切线问题综合【11类题型】-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

热点专题3-2切线问题综合

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题，5分

年新高考卷第题，分

2024I135(1)求在某处的切线

(2)设切点求过某点的切

2023年甲卷第8题，5分考察导数的几何意义，切线的相

线以及公切线

关计算求值求参

2022年I卷第15题，5分(3)利用切线的条数求参

数范围

2021年甲卷第13题，5分

2021年I卷第7题，5分

模块一卜热点题型解读(目录)

【题型1】求在曲线上一点的切线

【题型2】求过某点的切线

【题型3】已知切线斜率求参数

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

【题型6】切线斜率取值范围问题

【题型7】公切线问题

【题型8】由切线条数求参数范围

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

【题型10］与切线有关的参数范围或最值问题

【题型11］牛顿迭代法

模块二核心题型•举一反三

【题型1】求在曲线上一点的切线

基础知识

yn=f（xn）

函数y=/（x）在点A（%,/（%））处的切线方程为》-/（%）=/'（%）（"/）,抓住关键

［左=/（X。）

1.（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线”力=炉+3>1在（O,T）处的切线与坐标轴围成的面积

为（）

A.-B.立C.-D.卫

6222

2.（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数/⑺,则曲线>=”可在（0,1）处的切线

与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

【巩固练习1］已知曲线〃力=疝比在点（ij（i））处的切线为/,则/在y轴上的截距为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【巩固练习2】（23-24高三•福建宁德•期末）已知函数〃力在点x=-1处的切线方程为x+y-l=O,

则/'（T）+/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【题型2】求过某点的切线

基础知识

【方法技巧】

设切点为尸&）,%）,则斜率左二/'（%）,过切点的切线方程为：y一%=

又因为切线方程过点A（Q,。）,所以匕一%二/'（%）（。一/）然后解出/的值.

3.（2024•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线〃x）=e，（x2-2x+2）的切线，则切线共有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

4.（2022年新高考全国I卷T15）曲线y=m|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【巩固练习1】已知直线丫="-2是曲线y=Inx的切线，则切点坐标为（）

B.(e,l)D.(0,1)

【巩固练习2】（2024.山西吕梁.二模）若曲线〃尤）=向在点P（x。，兀）处的切线过原点0（0,0）,则

xo=-------------

【巩固练习3】（2019•江苏卷）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=ln_x上，且该曲线在点A处

的切线经过点（-e,-l）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是—.

【巩固练习4】（23-24高三・广东•期中）过点P（l,l）作曲线y=d的两条切线（，设（，％的夹角为。，

贝！Jtan9=（）

57911

A.—B.―C.—D.一

13131313

【题型3】已知切线斜率求参数

基础知识

已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处

的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上.

2

5.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知曲线/（x）=lnx+,在点（1J0））处的切线的倾斜角为余则。的

值为.

6.（2024•贵州六盘水•三模）已知曲线,=尤2-3欣的一条切线方程为y=T+〃z,则实数加=（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.（2024•全国•高考真题）若曲线y=e*+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=in（x+l）+a的切线，贝！]

a=.

【巩固练习1]（23-24高三・山西晋城•期末）过原点O作曲线/⑴二砂-度的切线，其斜率为2,则

实数〃二（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

【巩固练习2】（2024・四川•模拟预测）已知机>0,〃>0,直线y=!x+〃z+l与曲线y=hu-"+3相

e

切，贝！J加+〃=.

【巩固练习3]（23-24高三・安徽合肥・期末）若函数〃力=7与8（力=j"-6在》=1处有相同的

切线，则a+b=（）

A.-1B.0C.1D.2

【巩固练习4]（2024•河北沧州•模拟预测）已知直线，：'=区是曲线〃力=片和g（x）=lnx+a的公

切线，则实数斫.

【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值

基础知识

利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.

8.（23-24高三.安徽.阶段练习）已知尸是函数/（^ne,+x2图象上的任意一点，则点P到直线

x-y-9=0的距离的最小值是（）

A.3行B.5C.6D.50

9.（23-24高三.广东惠州.阶段练习）已知点P在函数/（x）=e2，+x+9的图象上，则尸到直线

/:3x-y-10=0的距离的最小值为.

【巩固练习1】（23-24高三•河南南阳•阶段练习）点尸是曲线/（x）=J7上一个动点，则点P到直线

%-y+2=。的距离的最小值是（）

A.逑B.1C.逑D.之

8444

【巩固练习2】（23-24高三•河北石家庄•阶段练习）曲线y=ln（3x-2）上的点到直线3x-y+7=0的

最短距离是（）

A.75B.710C.3A/5D.1

【巩固练习3]（23-24高三.河南•阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选

出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的

最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距

离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点尸是曲线y=31nx-]V上任意一点，则尸到直线

4x-2y+5=0的距离的最小值为.

【巩固练习4】（2024•山西朔州•模拟预测）已知A,8分另I］为曲线y=2e,+x和直线y=3x-3上的点,

则的最小值为.

【题型5】奇偶函数的切线斜率问题

基础知识

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.

y

10.已知/(%)为奇函数，且当XV。时，/(%)=—,其中e为自然对数的底数，则曲线“X)在

点(1,7(1))处的切线方程为.

11.(2024.福建福州•模拟预测)已知函数〃x)是偶函数，当x>0时，”力=/+2%测曲线>=/(力

在x=-1处的切线方程为()

A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+8

12.(2024・湖北.一模)已知函数〃x)为偶函数，其图像在点(I/⑴)处的切线方程为x-2y+l=0,

记/(%)的导函数为/'(x),则/'(T)=()

11

A.—B.—C.—2D.2

22

【巩固练习1】已知“X)是奇函数，当x<0时，/(%)=—,则函数“X)的图象在X=1处的切线

x+2

方程为()

A.2x—y+1=0B.x—2y+1=0

C.2x-y-l=0D.x-h2y-l=0

【巩固练习2】(23-24高三.河南洛阳・期末)已知函数g(x)为奇函数，其图象在点(a,g(。))处的切线

方程为2x-y+l=0,记g(x)的导函数为g'(x),则g<-a)=()

11

A.2B.—2C."D.——

【巩固练习3】(2024.山东济宁.三模)已知函数/J)为偶函数，当x<0时，/(x)=ln(-x)+x2,则

曲线y=/(x)在点(1"(D)处的切线方程是()

A.3x—y-2=0B.3x+y-2=0C.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【巩固练习4】(2024•海南海口•二模)已知函数的定义域为R,/(x+1)是偶函数，当时，

f(x)=ln(l-2x),则曲线y=/(x)在点(2)(2))处的切线斜率为()

22

A.—B.—C.2D.-2

55

【巩固练习5]（23-24高三.广东深圳•期中）已知函数〃x）=e1nx与偶函数g（x）在交点处

的切线相同，则函数g（x）在x=-1处的切线方程为（）

A."―y+e=OB.—e=0

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【题型6】切线斜率取值范围问题

基础知识

利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.

一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率

2

13.点P在曲线y=上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角a的范围是（）

「八兀、3兀、_「3〃、,兀、3»、

A.[0,—]B.（―,--]C.[--,71）D.[r0,—）u[r—

224424

14.（2021.河南洛阳•二模）已知点p在曲线y=上移动，设点p处切线的倾斜角为a,则角a

的取值范围是.

【巩固练习1】过函数/（x）=；e2"-x图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（

)

B.

D.

点在曲线+；上移动，设点处切

【巩固练习2]（22-23高三•江苏镇江•阶段练习）Py=V-P

线的倾斜角为a,则角。的范围是（

5兀2兀JIJI

A.B.,7rD.

T6,2

【题型7】公切线问题

基础知识

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有

关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解.

公切线问题主要有以下3类题型

(1)求2个函数的公切线

解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解

(2)2个函数存在公切线，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题

(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围

解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题

15.(浙江绍兴二模T15)与曲线y=e£和尸-匕都相切的直线方程为.

-4

16.(2024•广东茂名•一模)曲线y=与曲线,=%2+2以有公切线，则实数。的取值范围是()

A.1-8,-gB.一；，+001C.(一00，；D.1

—,+00

2

17.(2024・福建泉州•模拟预测)若曲线y=V与y=*(tW0)恰有两条公切线，贝Ut的取值范围为()

A.B.C.(-8,0)。［，，+8］D.

【巩固练习1X23-24高三.江西吉安•期末)函数/(x)=2+lnx与函数g(x)=d公切线的斜率为()

A.1B.±eC.1或0D.1或/

【巩固练习2】已知直线、=力+女。€&》＞0)是曲线=3与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则

a+6的值为.

,1一

【巩固练习3】已知直线/与曲线C］：y=『和C,:y=—-均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角

X

形的面积为.

与坐标轴交点分别为。,0)、(0,—4),围成的三角形面积为：；xlx4=2.

【巩固练习4】已知函数/(x)=3+lnx,g(x)=x2-7nr,若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)存在公切

线，则实数加的最大值为.

【巩固练习5](2024・湖南长沙三模)斜率为1的直线/与曲线y=ln(x+a)和圆/+丁=；都相切，

则实数。的值为()

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

【巩固练习6】(长沙雅礼中学月考(六))已知函数/(x)=21nx,g(x)=*_x4(a>0),若直

线y=2x-6与函数y=/(x),y=g(X)的图象均相切，则。的值为;若总存在直线与函数

y=/(x),y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是

【题型8】由切线条数求参数范围

基础知识

设切点为P(x(),%),则斜率々=/'(Xo),过切点的切线方程为：y-y0=/XXQXX-XQ),

又因为切线方程过点A(a,b),所以/?-%=fXx0)(a-x0)然后解出x0的值，有多少个解对应有多少

条切线.

18.(2022年新高考全国I卷数学真题)若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线，则。的取

值范围是.

19.(2024.河南信阳•模拟预测)若过点(l,a)仅可作曲线y=xe，的两条切线，贝M的取值范围

是.

20.(2024届广东省六校高三第一次联考T8)已知函数/(x)=-V+2/-x,若过点尸(1J)可作曲

线y=/G)的三条切线，则力的取值范围是

【巩固练习1](23-24高三•湖北武汉•阶段练习)已知过点4(。,。)可以作曲线，=口-1)/的两条切

线，则实数。的取值范围是()

A.(1,+co)B.(-<»,-e)u(2,+oo)

C.(-oo,-2)u(2,+oo)D.(^o,-3)u(l,+oo)

【巩固练习2】(2024届•广州中山大学附属中学校考)过点(3,0)作曲线〃x)=xe'的两条切线，切点

分别为(如/(%)),(%,八％)),则%+%=()

A.-3B.一百C.君D.3

【巩固练习2】（2024咛夏银川•二模）已知点尸（1,力?）不在函数/（j）=x3-3mx的图象上，且过点P仅

有一条直线与/（x）的图象相切，则实数加的取值范围为（）

A-B.y,o）u（；,+s）

c.D.（一叫；）53,+8）

【巩固练习3X2024.内蒙古.三模）若过点（a,2）可以作曲线y=ln%的两条切线，则a的取值范围为（）

A.（-00,e2）B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,ln2）

【巩固练习4］已知点A在直线x=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=相切,

则点A的轨迹长度为（）

A.2B.4C.6D.8

【巩固练习51若曲线y（x）=宗有三条过点（°，。）的切线，则实数a的取值范围为（）

A.［O,£|BJo,£|c.（o,jD.（。，3

【巩固练习6］若过点（。1）可以作曲线y=lnx的两条切线，贝U（）

A.eb>0>aB.lna>0>bC.eb>a>0D.lna>b>0

【巩固练习7】（2024高三.辽宁本溪•期中）若过点（l,b）可以作曲线y=ln（x+l）的两条切线，贝心）

A.In2<b<2B.b>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>l

【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题

基础知识

利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.

21.（2024.河北邢台・二模）已知函数/（x）=f+21nx的图像在4（&/（%））,8仁"d））两个不

同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

A.%+/=2B.玉+/=C.石4=2D.x^2—

22.已知函数/（xNS-Sks+g-ZW+STx+a若对任意％eR,曲线y=/（x）在点（%,/（%））

和（-%,/（-%））处的切线互相平行或重合，则实数”=（）

A.0B.1C.2D.3

23.（2024・辽宁•二模）已知函数的图象与函数为=屋（。>0且"1）的图象在公共点处有相同

的切线，则4=，切线方程为.

【巩固练习1]（2024.全国•模拟预测）已知函数/（尤）=（尤+°）2+lnx的图象上存在不同的两点A5,

使得曲线y=/（x）在点AB处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数。的取值范围是（）

A.^—oo,l—V2jB.（1-V^,0）C.卜00,1+A/^）D.（0,1+A/5）

【巩固练习2】（23-24高三•辽宁•阶段练习）已知函数〃x）=x（相-吗，曲线y=〃x）上存在不同

的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=%平行，则实数%的取值范围是（）

A.（1-e』l）B.（-l-e-2,-l）C.（-e",0）D.（l-e之+s）

x+—\ex,x>0,

【巩固练习3】（2024•河南・三模）已知函数/（尤）=12；点A,3在曲线'=/（©上（A

x3,x<0,

iBgl

在第一象限），过A,3的切线相互平行，且分别交y轴于p,Q两点，则骨的最小值为.

【巩固练习4]（2024•北京朝阳•一模）已知函数〃x）=；sin2x.若曲线y=/（x）在点处

的切线与其在点8（%,/（%））处的切线相互垂直，则再-々的一个取值为.

【题型10］与切线有关的参数范围或最值问题

基础知识

利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.

24.（2024•全国•模拟预测）若直线y=2x-6与曲线/（j）=e2x-2ax（a〉-1）相切，则b的最小值为（）

A.-eB.-2D.0

【巩固练习1】（2024•重庆•模拟预测）已知直线y=a%+6与曲线y=eX相切于点（X0,e&）,若

天«YO,3）,则a+%的取值范围为（)

A.(-oo,e]B.C.(0,e)D.(O,e3]

【巩固练习2】（2024•广东广州•模拟预测）已知直线k点+b恒在曲线y=ln（x+2）的上方，则一的

取值范围是（）

；,+0O

A.(1,+co)B.C.(0,+力)D.

【巩固练习3］已知直线丫=丘+万与函数+lnx的图象相切，则左-6的最小值为.

【巩固练习3】对给定的实数b,总存在两个实数。，使直线y=与曲线y=ln（x-A）相切，则b

的取值范围为.

【题型11］牛顿迭代法

基础知识

数形结合处理

25.（23-24高三・河南关B州•期中）“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法

求高次方程的根.如图，厂是函数〃力的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近「

的实数X。，为，巧，…，X"，其中毛是〃X）在x=x0处的切线与无轴交点的横坐标，4是“X）

在X=X处的切线与无轴交点的横坐标，…，依次类推.当|七-「|足够小时，就可以把X“的值作

i319

为方程〃x）=0的近似解.若/0）=百/-丁2+2尤一二，%=4,则方程〃x）=0的近似解

26.（2024•山东潍坊・三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程/（x）=0的根就

是函数/（X）的零点「，取初始值与,“X）的图象在点（X。,"%））处的切线与X轴的交点的横坐标

为小"》）的图象在点&"&））处的切线与％轴的交点的横坐标为々，一直继续下去，得到

石,程…，毛，它们越来越接近,•设函数/（力=