2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：常用逻辑用语（学生版+解析）

第02讲常用逻辑用语

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：充分条件与必要条件的判断............................3

高频考点二：充分条件与必要条件的应用............................4

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比............5

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断错误!未定义书签。

高频考点五：含有一个量词的命题的否定............................6

高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数....................6

第四部分：典型易错题型.............................................7

注意：“的”字结构倒装...........................................7

注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0..................................................7

注意：给定的区间是非R区间，不能用判别法.......................7

注意：给定的区间是R区间，可用判别法...........................8

第五部分：新定义题（解答题）.......................................8

第一部分：基础知识

1、充分条件、必要条件与充要条件的概念

（1）若P=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

（2）若pnq且quP，则P是q的充分不必要条件；

（3）若。4q且qnp,则P是的必要不充分条件；

（4）若p=q,则P是q的充要条件；

（5）若。4q且44p,则p是q的既不充分也不必要条件.

拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件

（1）P是q的充分不必要条件是M的充分不必要条件；

（2）p是q的必要不充分条件or是r?的必要不充分条件；

（3）p是q的充要条件是力的充要条件；

（4）p是q的既不充分也不必要条件QF是「P的既不充分也不必要条件.

拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件

若P以集合A的形式出现，以集合B的形式出现，即P：A={x|p（x）},q：B={x\q（x）］,则

（1）若A1B,则P是4的充分条件；

（2）若则P是4的必要条件；

（3）若4*8,则。是4的充分不必要条件;

（4）若则P是4的必要不充分条件;

（5）若4=3，则P是4的充要条件；

（6）若4*6且则P是4的既不充分也不必要条件.

拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构

（1）P是q的充分不必要条件opnq且44p（注意标志性词：“是”，此时p与q正常顺序）

（2）P的充分不必要条件是qoqn。且，4q（注意标志性词：“的”，此时P与4倒装顺序）

2、全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

（2）存在量词

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

（3）全称量词命题及其否定（高频考点）

①全称量词命题：对M中的任意一个》,有P（x）成立；数学语言：VxeM,p（x）.

②全称量词命题的否定：大

（4）存在量词命题及其否定（高频考点）

①存在量词命题：存在M中的元素》,有P（x）成立；数学语言：GM,p（x）.

②存在量词命题的否定：

（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语

正面词语等于（=）大于（〉）小于（＜）是

否定词语不等于（丰）不大于（＜）不小于（＞）不是

正面词语都是任意的所有的至多一个至少一个

否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有

第二部分：高考真题回顾

1.（2023・天津•统考高考真题）已知a,6eR,“°2=户,是％+廿=2必'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

VX

2.（2023,北京•统考高考真题）若孙N0,则"x+y=O"是"」+—=-2”的（）

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：充分条件与必要条件的判断

典型例题

例题1.（2024上•河北承德•高一统考期末）若,贝『夕弋"是"sin2tz=侬］夕+。”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

例题2.（2024下•云南昆明•高二统考开学考试）若集合4=司2）1},集合B={x|lnx〉0},则"尤eA"是"xeB"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题3.（2024上•江苏连云港•高一统考期末）"同>码"是"a>b"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

练透核心考点

1.（2024上•贵州毕节•高一统考期末）设xeR,贝「lnx+1<0"是"2㈤-1>0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

b

2.（2024上•浙江宁波•高一余姚中学校联考期末）"2<1"是"0<人<0"的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024上•上海•高一上海市大同中学校考期末）已知匕为非零实数，则是"工<4"成立的（）

ab

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

高频考点二：充分条件与必要条件的应用

典型例题

例题1.（2024下•上海•高一开学考试）已知0:/-（2。+3）*+。（。+3）40,q:|尤若。是4的必要不

充分条件，则实数。的取值范围是—.

例题2.（2024•全国•高一专题练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择

补充到下面横线上.

己知集合尸=3-14尤45},S^[x\2-m<x<3+2rn^,存在实数加使得"左©尸"是"xeS”的条件.

例题3.（2023上•山西晋中•高一统考期末）已知不等式Y+办+万<0的解集为加={川-2Vx<4}.

⑴求不等式法2-分+1>0的解集T；

（2）设非空集合S=卜-机若尤eS是xeT的充分不必要条件，求加的取值范围.

练透核心考点

1.（2024•全国•高一假期作业）已知集合A=kW<“，B={x|a黜a+3},若"xeA"是的必要

条件，则实数。的取值范围是.

2.（2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习）设命题P：实数x满足Y-4办+3/<0,其中a>0；命题公

实数尤满足三40,若"P是F的充分不必要条件，则实数。的取值范围为______.

x-2

12

3.（2023上•河南郑州•高一校考阶段练习）已知命题p：V%,y>0满足2x+y=l,不等式一十—2"9-2〃恒

%y

成立，命题则，是夕的条件.

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，”的”）结构对比

典型例题

例题1.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“玉目1,2],

2/-〃a+6>0"成立的一个必要不充分条件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4^/3D.m<8

例题2.（2023上•贵州黔南•高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）已知条件P：无>1,条件q:-/-2x+340,

则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题3.（2024上•安徽安庆・高一安庆一中校考期末）"关于x的不等式依2-2犬+1>0对VxeR上恒成立"的

一个必要不充分条件是（）

A.a>0B.a>l

C.0<a<—D.a>2

2

练透核心考点

1.（2024・陕西西安•西安中学校考一模）已知“,6,ceR,则下列选项中是"a<6”的充分不必要条件的是（）

A.忖〉口B.ac2<bc2C.a2<b2D.3a<36

ab

2.（2024上•山东济宁•高一统考期末）“ln（a-6）<0"是"a<b+l”的（）

B.VxeR,都有=

7

C.HxeR,使得

o

D.5,%eR,都有审］J-7㈤

高频考点五：含有一个量词的命题的否定

典型例题

例题1.（2024上•山东潍坊•高一统考期末）设机eR,命题“存在〃行0,使=0有实根”的否定

是（）

A.任意机对，使2-znx-1=0无实根B.任意根<0,使根X。_®；_1=0有实根

C.存在根20,使MZX?_侬；_1=0无实根D.存在〃7<0,使mx2_7nx_i=o有实根

例题2.（2024・全国•高一专题练习）己知命题P：VxeR,+e3-，22e?,则命题。的真假以及否定分别为（）

x+13-x2x+13-x2

A.真，可：VxeR,e+e<2eB.假，:VxeR,e+e<2e

x+13-x2v+13x2

C.真，-np:HreR,e+e<2eD.假，-.p:3%eR,e+e^<2e

练透核心考点

1.（2024上•广东佛山•高一统考期末）命题"X/xeR,尤2+3x+4>0”的否定是（）

A.VxeR,x2+3%+4<0B.R,x2+3x+4<0

C.3xeR,x2+3x+4<0D.3xGR,x2+3x+4<0

2

2.（2024•全国•高一专题练习）若命题P：3x0eR,xo+2xo+2<O,则力为（）

2

A.3x0GR,XQ+2x0+2>0B.3x0R,x0+2x0+2>0

C.VXGR,X2+2X+2<0D.VxeR,x2+2x+2>0

高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数

典型例题

例题1.（2024上•陕西渭南•高一校考期末）已知命题0："BxeR,尤?-办+3<0"为假命题，则实数。的

取值范围为（）

A.向B.(-25/3,25/3)

C.卜8,一2石)+oo)D.[-2指,2@

例题2.（2024上•陕西宝鸡•高一宝鸡市石油中学校考阶段练习）HxeR,ax2+ax+l<0.若此命题是假命

题，则实数。的取值集合是.

练透核心考点

9

1.（2024上•广东深圳•高一统考期末）已知命题“VxeR,尤2+（。-2及+^>0"是真命题，则实数。的取值范

围是（）

A.（-oo,-l）B.（-5,1）C.（-5,+oo）D.（-1,5）

2.（2024上•安徽•高一校联考期末）已知“骂eR,2024北-2024%<0"为真命题，则实数。的取值范

围为（）

A.a>—506B.a2—506C.aW—506D.a<—506

第四部分：典型易错题型

注意：”的”字结构倒装

1.（2023•江苏•高一专题练习）线段y=-3x+九尤e在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件

是.

注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0

2.（2023上・辽宁大连・高一大连八中校考阶段练习）"-3<〃7<1"是"关于》的不等式（加-1）必+（能-1）尤-1<0,

对任意的xeR恒成立”的条件.（填“充分不必要”“必要不充分""充要""既不充分也不必要”）

注意：给定的区间是非R区间，不能用判别法

3.（2023上•云南曲靖,高一校考期中）若"Vxw[l,4],尤2-办+ivo〃为真命题，则实数a的取值范围为.

注意：给定的区间是R区间，可用判别法

4.（2023上•陕西渭南•高一统考期中）已知命题：汨尤eR,ox?+2依-120”是假命题，则实数。的取值

范围是.

第五部分：新定义题（解答题）

1.（2024・全国•高三专题练习）设函数y=的定义域为V,且区间/=对任意%,马€/且再＜%，

记Ax=%-%，每二/伉户/国）.若Ay+-＞0,则称外力在/上具有性质A；若Ay-Ax＞0,则称

在/上具有性质8；若△”—＞（）,则称/（元）在/上具有性质C；若与＞0,则称/（无）在/上具有性质。.

⑴记：①充分而不必要条件；

②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则/（X）在/上具有性质A是/（X）在/上单调递增的（填正确选项的序号）；

在/上具有性质8是/（x）在/上单调递增的（填正确选项的序号）；

“X）在/上具有性质C是〃x）在/上单调递增的（填正确选项的序号）；

⑵若〃尤）=/+1在［1,y）满足性质5,求实数。的取值范围；

⑶若函数g（x）=，在区间［m,n\上恰满足性质A、性质B、性质C、性质。中的一个,直接写出实数小的最小

值.

2.（2024•全国•高一假期作业）对于有限个自然数组成的集合A,定义集合S（A）={a+6|aeAbeA},记

集合S（A）的元素个数为"（S（A））.定义变换T,变换T将集合A变换为集合T（A）=45（A）.

（1）若4={0,1,2},求S（A）,T（A）；

（2）若集合4={冷々/},（&＜々＜＜x.）/eN,证明："d（S⑷）=2“一1”的充要条件是

"x2-x1=x3-x2==x„-x„_1".

第02讲常用逻辑用语

目录

第一部分：基础知识.................................................10

第二部分：高考真题回顾.............................................11

第三部分：高频考点一遍过...........................................13

高频考点一：充分条件与必要条件的判断...........................13

高频考点二：充分条件与必要条件的应用...........................15

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比...........18

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断...............20

高频考点五：含有一个量词的命题的否定...........................23

高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数...................24

第四部分：典型易错题型............................................26

注意：“的”字结构倒装..........................................26

注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0........................26

注意：给定的区间是非R区间，不能用判别法......错误!未定义书签。

注意：给定的区间是R区间，可用判别法..........错误!未定义书签。

第五部分：新定义题（解答题）......................................27

第一部分：基础知识

1、充分条件、必要条件与充要条件的概念

（1）若P=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

（2）若pnq且quP，则P是q的充分不必要条件；

（3）若。4q且qnp,则P是的必要不充分条件；

（4）若p=q,则P是q的充要条件；

（5）若。4q且44p,则p是q的既不充分也不必要条件.

拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件

（1）P是q的充分不必要条件是M的充分不必要条件；

（2）p是q的必要不充分条件or是r?的必要不充分条件；

（3）p是q的充要条件是力的充要条件；

（4）p是q的既不充分也不必要条件QF是「P的既不充分也不必要条件.

拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件

若P以集合A的形式出现，以集合B的形式出现，即P：A={x|p（x）},q：B={x\q（x）］,则

（1）若A1B,则P是4的充分条件；

（2）若则P是4的必要条件；

（3）若4*8,则。是4的充分不必要条件;

（4）若则P是4的必要不充分条件;

（5）若4=3，则P是4的充要条件；

（6）若4*6且则P是4的既不充分也不必要条件.

拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构

（1）P是q的充分不必要条件opnq且44p（注意标志性词：“是”，此时p与q正常顺序）

（2）P的充分不必要条件是qoqn。且，4q（注意标志性词：“的”，此时P与4倒装顺序）

2、全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

（2）存在量词

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

（3）全称量词命题及其否定（高频考点）

①全称量词命题：对M中的任意一个》,有P（x）成立；数学语言：VxeM,p（x）.

②全称量词命题的否定：大

（4）存在量词命题及其否定（高频考点）

①存在量词命题：存在M中的元素》,有P（x）成立；数学语言：GM,p（x）.

②存在量词命题的否定：

（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语

正面词语等于（=）大于（〉）小于（＜）是

否定词语不等于（丰）不大于（＜）不小于（＞）不是

正面词语都是任意的所有的至多一个至少一个

否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有

第二部分：高考真题回顾

1.（2023・天津•统考高考真题）已知a,6eR,“°2=户,是％+廿=2必'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.

【详解】由“2=62,则。=幼，当。=一万片0时/+/=2仍不成立，充分性不成立；

由4+匕2=262,则（a-b）2=0,即a=6,显然/=〃成立，必要性成立；

所以/=k是/+人2=2ab的必要不充分条件.

故选：B

VX

2.（2023•北京•统考高考真题）若冲/0,则"x+y=0"是"＜+―=-2"的（）

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】解法一：由二+二=-2化简得到无+y=。即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0得到x=-y,

yx

代入土+工化简即可，证明必要性可由色+2=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可

yxyx

XVXV

由一+』通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=o代入即可，证明必要性可由一+2通分后用配凑

yxyx

法得到完全平方公式，再把犬+y=o代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为所。，且,y2

所以/+y2=_2孙，即九2+y2+2肛=0,即(％+y)2=0,所以犬+y=0.

所以"x+y=0”是"£+工=-2，，的充要条件.

yx

解法二：

充分性：因为uwO，一目.x+y=0,所以x=-y,

所以泮口+二—,

所以充分性成立;

必要性：因为孙/0,且二+二=-2,

y九

所以f+,2=_2孙，即九2+,2+2肛=0,即(％+y)2=o,所以犬+y=0.

所以必要性成立.

所以"x+y=O"是"£+上=-2"的充要条件.

y%

解法三：

充分性：因为孙片0,且无+y=0,

所以2+2=V+.2=/+9+2xy-2个=(X+y)--2冲=_2xy=

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因为孙WO,且±+二=-2,

y光

所以2+2=-+，=/+/+2邛-2呼=(x+y)2-2孙=(x+y/_2=_2

yxxyxyxyxy

所以"?"=°’所以(尤+才=°，所以x+y=o，

所以必要性成立.

所以"x+y=O"是"±+2=-2”的充要条件.

yx

故选：c

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：充分条件与必要条件的判断

典型例题

例题1.（2024上■河北承德•高一统考期末）若ae[O,兀],则■"是"sin2a=cos[e+，J^（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合三角函数的诱导公式，判断"&=1"和"sin2a=cos[a+Fj〃之间的逻辑推理关系，即可得答案.

7T.c.2兀(兀、5TI..it5兀、.2兀

【详解】当时,sm2<7=sin——,cosa+—=cos——=sm(--------)=sin——,

9I6j182189

即sin2a=cosf<7+—j成立；

又因为sin2i=cos

兀、兀

所以2。=——a+2kn,ksZ或2a—---a=TI+2fai,keZ,

33

结合ee[0,兀],解得a弋或&=事或口=1，

即5皿20=（：05"：|成立，推不出]=已，

故"々=方"是"sin2a=cos]e+力"的充分不必要条件

故选：B

例题2.（2024下・云南昆明・高二统考开学考试）若集合4=k|23},集合3={m11力0},则0€4"是"工€8"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据指数、对数不等式的解法分别解出集合A、B,结合集合的包含关系判断即可.

【详解】集合A={x|2，>l}={x|x>0},

集合8={x|lnx}0}={x|x〉l},

则8是A的真子集，

所以“尤eA"是"xe3"的必要不充分条件，

故选：B.

例题3.（2024上•江苏连云港•高一统考期末）"同>网"是“">/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】D

【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.

【详解】设。=-2力=0,此时满足同>同，但不满足a>6,充分性不成立，

设a=2,b=-3,此时满足a>6,但不满足时>同，必要性不成立，

故同>同是。>6的既不充分也不必要条件.

故选：D

练透核心考点

1.（2024上•贵州毕节•高一统考期末）设xeR,则"lnx+l<0”是"2㈤-1>0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判

定方法，即可求解.

【详解】由不等式lnx+l<0,可得lnx<T,解得0<无<e",

又由不等式2向一1>0，即2向>1，可得x+l>0,解得%>-1,

因为集合口1。<彳<「}是集合{x|x>T}的真子集，

所以“lnx+l<0"是"2川-1>0"的充分不必要条件.

故选：B.

b

2.（2024上•浙江宁波•高一余姚中学校联考期末）"一<1"是"a<b<0"的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

I）I）

【详解】当一<1时，不妨取人=1,a=2,则a>b>0,所以，〃一<1〃声〃a<b<0〃，

aa

另一方面，当。<匕<0时，由不等式的基本性质可得2h<1,

a

b

所以，〃一<1〃=〃々<人<0〃，

a

h

因此"—<1"是"。<6<0"的必要不充分条件.

a

故选：B.

3.(2024上•上海•高一上海市大同中学校考期末)已知。力为非零实数，则"a>b"是成立的()

ab

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】D

【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.

【详解】显然。>0〉6时不能推出上<1，反之,<0<!时也不能推出。>8，

abab

则"a>人是"!<9’成立的既非充分又非必要条件.

ab

故选：D

高频考点二：充分条件与必要条件的应用

典型例题

例题1.(2024下•上海•高一开学考试)已知p:尤2-(2a+3)x+a(a+3)WO,q:|尤T|<1,若P是4的必要不

充分条件，则实数。的取值范围是.

【答案】［一1,。］

【分析】问题转化为：IxTKl的解集是『-(2a+3)x+a(a+3)V0的解集的真子集，可解决此题.

【详解】由Y-(2a+3)x+a(a+3)4。解得xe(a,q+3),

由|x-l|<l解得xe(0,2),

根据题意得：(0,2)是(a,a+3)的真子集，

fa<0ri

。c(等号不同时成立)，解得：ae—1,0.

［a+3>2

故答案为：［T,。］.

例题2.(2024•全国•高一专题练习)给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择

补充到下面横线上.

已知集合「=卜|一14尤工5},S={x|2-m<x<3+2m},存在实数机使得"xeP"是"xeS”的条件.

【答案】②，③

【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.

【详解】①"xeP"是"xeS”的充要条件，贝IJ2-加=-1,3+2m=5,此方程无解，故不存在实数机，则不

符合题意；

②"xeP"是"xeS”的充分不必要条件时，2—tnM—l,3+2根25,2-m<3+2m；解得机23,符合题意；

③"xeP"是"xeS"的必要不充分条件时，当S=0,2-m>3+2m,得机<；；

当SW0,需满足2—机<3+2机，3+2m<5,解集为

综上所述，实数机的取值范围-;4m.

故答案为：②，③.

例题3.（2023上•山西晋中•高一统考期末）已知不等式£+依+方<0的解集为知={2-2<彳<4}.

（1）求不等式加-办+1>0的解集T;

（2）设非空集合S={xl-机机若xeS是xeT的充分不必要条件，求小的取值范围.

【分析】（1）先根据不等式的解集求出匕，再根据一元二次不等式的解法即可得解;

（2）由xwS是xeT的充分不必要条件，可得S是T的真子集，列不等式组求解即可.

【详解】（1）因为不等式/+6+6<0的解集为加={尤［-2<X<4},

所以方程/+ax+b=Q的解为-2,4,

所以—2+4=—a,—2x4=Z?,得a=—2,b=—8,

贝IJ不等式foe2—依+1>0即8尤2—2元一1<0,

解得-故解集八詈;

（2）由（1）知，T=，而xeS是xeT的充分不必要条件,

则S是T的真子集,

4

145

所以,解得［<相

454

11

—m<—

42

综上所述，〃，的取值范围是[yq.

练透核心考点

1.（2024・全国•高一假期作业）已知集合4=卜$<1

2={尤I漏/a+3},若"xeA"是"xeB"的必要

条件，则实数。的取值范围是.

【答案】"-4或。>2

【分析】根据不等式求得集合A,再利用"xeA〃是"xeB"的必要条件，得BgA,即可求得实数。的取值

范围.

3Q

【详解】解：.—<1,-一1<0,即(x—2)(x+l)>0,解得x>2或x<—l

x+1x+1

A={x|xv-1或%>2}

.〃xeA〃是"xeB〃的必要条件，「.BcA,且a+3>a恒成立

则"+3<—1或〃>2,解得aV-4或〃>2.

故答案为：〃v-4或a>2

2.（2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习）设命题P：实数x满足尤2一4奴+3/<0,其中。>0；命题q：

实数x满足言4°,若i是r的充分不必要条件,则实数”的取值范围为一.

【答案】（L2]

【分析】先解不等式，根据充分、必要条件的知识列不等式，再求出。的取值范围.

【详解】对于命题，，/一4双+3片=（%一々）（x一3。）〈。,

因为〃〉0,所以av元v3a.

x-3(x-3)(x-2)<0

对于命题4，<0,由角牟得2<x43.

x-2九一2w0

因为力是F的充分不必要条件,

所以P是4的必要不充分条件，所以（2,3]乳凡3a）,

\a<2,

所以、。，解得

[3a>3

所以。的取值范围是（L2].

故答案为：（1,2]

12,

3.（2023上•河南郑州•高一校考阶段练习）已知命题0：Tx,y>0满足2x+y=l,不等式一+—2/-2a恒

xy

成立，命题q：T<a<5,则。是q的条件

【答案】充分不必要

【分析】将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后利用基本不等式求最值即可.

12

【详解】不等式—+—2/9一2〃恒成立,

%y

x,y>0且满足2x+y=l,

12='++y)=4+2+—>4+2^4=8

----F

X

v4T1i

当且仅当上=—即％=：）=彳时，等号成立.

尤y42

所以82片一20,解得一24。34,

故命题P：-命题“:-4＜。＜5,

所以。是4的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比

典型例题

例题1.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“玉目1,2],

2f-如+6＞0〃成立的一个必要不充分条件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4A/3D.m<8

【答案】A

【分析】变形得到加〈在*3

=2|x+-],根据函数单调性得至I」=8,故根＜8,由于m＜8是

x

xmax

根＜8的真子集，故A正确，其他选项不合要求.

【详解】G[1,2],2x2—mx+6>0,

2x2+6

即玉:£[1,2],m<=2

x

m<2卜+』,其中广2^+5

max'

在（右,2]上单调递增,

其中％=1时，)=2义[1+丁]=8,当％=2时，y—2x^2+—3

=7,

2

故21+1

=8,gpm<8,

max

由于m＜8是根K8的真子集，故“根＜8〃的必要不充分条件为"m＜8,

其他选项均不合要求.

故选：A

例题2.（2023上•贵州黔南•高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）已知条件P：无>1,条件q:-2尤+340,

则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.

【详解】由题意条件。">1,条件4：-/-2尤+340=》4-3或％21,所以。是4的充分不必要条件.

故选：A.

例题3.（2024上•安徽安庆•高一安庆一中校考期末）“关于x的不等式or?-2x+l>0对VxeR上恒成立"的

一个必要不充分条件是（）

A.。>0B.a>\

C.0<。<一D.〃>2

2

【答案】A

【分析】分。=0、awO两种情况讨论，在。=0时，直接验证即可；在awO时，根据题意可得出关于实数。

的不等式组，综合可得出实数。的取值范围，再根据必要不充分条件求解.

【详解】当a=0时，贝U有一2无+1>0,解得x<g,不合题意;

a>0

当aw0时，则解得a>l.

A=4-4Q<0

综上所述，关于工的不等