2024年上海市1月春考数学试题（含答案解析）

2024年上海市1月春考数学试题

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一、填空题

1.log2》的定义域为.

2.直线x-夕+1=0的倾斜角.

7_

3.已知--：=i,贝！Jz=_____.

l+i

4.(x-1)6展开式中的系数为.

5.三角形/8C中，BC=2,A=^,B=^,则48=

6.已知ab=l,4a2+9〃的最小值为.

7.数列{%},an^n+c,S7<0,c的取值范围为.

8.三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离

心率为.

9.已知/(x)=x2,g(x)=['fxj°八，求g(x)W2-x的x的取值范围_____.

10.已知四棱柱/BCD-44GA底面/BCD为平行四边形，AA,=3,2。=4且

ABiBC-ADcDC=5,则异面直线AA,与BD的夹角余弦值为.

11.正方形草地ABCD边长1.2,£到/氏40距离为0.2,b到8C,C。距离为0.4,有个圆形通

道经过E,尸，且经过上一点，求圆形通道的周长.(精确到0.01)

试卷第1页，共4页

12.q=2,2=4,%=&&=16,任意伉，仇，4,“£R，满足

{ai+aj\\<i<j<A]={bi+bj\\<i<j<^],求有序数列他,b2,b3A}有对.

二、单选题

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

A.a+b1>a+c1B.a2+b>a1+c

C.ab2>ac2D.a2b>a2c

14.空间中有两个不同的平面外〃和两条不同的直线加，〃，则下列说法中正确的是()

A.若a_1_£,加_La,"_L力，则〃_zL〃B.若a_1_£,机J_a,优_L",则"J■夕

C.若a//月，："//a,«///7,则加〃〃D.若a//£,机//a,机//〃，则〃///?

15.有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品

都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件3：所选盒中有记事本，

事件C：所选盒中有笔袋，则()

A.事件A与事件5互斥B.事件A与事件8相互独立

C.事件A与事件BuC互斥D.事件A与事件8cC相互独立

16.现定义如下:当xe(〃m+1)时(neN),若/(x+l)=/(x),则称〃x)为延展函数.已知

当xe(OJ)时，g(x)=e，且/7(x)=P,且g(x),人(x)均为延展函数，则以下结论()

(1)存在>=丘+。(左beR,左,6#0)与y=g(无)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b«Jbw"4*0)与>=/?(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

试卷第2页，共4页

三、解答题

71

17.已知/(x)=sin(<yx+§),a>>0

⑴设。=1,求解:了=/(苫)/€[0,可的值域；

(2)a>7i(aeR),/(x)的最小正周期为兀，若在xe[兀,可上恰有3个零点，求。的取值范围.

18.如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC.

(1)证明:尸/_L8C；

⑵若圆锥侧面积为6兀,BC为底面直径，BC=2,求二面角B-P/-C的大小

19.水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱.

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；

二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，

并预估果园中单果的质量.

22

20.在平面直角坐标系xQy中，已知点A为椭圆「:二+匕=1上一点，月、鸟分别为椭圆

62

的左、右焦点.

⑴若点A的横坐标为2,求周的长；

(2)设「的上、下顶点分别为M、M],记△/片乙的面积为几A/必必的面积为$2，若岳2$2，

求|。/|的取值范围

(3)若点A在X轴上方,设直线网与r交于点B,与y轴交于点K,KF1延长线与r交于点C,

是否存在X轴上方的点C,使得即+可§+而=2(即+行+反)(2eR)成立?若存在，

请求出点C的坐标;若不存在，请说明理由.

试卷第3页，共4页

21.记/(a)={z|，=/(x)-/(a),xN4，Z(@卜/=》一),x斗

(1)若/("=3+1,求M⑴和=1)；

⑵若/(x)=x3-3尤2,求证:对于任意aeR,都有M(a)口-4,+8),且存在。，使得

-4eA/(a).

(3)已知定义在R上/(x)有最小值，求证，"(x)是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数。,

均有M(-c)="c)”.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号13141516

答案BABD

1.(0,+co)

【分析】由对数函数性质即可得.

【详解】由题意可得x>0,即log?x的定义域为(o,+s).

故答案为：(0,+℃).

2.-

4

【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.

【详解】设直线x-y+i=o的倾斜角为。，。且。,明

易知直线V+1=0的斜率为1,

所以tan。=1,

解得。

4

故答案为：--

4

3.-1-/7-Z-1

【分析】借助复数的乘法运算与共拆复数定义计算即可得.

【详解】由题意可得Z=i(l+i)=-l+i,故I=

故答案为：-1-i.

4.15

【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.

【详解】(x-球展开式中令，的项为CX(-1)2=15/,

所以(x-l)6展开式中/的系数为15.

故答案为：15

53也+指

'3~

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

jrJr57r

【详解】二角形中，\'A+B+C=7i,A=—,B=—,.,.C=,

答案第1页，共13页

.「.「兀兀、.兀71兀.兀V2+V6

sinC=sin--F—=sm—cos——Fcos—sin—=-----------

U6)46464

由正弦定理匹；=名，,兀

BC=2A=—

sinAsinC3

?V2+V6

_5CsinC_2X43d

倚"^hTr"^

T

故答案为：逑士业

3

6.12

【分析】利用不等式/+/2仍即可求解.

［详解］4/+9/=(2“『+(36『22x2。义36=1246=12,

当且仅当作:即,T力=*或一口=一，时，等号成立,

故4/+处2的最小值为12.

故答案为：12.

7.(-00,-4)

【分析】先利用等差数列的定义判定｛%｝为等差数列，再利用等差数列性质即可求解.

【详解】因为见="+。，贝I]%"-%=(〃+l+c)-("+c)=l,

可知数列｛%｝为等差数列，

贝1]邑=7%=7(4+。)<0,解得c<T,

所以c的取值范围为(-叫-4).

故答案为：(-«,-4),

8.3

【分析】利用双曲线的定义求解即可.

【详解】由双曲线的定义，2c=6,2a=7-5=2,

则e，=3.

a

故答案为：3

答案第2页，共13页

9.(-8,1]

【分析】分X20与x<0两段求解二次不等式可得.

fY2r>0

【详解】根据题意知g(x)=1一八.

当xNO时，g(x)<2-x,gp2解得一则有OWxWl；

X+X-2<0,24XW1,

2

当x<0时，g(x)<2-x,SP-x+x-2<0,xeR,即x<0时，不等式g(x)W2-x都成立.

综上所述，g(x)V2r的龙的取值范围为(一叫1].

故答案为:(-8』.

5

10.—

12

【分析】将而1,西用不共面的向量益，麴，而表示出来，从而得到戴・灰-怒•友=5,

然后由公式计算夹角余弦值即可.

【详解】ABx=AB+'AAx^ADl=^D+'AAx,

二(在+春)纪-西+")友=5,

刀衣+数衣-15•反-羽.灰=5,

底面48CD为平行四边形，所以方.沃<=万5.皮，

所以而.就一数.皮=5,

"丽="(质-网=A^-AD-AAl-AB=AAl^BC^AAl^DC^.

—j-r~~AA-BD55

所以cosAA,,BD=itI=77----=—

9以\AA^BD\3X412，

故异面直线与BD的夹角的余弦值为

12

故答案为：—

11.2.73

【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可.

【详解】如图，以A为原点建系，易知£(0.2,0.2),尸(0.8,0.8),连接£尸,

答案第3页，共13页

不妨设跖中点为河(0.5,0.5),直线EF中垂线所在直线方程为了-0.5=-(x-0.5),

化简得了=-尤+1,所以圆心为半径为。，且经过瓦厂点

即(。-0.2)+(-a+l-0.2)=a~,化简得/—2a+0.68=0,

MWa=^^i=l±V032=l±-,

25

结合题意可得“=1-迪。0.434,故圆的周长为C=2侬。2.73.

5

故答案为：2.73

12.48

【分析】先确定{%+”6,10,12,18,20,24},再结合{«,+ay11</<j<4}=也+b]\\<i<j<A},

设4<%<&<"，可得到々+&=6,4+4=10,8+a=20,4+"=24,进而求出这四个数,

从而求得答案.

【详解】由题意知{生+“6,10,12,18,20,24},

满足以+明141<>4}=也+。|1勺<"4},

不妨设a<b2<b3Vb4,

则必有t\+b2=6,t>i+b3=10,b2+4=20,b3+4=24,

若仇+&=12,4+4=18,解得仇=2也=4,4=8,4=16；

若&+4=18,4+a=12,解得6]=-1也=7,4=11,64=13,

由此可知此时有2种情况，

结合任意生却%d©R，共有2P：=48对，

故答案为：48

答案第4页，共13页

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合｛%+%|14，<加4｝=也+%|14，<八4｝推出

〃时，这四个数的值，进而结合题意求得答案.

13.B

【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.

【详解】对于A,若c<6<0,则从<02,选项不成立，故A错误；

对于B,因为6>c,故a2+6>02+c,故B成立，

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误；

故选：B.

14.A

【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性

质结合线线以及线面的位置关系可判断CD；

【详解】对于A,若（/_!_/?,，"_La,则机//月或优u£,

又n，/3,当〃?//0时，在月内必存在直线/和加平行，则"，加；

当mu/?时，显然有所以〃z_L〃，故A正确；

对于B,若_△加J_a,则加〃月或mu夕，由优"L〃，则”与斜交、垂直、平行均有可

能，故B错误；

对于C,若a〃/，仅//a,则加//月或加u6，由〃〃£,则加与"相交、平行、异面均有

可能，故C错误；

对于D,若a//6，mlla,则加//£或加u£,又加〃力，则”//〃或"u/，故D错误.

故选：A.

15.B

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可.

【详解】选项A,事件A和事件3可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记

事本，事件A与事件8不互斥，A错误；

选项B,...2（/）=；,P（5）=1,P（4B）=:，

.-.P（A）P（B）=P（AB）,B正确;

选项C,事件A与事件BUC可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本

或笔袋，C错误；

答案第5页，共13页

选项D,•./(/)=；,p(sp|c)=i,p(^n(5Qc))=1,

.•.P(/)P(8CC)HP(/C(5CC)),

二4与8p|C不独立，故D错误.

故选：B.

16.D

【分析】由延展函数的定义分段求出g(x),〃(x)解析式，作出函数图象，数形结合可得.

【详解】当xe(l,2)时，x-le(O,l),则g(f=ej

又g'(x-1)=尸,则由延展函数定义可得g(x)=g,(x-l)=尸；

同理可得，当x«2,3),g(x)=e2；L.

任意〃eN,当xe(凡〃+1)时，g(无)=e'-".

当xe(l,2)时，x-le(O,l),则3-1)=(x-l)'。,则〃(无)=101-1)9；

同理可得,当x42,3)时,〃(x)=10x9(尤-2)8；L.

当xe(9,10)时，A(x)=10!(x-9)；

当/z(x)=10!；当x〃(x)=0；L.

则任意“eN,”211时，当xe(〃,”+l),〃(X)=O.

又因为当xe（9,10）,/7（X）=1O!（X-9）,

故当上=10!,6=-9xl0!时，

答案第6页，共13页

直线〉=10!X-9、10!与h0)的图象在区间(9,10)的函数部分重合,

即有无穷个交点，故(2)成立;

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数

在各段的解析式及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题.

rV3"

17.(1)--J;

【分析】(1)利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.

(2)利用三角函数的性质求解参数即可.

【详解】(1)因为0=1,所以/(x)=sin(x+

因为xe[0,7t],所以令+，

由正弦函数性质得y=g(f)=sint在上单调递增，在py上单调递减,

(2)由题意得T吟=兀，所以0=2,可得〃尤)=sing+g

当/(x)=。时,2x+—=kit,keZ,BPx=--+—,keZ,

362

5兀

当左=2时，X=L<71,不符合题意，

6

47r

当左=3时，x=3->兀，符合题意，

]]兀

当左=4时，X=——>71,符合题意，

6

7兀

当左=5时，X=—>TI,符合题意，

47r4冗

所以把+T«Q〈竺+

33

口口7兀/17兀,,

即—《。<---,故a

36

18.(1)证明见解析

答案第7页，共13页

1

（2）兀-arccos—

【分析】（1）取2C中点。，连接4。、PO,则/OLBCPOLBC,故可得8CL面尸NO,

从而得到尸

（2）利用向量法可求面尸/C、面P4B的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角

的余弦值.

【详解】（1）取2c中点O,连接NO、PO,

因为4B=AC,PB=PC,

又因为POu面尸/O,4Ou面尸/O,POc/O=O,所以8CJ_面尸/。,

因为P4u面尸/O,所以尸8c.

（2）因为3C为直径，故。为底面圆的圆心，故尸平面A4C,而/O1.8C

故可建立如图所示的空间直角坐标系，

因为圆锥侧面积为内力，8c为底面直径，BC=2,所以底面半径为1,母线长为百，

所以尸。=ylPA2-AO2=V2,

则可得尸（0,0,收）,N（O,1,O）,B（1,O,O）C（。,0,0）,

故沙=（O,1,-V^）,丽=（1,0,金），元=（-1,0,角,

—/、n}'PA=Qy]-V2z.=0

设％=（再,%,zj为平面的法向量，则{-----=>{匚

•PB-0[再一J2Z1=0

令国=拒，则必=也，4=1,所以々=（亚,C,l）.

设〃2=（工2%/2）为平面尸4。的法向量，

答案第8页，共13页

n-PA=Q歹2一=0

则2

PC=0A/2Z2=0

所以％=卜也，后,1）.

令马=-V2,则y2=V2,z?=1,

则cos"巧产丽=-而2+2环+1=]

设二面角5-R4-C为。，则。为钝角，

所以二面角3——C的大小为兀-arccos：.

17

19.（1）—

v745

（2）一'级果抽取6箱，二级果抽取2箱

（3）方差1427.27克2,平均数285.44克，预估平均质量为287.69克

【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案;

（2）利用分层抽样的定义进行求解;

（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.

【详解】（1）设/事件为恰好选到一级果和二级果各一箱,

样本空间的样本点的个数«=C2=坐詈=9180,

A事件的样本点的公式m=C；02.C；4=3468,

scrjp（4、=巴=3468=£7.

所'（）”918045'

（2）因为一级果箱数：二级果箱数=102:34=3:1,

31

所以8箱水果中有一级果抽取8x「=6箱，二级果抽取8x「=2箱;

3+13+1

（3）设一级果平均质量为总方差为S3二级果质量为亍，方差为S；,

总体样本平均质量为白方差为广，

因为£=303.45,7=240.41,£=603.46,S；=648.21,

所以彳=120x303.45+—x240.41=285.44克，

120+48120+48

12048

S2=]20~48*[603.46+(303.45-285.44)2]+[648.21+(240.41-285.44)11427.27克2.

预估平均质量为1士07了+£34•贡=287.69克.

答案第9页，共13页

20.（1）—；

3

⑵也可］;

⑶存在，。（-；，/）

【分析】（1）根据给定条件，求出点A的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得.

（2）设/（x,y）,切20,求出席邑，再利用给定关系求出F的范围，进而求出的范围.

（3）设/（占,必）,%>01色,%）,利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得%+2弘=0,

再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得.

22^22）

【详解】（1）设/（2沙），由点A为椭圆「土+匕=1上一点，得二+匕=1,即又

62623

片（一2,0）,

所以|/周=^2-（-2）］2+（J-0）2=^.

（2）设孙中0,而|片8|=4,|河［河21=2‘，

则工=；闺用削=2m，邑=；M阳2卜|=拒忖，由512邑,得2可之夜国，

BP2y2>x2,又工+匕=1,贝lj2『26-3/，解得

625

\OA\=yjx2+y2=J(6—3y2)+y2=个6—2y2G(V2,,

,由图象对称性，得A、C关于>轴对称，则C（一看,必）,

又与(—2,0),F2(2,0),于是£4=(石+2,%)，鼻8=(%+2,%)，耳。=(f+2",

答案第10页，共13页

则FXA+RB+F1C=(x2+6,y2+2%),同理6Z+F2B+F2c=(x2-6,y2+2y),

由即+而+隹=X⑥2+孽+炉)，得用+耳§+京//区1+可+成)，

因此(%2+6)(%+2%)=(%2-6)(%+2%)，即12(%+2%)=0,则必+2%=0,

设直线:x=my+2,由]：2_^：：6消去工得(加2+3)/+4叼-2=0,

-2f-2

%为=~2~~7=-2~~~

则m+3,，即m.+3,而%>0,解得/=也/-，出=也r-,

4m4m54

M+%=---T一切=------f-r

Im+3Im+3

由巧=机弘+2,得再=',所以c(_；,手).

【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或用

建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系;

涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

21.⑴〃(1)=[0,+8)；1(1)=[-1,+«);

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)将/(x)=V+l代入求解即可；

(2)根据函数g(x)=x3_3x2-/+3"的单调性，对。进行分类讨论，然后求出“⑷即可

证明；

(3)利用偶函数的定义，即可证明必要性，利用M(-c)=£(c),得出两个集合中最小的元

素相同，从而/(，)=/(-。)，即可证明充分性.

答案第11页，共13页

【详解】(1)由题意得:河⑴=,，=/+1-2,xZl}=[0,+”)；

"1)=,|=X24-1-2,x<1|=[-1,+a?)；

(2)由题意矢口M(“)={%|—3——+3。2,%2。},记8(%)=%3-3%2一〃3+3。2,有

g'(无)=3x2-6x=0=>x=0ng2,

X(-8,0)0（0,2）2(2,+8)