圆，连接力。，BO,延长交/C

于点D.

（2）若。。的半径为5,AD=6,求。。的长.

（3）若岑=加，求照的值（用含机的代数式表示）•

OBDC

易错点4：三角形的内心

例：如图，若OO是AABC的内切圆，且N/=50。，则/3OC的度数为（）

A.100°B.105°C.115°D.130°

变式1：如图，点/是“3C的内心，44=60。，IB=6,/C=4,则“8C的面积为.

变式2：阅读与思考

阅读下列材料，并完成相应的任务.

在某科技杂志上有这样1道题：如图1,在“3C中，三边分别为=c,/C=6,3C=氏。。是的内切圆,

切点分别为。,及尸.求O。的半径.

思路分析：如图1.连接O4O8,OC,OZ),OE,OG则存，OFVAC,OD=OE=OF,设

OD=OE=OF=r,p=+b+c).

于是有S./BC=S"OB+&BOC+SHOC=LoD23+LoE/C+Lo/^/C=Lr(a+6+c)=〃，

7/***••i-J△TIZJCAAUB△BUG2222、「

...r=q%.（其中s表示“Be的面积，〃表示“BC的周长的一半）

P

八48国面积S

用语言叙述：三角形的内切圆的半径厂=

A^BC的半周长p

若已知人4BC的三边长a,b,c,如何求AABC的面积S呢？

图1

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202〜1261）,曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若

AB=c,BC=a,AC=b

则秦九韶公式为邑”c=

例如：在“3C中，若。=5,6=6,c=7,利用秦九韶公式求“BC的面积S.

解：S-ABC=

图2

(1)请完成材料中利用秦九韶公式求“3C面积的剩余步骤，并求出“3C的内切圆的半径.

(2)如图2,在RtZ\/8C中，NC=90o,/C=3,8C=4,Gy为它的内切圆，则CE的长为.

易错点5：倍长中线法

例：如图，在。3C中，已知△/5D与A/CD的面积相等，如果/C=10,/。=8,那么N2的取值范围

是()

A.2</B<18B.6<AB<16

C.10<^5<26D.18<AS<26

变式1：已知A/BC中，AB=2,AC=4,4D是A/BC的边BC上的中线，则中线的范围是.

变式2：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,“3C中，若48=6,AC=4,求3C边上

的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4D到£,使DE=AD,

连接BE.请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到V/DC到ED3,得到8E=4D,在中求得2ND的取值范围，从而求得工。的

取值范围是

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

⑵如图2,是“3c的中线，AB=AE,AC=AF,NR4E+NC4尸=180。，试判断线段与EF的数量

关系，并加以证明；

(3)如图3,在“3C中，D,E在边3c上，且BO=C£.求证：AB+AC>AD+AE.

易错点6：等腰三角形的新定义

例：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形.如果其中一个是等腰三角

形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是

的"和谐分割线"，A/CD为等腰三角形，△C8D和相似，4=46。，则NZC3的度数为(

C.113。或92。D.92°或134°

变式1：定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.若。3c

是“倍角三角形"，乙4=90。，SC=4,则“BC的面积为.

变式2：定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“完美三角形”.

图1

(1)下列三角形一定是“完美三角形”的是一.A.直角三角形反等腰三角形C等腰直角三角形D.等边三角

形

⑵如图1,“3C是"完美三角形”，S.AB<AC<BC.若正方形48DE和正方形/CFG的面积分别是7和

25,则正方形的面积是

(3)如图2,在四边形/BCD中，AB=BC,AABC=ZADC=90°.E是四边形4BCD外一点，S.AE=AB,

DE=DC.求证：是“完美三角形”.

(4)若比A/BC是“完美三角形”，且一条直角边长为点，求斜边长.

易错点7：两圆一线画等腰

例：在平面直角坐标系中，已知幺(4,1),在坐标轴上确定一点尸使得A/OP为等腰三角形，则满足条件的

点可以画出()

A.4个B.6个C.8个D.7个

变式1：在平面直角坐标系尤何中，已知点尸(2,2),点。在坐标轴上，/。。是等腰三角形，则满足条件

的点。共有个.

变式2：如图，“3C中，ZC=90°,AB=5cm,SC=3cm,若动点尸从点C开始，按C—/f8fC的

路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为/秒.

备用图

(1)出发2秒后，求线段8P的长.

(2)问t为何值时，ABCP为等腰三角形？

(3)另有一点。，从点C开始，技CfBfZfC的路径运动，且速度为每秒2cm,若尸，。两点同时出发，

当尸、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当f为何值时，直线尸。把。3c的周长分成相等的两部

分？

易错点8：两线一圆画直角

例：如图，RtZUBC中，a4cs=90。，ZABC=60°,8c=3cm,CD=^BC,若动点£以Icm/s的速度

从A点出发，沿着/fBf/的方向运动，设E点的运动时间为f秒（0<y10）,连接DE,当△8AE是直

角三角形时，1的值最多有（）个

A

A.1B.2C.3D.4

变式1：如图NM/N=60。，若A48c的顶点8在射线上，且/8=2,动点C从点A出发，以每秒1个

（2）当运动时间f的取值范围是秒时，A/3C是钝角三角形.

变式2：综合与探究

如图，抛物线>与x轴相交于4,B两点,与〉轴相交于点C,点3的坐标是（T,0）,点C的

坐标是（O,4）,M是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)尸为线段MB上的一个动点，过点尸作轴于点。，。点坐标为(加,0),APCD的面积为S.

①求APCD的面积S的最大值.

②在MB上是否存在点尸，使A尸CD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说

明理由.

易错点9：秦九韶——海伦公式

例：阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为

海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是。，b,c,记0=£±|七£,那么三角形的面积为

sZp(p_a)(p_b)(p_c).如图，在AA8C中，a=7,6=5,c=6,则BC边上的高为.

变式1：我国南宋时期的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，也叫三斜求积公

式.即：若一个三角形的三边长分别为a,b,c,那么该三角形的面积为$=，二a2b2-[a+b~C'\，现

已知。三边长分别为2,3,V13,则“的面积是.

变式2：平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决古人对

任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积•具体如下:

设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=；(a+6+c),则有下列面积公式:

S=(尸一c)(海伦公式)；

S=ha2b2~r+b^~C\（秦九韶公式）.

(1)一个三角形边长依次为5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是.

(2)学完勾股定理，已知任意形状的三角形三边长也能求出其面积•如图，在“3C中，48=15,3C=14,

/C=13,求“8c的面积.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.

①作于。，设BD=x,用含x的代数式表示C。，则CD=：

②请根据勾股定理，利用ND作为“桥梁”建立方程，并求出x的值;

③求。8c的面积.

三角形相似专题

易错点:

1.对应边和对应角的混淆：这是最常见的错误。在相似三角形中，对应边和对应角必须正确配对。例如，

如果一个三角形的某个角与另一个三角形的某个角是对应角，那么这两个角所对的边也必须是对应边。

2.比例关系的误解：在相似三角形中，对应边之间的比例关系是固定的。如果一个三角形的对应边是另一

个三角形的两倍，那么所有对应边都是这样的比例关系。但是，学生们可能会误解这个比例关系，导致计

算错误。

3.相似与全等的混淆：全等三角形和相似三角形是两个不同的概念。全等三角形是指两个三角形能够完全

重合，而相似三角形是指两个三角形的形状相同但大小可能不同。学生们可能会混淆这两个概念，导致解

题错误。

4.判定定理的误用：在判断两个三角形是否相似时，有几种不同的判定定理可以使用。但是，学生们可能会

误用这些定理，导致判断错误。例如，他们可能会错误地认为如果两个三角形的两组对应角相等，那么这

两个三角形就是相似的，而实际上这只是一个必要条件，不是充分条件。

三

易错点1:黄金分割

例：如图，在正方形48co中，E为/D中点，连结8E,延长E4至点尸，使得EF=EB,以在'为边作

正方形NFG”,《几何原本》中按此方法找到线段48的黄金分割点”.现连结切并延长，分别交BE,BC

于点尸，Q,若：的面积与V8P。的面积之差为66-9,则线段/E的长为（）

变式1：20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模

推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做E尸将矩形窗框/BCD分为上下两部分，其中E为边

N8的黄金分割点，BE>AE.已知NB为2米，则线段BE的长为.米

变式2：【综合与实践】

【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1,如果点尸把线段分成两条线段AP和

PRAp

且方;行则我们称点尸为线段■的黄金分割点.类似，我们可以定义如果一个三角形中，其最长边

的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”.

如图2,已知“是"类黄金三角形"，且/C〈/3<3C.若/C=3,BC=5,求N3的长.

【探索研究方法】如图3,已知△48c是“类黄金三角形"，且NC〈/8<8C.若NA4C=90。，小滨同学过点

A作/。工3c于点。，发现了两个结论：

@AB2=BDXBC;

②点D是边BC的黄金分割点；

请给出证明.

【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决.于

是开展新的探究，请解决以下问题：

如图4,已知“8C是"类黄金三角形"，且/C〈/3<5C.若BC=2,4=90°+；NC,求48的长.

APB

图1

易错点2：平行辅助线

例：如图/£>是“BC的中线，E是上一点，且/CE的延长线交于点R若/尸=1.2,

则AB的值为（）

变式1：如图，A4BC的角平分线CD与中线/E相交于点P,若AELCD,AE=8,CD=12,则的长

为.

变式2：【教材呈现】华师版九年级上册63页例1.

如图，在中，点。是边的三等分点，DE//BC,DE=5,求的长.

A

【应用拓展】

U)如图①，在ABC中，点。是边的中点，点尸为8c延长线上一点，连接。厂交NC于点E,若

DE:EF=3:1,DG//AC,EC=2,则NC的长为.

(2)如图②，在中，点。为边A4延长线上一点，点E为8C上一点，连接DE交ZC于点尸，若点A

为。8的中点，CE:EB=1;2,ADBE的面积为4,贝|ACFE(阴影部分)面积为

易错点3：相似中的比值

1

例：如图，四边形N8C。中，AC,BD交于点、E,AB=AD=45,BD=2,ZBCD=90°,一=—,贝!J/C=

AE3

()

变式1：已知：AJBC中，/£)是中线，点E在/。上，且CE=CD,ZBAD=ZACE.则——=_____.

/C

变式2：【探究】如图①，在矩形/8CD中，点£在边。C上，连接/E,过点。作。尸，/£于点G,交

一DF

边于点尸.若48=6,BC=8,求丁的值；

AE

【应用】（1）如图②，在“3C中，/A4c=90。，点厂为边3c的中点，连结小，过点B作2。，/尸于

3AF

点E,交边/C于点D若tanC="则访的值为

（2）如图③，在/8ZC=90。，点。为NC的中点，连结8。，过点A作，3。于点E,交边BC于点、F,

图①图②图③

易错点4：相似中的动点

例：如图（1）所示，£为矩形48CD的边4D上一点，动点P0同时从点3出发，点尸沿折线8E-EO-OC

运动到点C时停止，点。沿BC运动到点。时停止，它们运动的速度都是1cm/秒.设尸、。同时出发f秒时,

V8P0的面积为ycmL已知V与/的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论:

4429

①AD=BE=5；②cos/4BE=-；③当0<"5时，y=-t2；④当"一秒时，^ABE^^QBP；其中正确的

554

结论是（）

图⑴

A.①②④D.②④

变式1：如图，RtzX/BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点、P、。分别为A3、8c上的动点，将△尸08

沿PQ折叠，使点3们对应点。恰好落在边/C上，当△4PD与小BC相似时，/P的长为.

/C=8cm,3C=6cm,动点尸从点N出发，以5cm/s的速度沿

方向向终点3运动，当点尸不与点/重合时，过点尸作尸。L/C于点。，PE//AC,过点。作。

。后与PE相交于点E.设点P的运动时间为:(s).

(1)线段4。的长cm；(用含f的代数式表示)

⑵当点£落在8C边上时，求才的值；

(3)设ADPE与"3C重叠部分的面积为S(cm).求S关于/的函数解析式,并直接写出自变量t的取值范围.

易错点5：相似与反比例函数

例：如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，RtA(948的直角顶点3在x轴的正半轴上，点/在第一象

限，反比例函数>=：(x>0)的图象经过。/的中点C,交N5于点D,连接CD.若A/CO的面积是2,则左

变式1:如图，在等腰003中，点A为反比例函数歹=A(其中x>0)图象上的一点，点B在x

X

轴正半轴上，过点3作BCLO3,交反比例函数y=&的图象于点C,连接OC交48于。，若△8CD面积

X

为1,贝!I左的值为一

变式2：如图，一次函数＞=任+1（左NO）的图象与反比例函数＞=£（。彳0）的图象交于/、3两点.与坐标

（i）求一次函数和反比例函数的解析式;

（2）尸是线段的中点，直线。尸向上平移。伍＞0）个单位长度后，将003的面积分成1:7两部分，求6的

值；

（3）我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上

一点，N为平面内一点，当四边形48MN是直角等补形时，求点M的坐标.

易错点6：相似与圆

例：如图，在“3C中，AB=AC,以48为直径作圆，交BC于点、D,延长G4交圆于点E,连接

交.AB于点F.若“尸尸=1:4,则£尸:。F的值为（）

A

E

A

—

A.3:5B.2:3C.3:4D.1:2

变式1：如图，“CD是圆内接三角形，点5是圆上一点，连结48,2。，8。与/C交于点E,且满足=/C,

ABAC=ACAD.若CD=2,40=3,贝!]CE=_.

变式2：如图，在Rt^/3C中，点。在斜边上，以。为圆心，05为半径作圆，分别与8C、相交于

点。、E,连接N。，已知

(1)求证：是。。的切线；

(2)若N8=30。，AC=43,求劣弧8。与弦3。所围图形的面积.

(3)若/C=4,BD=6,求/E的长.

易错点7：相似与三角函数

例：如图，在矩形/BCD中，BC=4,AB=2,RtASEV的顶点E在边C。上，且NBEF=90。，EF=-BE,

2

DF=»曲,贝!|tan/DEF的值为()

4

F

../\n

-------------'C

39C.-D.男

A.-B.—

81645

变式1：如图，在矩形45CD中，45=8,B(1=12,点E是3C的中点，连接/E,将A48E沿NE折叠，

点5落在点尸处，连接/C,则sin/£CF=

AD

B'

变式2：如图，在AABC,ZBAC=90°,=点。与AASC在同一个平面内，连接ND,将。绕点A

逆时针旋转90。得到点E,连接NE、CE.

图③

(1)如图①，当点。在边3C上时，求证：BD=CE；

(2)如图②，当点。在边上时,连接DE9右AB=4-\/2，tanNEDC=-,则AD=

3

(3)如图③，当点。在边的下方时，AD1BD,4D交8C于点尸，当40=6,8。=2时，的面

积为____________

易错点8：相似与二次函数

例：如图，已知二次函数了=机/-4〃a+3加((〃2>0)的图像与》轴交于人、B两点,与V轴交于点C,连接

AC,BC,若C4平分/OCS,则加的值为()

A.V3B.41C.—D.—

23

变式1：给出定义：抛物线了="2+法+4。/0)与x轴交于/,B两点,与y轴交于点C,连接4C、CB,

若满足A/COSACB。，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数了="2+及+2(°片0)的图

象是“相似抛物线"，且/C=2AA，则此抛物线的对称轴为.

变式2：如图，二次函数y=/+2x+c的图象与x轴交于点/和点5(1,0),以为边在x轴上方作正方形

ABCD,动点P从点/出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点。从点C出

发，以每秒1个单位长度的速度沿C8匀速运动，设运动时间为，秒，连接。尸，过点尸作DP的垂线与y

(1)求二次函数的解析式及点N的坐标；

(2)当点尸在线段ZO(点P不与/、O重