2025年湖南省长沙市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖南省长沙市高考数学模拟试卷

一、单选题

1.（5分）已知集合。="|%>-2},Q={M?+5X-24W0},则QG（CRP）=（）

A.{x\-8xW-3}B.{x|-3〈xW-2}C.{x|-3^x<-2}D.{x|--2}

TTTTTT

2.（5分）平面向量二b满足向=a・b=l,贝Ua在b方向上的投影向量为（）

1-1T—>—>

A.—2bB.-bC.-bD.b

2

3.（5分）若（l+山）（6Z-z）>0,6ZER,则（）

A.a=\B.a=±lC.QW-1或心1D.QN1

4.（5分）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民,自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开

展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子,在结构简图中线段45与CQ所在直

线异面垂直，E、尸分别为45、CZ）的中点，且斯，45,EFLCD,线拐子使用时将丝线从点4出发,

依次经过。、B、。又回到点4这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中

简图

A.90A/2cmB.90A/3cmC.60V6cmD.80V3cm

5.（5分）定义在R上的函数/（%）周期为4,且/（2x+l）为奇函数，则（

A./（x）为偶函数B./（x+1）为偶函数

C.f（x+2）为奇函数D./（x+3）为奇函数

6.（5分）现将四名语文教师，三名心理教师,两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求

每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A.216B.432C.864D.1080

7.（5分）函数/（x）=cos3x-4sin2x在区间［-20241T,2024n］内所有零点的和为（

A.0B.-2024TlC.1012KD.-1012K

8.（5分）过抛物线C：/=4x焦点厂且斜率为旧的直线与C交于/、3两点，若尸尸为△为^的内角平

分线，则面积最大值为（）

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二、多选题

（多选）9.（6分）要得到函数y=s讥（2%+与）的图象，可将函数尸sinx的图象（）

冗

A.向左平移2个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍

6

711

B.向左平移石个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的5

C.纵坐标不变，横坐标变为原来的3再将所得图象上所有点向左平移m个单位长度

Zo

71

D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移§个单位长度

（多选）10.（6分）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录

与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件“数字是5的倍数”为事件3,“数字是

7的倍数”为事件。，则下列选项不正确的是（）

A.事件/、B、。两两互斥

B.事件/U3与事件3CC对立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

D.事件/、B、C两两独立

11

（多选）11.（6分）已知数列{。篦},{bn}f¥两足斯+i=<1+7=垢+EN*）,a\=b\=\9当〃22

nan

时，an乎bn，贝（）

A.的2>8

1、1

B-%+i+嗝an+b^

C.。及+1+6“<为+1+斯

D.（Q〃+Q〃+I）（b〃+b〃+i）24

三、填空题

12.（5分）（/+1）（2乂一］）4的展开式中常数项为.

13.（5分）若a==，b=tan器，c=Zn^|,则a,b,c的大小关系为（用号连

接）.

14.（5分）数学家Ge加〃〃用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别

与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）.若

第2页（共19页）

圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成60°角的平面截圆锥所得椭圆的离心率

为.

15.(13分)已知函数/(x)=e"x-ex-6在x=0处的切线为x轴.

(1)求a,b的值；

(2)求/(x)的单调区间.

16.(15分)如图所示，五面体48c£>£中，ABLBC,四边形48DE为平行四边形，点E在面48c内的

投影恰为线段NC的中点，AE=AC=2AB=2.

(I)求五面体N3CDE体积；

(2)求平面/EC与平面夹角的余弦值.

17.(15分)过双曲线十―y2=1的右焦点F作斜率相反的两条直线八、12,人与£的右支交与/、B

两点，/2与E的右支交C、。两点，若NC、相交于点尸.

(1)求证：点P为定点；

(2)设/C的中点为3。的中点为N,当四边形NCAD的面积等于|卬2时，求四边形/CAD的周

长.

18.(17分)2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮.某地游乐园

一迷宫票价为8元，游客从/处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，

用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走(每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果)直

第3页(共19页)

到从X(X=1,2,3,4,5,6,7)号出口走出，且从X号出口走出，返现金X元.

(1)随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表:

男性女性总计

喜欢走迷宫121830

不喜欢走迷宫13720

总计252550

判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关?

n(czd—be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(左三向)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(2)走迷宫“路过路口8”记为事件瓦从“X号走出”记为事件/x，求尸。5度)和尸(为/4)的值;

(3)设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？

4

-------------------7

川IIIIII

19.(17分)已知平面内定点/(0,1),P是以CM为直径的圆C上一动点(。为坐标原点).直线。尸与

点/处C的切线交于点2,过点3作x轴的垂线BN,垂足为N,过点尸作x轴的垂线尸。，垂足为0,

过点尸作8N的垂线尸垂足为

(1)求点M的轨迹方程「；

(2)求矩形PMV0面积的最大值；

(3)设M的轨迹「，直线x=-〃，x=n(»GN*)与x轴围成面积为入，甲同学认为随〃的增大，入也

会达到无穷大，乙同学认为随〃的增大人不会超过4,你同意哪个观点，说明理由.

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2025年湖南省长沙市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.（5分）己知集合尸={x[x>-2},。={小2+5『24W0},则QA（CRP）=（）

A.{x\-8xW-3}B.{x|-3WxW-2}C.{x|-3Wx<-2}D.{x\-8WxW-2}

【解答】解：解不等式f+5x-24W0,得-84W3,则0={x|-8WxW3},

由P={x|x>-2},得CRP={小由-2},

所以QC（CRP）={X|-8WXW-2}.

故选：D.

T—TTT->T

2.（5分）平面向量a,b满足|b|=a・b=l,贝Ua在b方向上的投影向量为（）

1T1——T

A.—-QbB.—bC.-bD.b

22

T-

TTa-bTT

【解答】解：依题意，a在b方向上的投影向量为kb=b.

\b\2

故选：D.

3.（5分）若（1+ai）（a-z）>0,a€R,则（）

A.=1B.a=±lC.aW-1或D.

【解答】解：（l+山）（a-i）=2a+（a2-1）i,依题意，2a+（a2-1），是正实数，因此j2。〉。，

la2—1=0

所以a=L

故选：A.

4.（5分）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开

展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与⑦所在直

线异面垂直，E、尸分别为N2、8的中点，且斯，EFLCD,线拐子使用时将丝线从点/出发，

依次经过。、B、C又回到点/,这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中N3

=EF=CD=30cm,则丝线缠一圈长度为（）

B

简图

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A.90V2cmB.90A/3cmC.60V6cmD.80V3cm

—>—>—>—>—>—>

【解答】解：依题意EB1EF,FD1EF,EB1FD,

—>—»—>—»—>—>

所以EB-£T=O,FD-EF^0,EB•FD=Q,

又BD=BE+EF+FD,

—>T—>—>T—>TT—>—>—>—>

所以B£)2=(BE+EF+FD)2=BE2+EF2+FD2+2,BE-EF+2BE-FD+2EF-FD

=152+302+152=152X6,

—>—>—>—>__

所以=15V6,同理可得|4D|=\AC\=\BC\=15遍，

所以丝线缠一圈长度为4x15V6=60遍(cm).

故选：C.

5.(5分)定义在R上的函数/G)周期为4,且/(2x+l)为奇函数，则()

A.f(x)为偶函数B./(x+1)为偶函数

C.f(x+2)为奇函数D.f(x+3)为奇函数

【解答】解：因为/1(2x+l)为奇函数，所以-2x+l)=-f(2x+l),

所以/(-x+1)=-/(x+1),所以/(x+1)为奇函数，故8错误；

因为定义在R上的函数/G)周期为4,所以/(x+4)=f3,

由8选项可知，所以/(-x+2)=-f(x),贝U/(-x+2)=-f(x+4),

所以/(-x+3)=-/(x+3),则/(x+3)为奇函数，故。正确；

由/(-x+1)=~f(x+1),所以/(-x+1)+f(x+1)=0,则/'(x)关于(1,0)对称，

令/(x)=sin(TIX),则/'(x+4)=sinn(x+4)=simrx=/(x),满足函数/'(x)周期为4,

且/(2x+l)=sin(2TTX+TT)=-sin(2itr)满足/(2x+l)为奇函数，

但是/(x)=sin(to)为奇函数，故/错误；

令/'(久)=cos(枭)，贝叭%+4)=cos玲(尤+4)]=cos(^x)=/(x),满足函数/(x)周期为4,

又/'(2久+1)=COS[^(2X+1)]=COS(兀龙+5)=-S讥(7TX)满足f(2x+l)为奇函数，

但是/(x+2)=cos怎(x+2)]=cosfj^x+兀)=一cos©%)为偶函数，故C错误.

故选：D.

6.(5分)现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求

每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为()

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A.216B.432C.864D.1080

【解答】解：求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有属种方法，

再把4名语文教师按2：1：(1分)成3组，并分配到三所学校，有第用种方法，

最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有国种方法，

由分步乘法计数原理得不同的安排种数为国•《禺・度=432.

故选：B.

7.(5分)函数/(x)=cos3x-4sin2x在区间［-2024m2024n］内所有零点的和为()

A.0B.-2024HC.1012TID.-1012TT

【解答】解：依题意，f(x)=cos(2x+x)-4sin2x=cos2xcosx-sin2xsiiu-8sinxcosx

=(1-2sin2x)cosx-2sin2xcosx-8sinxcosx=cosx(1-4sin2x-8sinx),

由f(x)=0,

得cosx=0或sin%=在22或sin%=号4(不符合题意，舍去)，

又函数y=cosx是偶函数，

则在［-2024m2024用上的所有零点关于数0对称，它们的和为0,

正弦函数歹=sinx的周期为2m

方程sinx=Q(OVQVI)在［0,2n］的两根和为m在［-如，0］上的两根和为-3n,

/~E_Q

因此s讥久=安£在［2阮，2(KI)TT］,-1012^^1011,住Z上的两根和构成首项为-4047TT,末项

为404511的等差数列，共有2024项，

所有根的和为-2024n.

故选：B.

8.(5分)过抛物线C：/=4x焦点尸且斜率为旧的直线与C交于/、3两点，若尸尸为△为8的内角平

分线，则面积最大值为()

81632

A."B.—C.—D.16

333

【解答】解：抛物线C：丁=4%焦点厂(1,o),直线45的方程为了二遮(％-1),

1

由,=百0-1),解得3迎晨二■不妨令吗'一竽)，g2a，

(片=4%

3

则|A8|=^+1+3+1=学，捺'=¥=3，由尸尸为△出8的内角平分线，

第7页(共19页)

|P4|^PA\-\PF\sin^APFS^APF\AF\

得两=|j丽即许=或蒜=两=3’坟点尸（x,了）,

于是J。_3）2+（y_2遮）2=3卜一1+（y+竽）2,

整理得了+（y+遮）2=4,显然点尸在以点（0,—遥）为圆心，2为半径的圆上,

因此点P到直线AB距离的最大值为2,

I1616

所以面积最大值为5x2x—=—.

故选：B.

二、多选题

（多选）9.（6分）要得到函数y=s讥（2乂+倒的图象，可将函数尸sinx的图象（）

7T

A.向左平移工个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍

O

B.向左平移三个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的;

C.纵坐标不变，横坐标变为原来的二再将所得图象上所有点向左平移g个单位长度

L6

TT

D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移］个单位长度

【解答】解：对于/,所得解析式为y=s讥6久+看），/错误；

对于8,所得解析式为y=sin（2x+《），3正确；

对于C,所得解析式为y=sin［2（x+卜）］=sin（2x+，），C正确;

对于D,所得解析式为y=s讥弓（x+Q=si7i（?+.），D错误.

故选：BC.

（多选）10.（6分）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录

与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件数字是5的倍数”为事件8,“数字是

第8页（共19页）

7的倍数”为事件C,则下列选项不正确的是()

A.事件/、B、C两两互斥

B.事件NU3与事件8AC对立

C.P(48C)=P⑷P(2)P(C)

D.事件/、B、C两两独立

【解答】解：质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地

面接触面上的数字，

记事件“数字为2的倍数”为事件“数字是5的倍数”为事件3,“数字是7的倍数”为事件C,

依题意抛掷一次可能出现的结果有2、5、7、70,

91

事件A包含的基本事件有2、70,贝皿力)=今=今

事件8包含的基本事件有5、70,贝i]P(8)U；

事件C包含的基本事件有7、70,则P(C)U；

显然事件/与事件2,事件/与事件C,事件C与事件3均可以同时发生，

故事件/与事件事件N与事件C,事件C与事件8均不互斥，故/错误；

事件NU8包含的基本事件有2、5、70,

事件8。C包含的基本事件有70,

当出现70时事件AUB与事件SAC均发生，故事件AUB与事件BHC不互斥，

显然不对立，故8错误；

又事件/8C包含的基本事件有70,所以P(4BC)=J,

所以尸(ABC)WP(/)P(B)P(C),故C错误；

因为事件3C包含的基本事件有70,所以P(BC)=*=P(B)P(C),所以2与。相互独立；

因为事件42包含的基本事件有70,所以PQ4B)=[=P(B)PQ4),所以2与4相互独立；

因为事件/C包含的基本事件有70,所以PQ4C)=*=PQ4)P(C),所以/与。相互独立；

即事件/、B、C两两独立，故。正确.

故选：ABC.

11

==

(多选)11.(6分)已知数列{劭},{6«},¥两足册+1=册+7=垢+=€N*),a\bi\J当〃三2

an

时，QnWbn，则()

第9页(共19页)

A.。32>8

11

B.a+-r--+T--------

n+1°n+l，n+2

C.VZ7〃+I+Q%

D.（。及+斯+1）（bn+bn+O24

11

【解答】解：由册+i=a九+—=b+y-（nCN*）,ax=b1=1,

anDnn

111

a

所以。2=i+-=2,又a九+i=a九+—,显然斯>0,所以a九+i—an=—〉0,

Cl-]Lt/I“71

所以｛斯｝单调递增，则｛;｝单调递减，

即an+\~an>an+2-斯+1，所以2斯+1>斯+2+即①，

11、11

由册+薪="九+瓦？设"n+点'="n+瓦=k（k>。），

即劭、b为关于％的方程，-而+1=0的两根，所以斯瓦=1,

即％i=2，bn+l=2/?+1比=1，则册+1=3—，代入①得斯+1+〉册+，故5正确;

D

nZOs十,。九+1。几+ion+2

11

当时,a九+i=。九+—9所以成+1=成+2+运，

所以W+1—碎=2H—2>2,

an

所以成一4_1>2,碎_1一碎_2〉2’...，慰一山二3,

所以成—>2n—1,则成>2n,

所以说2>2X32=64,所以的2>8,故4正确;

因为｛劭｝单调递增，所以斯+1>斯，又因为函数/（%）=%-纸（0,+°°）上单调递增,

所以“+1—六

71

CLn

所以an+\-bn+\>an-b”

所以Q〃+i+b〃>a〃+b〃+i,故C错误；

因为（斯+即+i）Cbn+bn+O=anbn+an+1bn+anbn+1+an+1bn+1

—2+。九+18九+。71力九+1N2+2Ja九+1b九a九6九+1—4,

当且仅当an+ibn=anbn+i时取等号，故。正确.

故选：ABD.

三、填空题

12.（5分）（/+1）（2久一"）4的展开式中常数项为16

第10页（共19页）

【解答】解：依题意，（2%-办4展开式的常数项为鬣（2x）2.（一1）2=24,

含/2的项为或（2x）1•（—1=_*

所以（久2+1）（2%-办4的展开式中常数项为1X24+/（-爰）=16.

故答案为：16.

13.（5分）若a=*，b=tcm器，c="盖，则a,b,c的大小关系为c<a〈b（用号连接）.

【解答】解：令函数/（x）=tanx-x,抚（0,1）,求导得f我）=cMx—s叱（―sinx）_]=j_一,

COS乙Xcos£x1>0

即函数/（x）在（0,1）上单调递增，/（X）>/（0）=0,则器）>0,即力=tan品>备>表=a,

1

令函数g（x）—In（x+1）-x,x&（0,1）,求导得g（x）=钙彳—1<D,

即函数g（x）在（0,1）上单调递减，g（x）<g（0）=0,则9（的;）VO，即。=Zn2^;<至'=a,

所以a,b,c的大小关系为c<a<6.

故答案为：c<a<6.

14.（5分）数学家Ge加打adZ>a"de/沅用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别

与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）.若

圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成60°角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为_半_.

【解答】解：令两个球。2分别与截面相切于点£,F,在截口曲线上任取一点“，过点〃作圆锥

的母线，

分别与两个球相切于。，P,HQ,均为球。1的切线，则同理

因此HE+HF=HP+HQ=PQ>EF,由切点尸，0的产生方式知，P。长为定值，

于是截口曲线上任意点H到定点E,尸的距离和为定值，该曲线是以点E,尸为焦点的椭圆，

作出几何体的轴截面，如图，设&4=2,依题意，ZS=60°,ZSAB=30°,

则NSBA=90。，SB=1,AB=W，椭圆的长轴长2a==V3,半焦距为c,

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AB+SB-SAV3-1,因此c=4,所以离心率e=£=^.

贝Ua—c=BF=

22

»,V3

故答案为：—.

15.（13分）已知函数/（%）=/-ex-6在x=0处的切线为x轴.

(1)求a,b的值;

（2）求f（x）的单调区间.

【解答】解：（1）因为f（x）=eax-ex-b,所以，（x）=aeax-e,

依题意知，f(0)=0且/(0)=0,

X2解得｛:a—e

所以

b=1'

（2）由（1）可得/（%）=*一4―1函数的定义域为R,

又，(x)=eex+i-e=e(eex-1),

ex+1ex+2

令g(x)=f(x)=e-ef则g'(x)=e>0,所以g(x)在定义域R上单调递增，即，(x)

在定义域R上单调递增,

又/'(0)=0,所以当x<0时/(x)<0,当x>0时，(%)>0,

所以/（x）的单调递减区间为（-8,o）,单调递增区间为（0,+8）.

16.（15分）如图所示，五面体48CDE中，ABLBC,四边形4SDE为平行四边形，点£在面45C内的

投影恰为线段NC的中点，AE=AC=2AB=2.

第12页（共19页）

（1）求五面体N3CDE体积；

（2）求平面/EC与平面D3C夹角的余弦值.

【解答】解：（1）因为点£在面/8C内的投影恰为线段NC的中点，作EOL/C垂足为。，则£。，平

面/8C,

因为NE=NC=2/8=2,所以△口（7为等边三角形，所以E。=72一[2=旧,

又AB工BC,所以8」=7AC2一府=百,

过点E作AC的平行线EF,过点D作BC的平行线交EF于点F,

又四边形/ADE为平行四边形，所以不为三棱柱，

则匕1BC-DFE=S&ABC.EO=[XV3X1XV3=彳

1

又三棱锥C-DEF的体积是三棱柱ABC-EDF的体积的1

2

所以五面体ABCDE的体积是三棱柱ABC-EDF的体积的1

所以五面体4BCDE的体积U=掾x《=1.

（2）由（1）知EO_L平面N3C,在平面48c内过点。作OM_L/C交8c于点M,

如图建立空间直角坐标系，

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则/(0,-1,0),C(0,I,0),B(g,0),E(0,0,V3),

又AB=ED,所以。(翌，I，V3),

所以=>0),CD=>-今’V3),

又平面/EC的法向量可以为£=(L0,0),

T->一

设平面。5c的法向量为TH=(%,y,z),则7nle81,m1CD,

(TT热3

Im-CB=-7T-x—yy=0一_

贝MT一片；，取租=(3,V3,1-1)，

(m-CD=-^-x—2y+V3z=0

设平面NEC与平面DBC夹角为e,贝ijcose=±=4[_3_3/13

|m|-|n]-1x713-13

17.(15分)过双曲线E；?—y2=1的右焦点F作斜率相反的两条直线八、12,人与£的右支交与/、B

两点，/2与E的右支交C、。两点，若4C、相交于点尸.

(1)求证：点P为定点；

(2)设NC的中点为M,3。的中点为N,当四边形/CAD的面积等于|卬2时，求四边形/CAQ的周

长.

【解答】解：(1)证明：易知双曲线E；"―y2=1的右焦点/(2,0),

由人与E的右支交与/、B两点，/2与£的右支交C、D两点，

设直线/1的斜率为人"W0),则直线/i：y=k(x-2),

(y=fc(x—2)

由卜2,，得(1-39)x2+120x-12庐-3=0,

匕7=1

设/(XI，yi),B(X2,>2),不妨设X1>X2,

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'1—3/40

L=144k4-4(1-3k2)(-121c2-3)>0

，2,解得孚或孚,

则《xx12kkV—k>

久1+"2_3卜2_1'U33

12k2+3

口2=萧，>。

又/1与及斜率相反，即4与/2关于X轴对称，又NC、3。相交于点尸,

则/点与。点对称，3点与C点对称，则NC与AD也关于x轴对称,

根据对称性可知尸点一定在工轴上，设尸（冽，0）,又C（X2，-"），

V-I-Vo_

所以-----=------，所以2%112+4加=（2+冽）（xi+%2）,

x1—m%2—m

即2^-1+46=（2+根）（素旨），解得小=|）

所以直线/C、8。相交于点P（*,0）.

（2）依题意四边形/C2。为等腰梯形，为梯形的中位线，

设8C、与x轴的交点分别为G、H,则且MN与G"互相平分,

所以LCBD=04。什蜉*GH|=|MN|•|GH|=\MN\2,

所以L=|GA],则四边形MGNH为正方形，

所以MG〃N8且斜率为1,

y=x-2

6—A/6

所以直线/1：尸X-2,则721得2》2_12X+15=0,解得比1=后或比2

巳7=13

(71.(Q2+-/6)2—^6

贝M=%i-2=—^―，y2=x2~2=—^―，

grpi(-6+A/62+布、6—762—A/6.

所以ZA(-2-,-),Bpr(_2一,-2

则。（如弁,—2—V6Ar(6-A/6-2+V6.

-2-)'"22)

\r6+^66—A/6An~_z2+^/6-2+>/^、.

所以|4C|=[L------厂)+(F-----------L)=Vio,

田。|=2(^^)=四一2,|4。|=2(^^)=灰+2,

所以四边形/CSD的周长为2遥+2V10.

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18.（17分）2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮.某地游乐园

一迷宫票价为8元，游客从/处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，

用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直

到从X（X=1,2,3,4,5,6,7）号出口走出，且从X号出口走出，返现金万元.

（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表:

男性女性总计

喜欢走迷宫121830

不喜欢走迷宫13720

总计252550

判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（笈三左0）0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）走迷宫“路过路口5”记为事件-从“X号走出”记为事件求尸（在医）和尸（回4）的值;

（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？

【解答】解：（1）根据列联表中的数据可得依=磊誉=3<3.841,

所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关；

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(2)依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，

1

所以向北与向东走的概率均为了

由4到路口B需向北走2个，向东走3个路口，则不同路线有或条，

所以P(B)=髭XG)5==,

事件表示从《出发经过路口3最后从5号路口走出，

则P(&B)=虞X[)5X的X(1)3=演，

1q

所以P(4|B)=/黑=率=看

P(用/4)表示从4出发最后从4号路口走出的条件下经过路口5的概率，

又P04)=心X(1)8=卷，PQ44B)=髭X(1)5X禺X©)3=磊，

所以P(8M4)=[图'=量=*

128

(3)依题意从X(X=L2,3,4,5,6,7)号出口走出，返现金X元，

所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为Y=8-X,

所以P(y=7)=©x(1)8+(1)7=短，

「《=6)==*(/=照,

P(Y=5)=髭X[)8=嘉p(y=4)=或X(1=70_,

P"=3)=鹰X(抄=嘉p(y=2)=既X(抄=/，

「(丫=1)=小(抄+(打=短，

所以每名游客游玩一■次游乐园收入的期望为：7x,+6x-^7+5x+4x+3x+2x

z5oZ5o256Z56256

28-94

256+1X256=4,

每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为500X4=2000元.

19.(17分)已知平面内定点/(0,1),P是以04为直径的圆C上一动点(。为坐标原点).直线OP与

点4处C的切线交于点瓦过点8作x轴的垂线3N,垂足为N,过点尸作x轴的垂线尸。垂足为0,

过点尸作BN的垂线垂足为

(1)求点M的轨迹方程r；

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（2）求矩形尸儿WQ面积的最大值；

（3）设M的轨迹「，直线x=-〃，x=n（〃eN*”与x轴围成面积为入，甲同学认为随〃的增大，人也

会达到无穷大，乙同学认为随〃的增大人不会超过4,你同意哪个观点，说明理由.

【解答】解：（1）设点>）,依题意，直线A3的方程为了=1,3（x,1）,显然点尸与。不重合,

当点P与点N不重合时，连接4P,由P是以CM为直径的圆。上一点，则4P_L。尸,

由48〃x轴，得△NOBs△尸o/s0P。，则岑■=■。11P。1_IPQI

\0B\"\0B\~\A0\

1

而|OB|=V^TT'则阿|=磊’于是^^=2即”占,

当点尸与点4重合时，点5与点4重合，点