2024-2025学年北京市延庆区高三年级上册9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市延庆区高三上学期9月月考数学试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={%|-3<%<3},集合A={x|0<x<1},则=()

A.(1,3)B.(-3,0)U(1,3)C.(-3,0)D.(-3,0］U［1,3)

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(a,1),且满足(l-i)-z=2,贝Ua=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是()

A.y=-B.y=—%3C.y=x\x\D.y=logvc

2

4.若a<b<0,c>d>0,则一定有()

A.->B.-<^C.^>-D.^<-

cacaacac

5.若。<a<1,则()

1111

a

A.a3<a2B.2<3aC.loga->loga-D.sina>cosa

6.已知函数则)/(%)()

A.图象关于原点对称，且在［0,+8)上是增函数B.图象关于原点对称，且在［0,+8)上是减函数

C.图象关于y轴对称，且在［0,+8)上是增函数D.图象关于y轴对称，且在［0,+8)上是减函数

7.已知函数/(%)=320g2%-2(%-1),则不等式/(%)>0的解集是()

A.(1,4)B.(-co,1)u(4,+oo)C.(0,1)U(4,+oo)D.(0,4)

n

8.已知数列{a九}中，a-t=1,an-an+1=2,nEN*,则下列结论簿送的是()

n+1

A.a2=2B.a4-a3=2C.{(^兀}是等比数列D.a2n-i+a2n=2

9.设函数f(x)=x+^(meR)的定义域为(—1,2),则“—3<mW。”是“/⑶在区间(—1,2)内有且仅

有一个零点”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.在I3A8C中，AB=AC=4打,当26R时，|通+2就|的最小值为4.若俞=丽，AP=sin20AB+

cos2dAC,其中则I而I的最大值为()

A.2B.4C.2<5D.4<2

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数f(%)=等+1g%的定义域是.

12.把函数/(%)=8%的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得到的图象对应的函数解析式是

y=•

13.已知函数/(%)=%+:在区间［0+8)上存在最小值3,则实数a=.

14.若函数f(x)=［吁/皿，存在最小值，则根的一个取值为_____；a的最大值为_____.

(X—2mx+4m,x>m

15.函数/(t)=0.03sin(10007rt)+0.02sin(20007rt)+0.01sin(3000;rt)的图象可以近似表示某音叉的声音

图象.给出下列四个结论：

①焉是函数f(t)的一个周期；

②/(t)的图象关于直线1=击对称；

③/(t)的图象关于点(击,0)对称；

④/⑴在卜磊，嬴］上单调递增•

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

已知｛an｝(n6N*)是各项均为正数的等比数列，的=16,2a3+3a2=32.

(I)求｛an｝的通项公式；

(II)设%=310。2%1，求数列｛%｝的前n项和土,并求分的最大值.

17.(本小题12分)

已知函数/(x)=，Wsin2a)x-cos2a>x(0<3<2),再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，

(1)求/(久)的解析式；

(2)当xe［o,||时，关于x的不等式/(久)W小恒成立，求实数m的取值范围.

条件①：函数/⑺的图象经过点出2);

条件②：函数/■(%)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到；

条件③：函数f(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为今

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题12分)

已知函数/(久)=Inx+sinx.

(1)求曲线y=/0)在点处的切线方程；

(2)求函数/Q)在区间［l,e］上的最小值.

19.(本小题12分)

为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传

统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知

识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：

单人赛

奖项组别PK赛获奖

一等奖二等奖三等奖

中学组4040120100

小学组3258210100

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；

(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期

望；

(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为来自小学组的人数为小试判断。(口与

ng)的大小关系.(结论不要求证明)

20.(本小题12分)

已知函数/(%)=>0).

(1)求f(久)的单调区间；

(2)若/(x)<x一;对工G(0,+8)恒成立，求a的取值范围；

(3)若％2皿尤1+X［ln%2=0(刀1彳％2)，证明：%1+%2>2.

21.(本小题12分)

已知数列｛an｝(n=1,2,…,2022),的,。2,…,。2022为从1到2022互不相同的整数的一个排列,设集合4=

l

Jxx=^an+i,n=0,1,2,…,2022-vj,4中元素的最大值记为M,最小值记为N.

(1)若｛&J为:1,3,5,2019,2021,2022,2020,2018,4,2,且/=3,写出M,N的值；

(2)若/=3,求M的最大值及N最小值；

(3)若/=6,求M的最小值.

参考答案

\.D

2A

3.B

4.0

5.B

6.B

7.4

8.0

9.71

10.C

ll.(0,l)U(l,+8)

12.2X

13.2

14.0(答案不唯一)

4

15.①③④

16.(I)设等比数列｛厮｝的公比为q

22

,•,%=16,2a3+3a2=32・•・2arq+3arq=32q+48q=32

-1

即2q2+3q-2=0,解得：q=-2或q=,

・••各项均为正数.•.(?=1

an=16x®=25f

sn

(II)由(I)得：bn=3log22~=3(5—m)=15—3n

当九>2时，bn-bn_i=-3

・•・｛,｝是首项为瓦=12,公差为-3的单调递减的等差数列

33

2

•••Sn=12n—2n(n—1)=—(n—9n)

又生=0.•・数列｛,｝的前4项为正数

・•・当几=4或5时，S九取得最大值，且最大值为S4=Ss=30

17.(1)/(%)=-/3sin2eox—cos2tox=2sin(2cox—'

选①：函数/(久)的图象经过点图2),则2sin(23xF3)=2,

所以2aX———=-+2/CTT,kEZ,则a=14-3k.,k.GZ,

362

由0<o)<2,可得3=1,则/(%)=2sin(2%—”；

选②：函数/(%)的图象可由函数g(%)=2sin2x的图象平移得到，

即/(%)=2sin(2a%-3)的图象可由函数g(%)=2sin2%的图象平移得到，

则3=1,则f(%)=2sin(2x—^).

选③：函数/(%)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为与

则函数的最小正周期为7T,故23=—=2,ACO=1,

71

故/(%)=2sin(2x—^).

(2)当％t[o可时，2%_*£[_弓,第，贝！Jsin(2%—3)€[-2,1],

故/(%)=2sin(2x-^)E[-1,2],

又当％E[。用时，关于％的不等式/(%)<m恒成立，故m>2,

即实数m的取值范围为[2,+8).

18.(1)由题意得，/'(%)=；+cos%,

所以((1)=1+cosl,又/(I)=sinl,

所以曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为y-sinl=(1+cosl)(x-1),

即y=(1+cosl)x+sinl-cosl—1；

(2)由上问得((%)=-+cosx,

因为y=(和y=COSX均在区间[l,e]上单调递减，

所以尸(久)在区间[l,e]上单调递减，

因为/'(1)=1+cosl>0,

1

/(e)=-+icose<-+cos—27r=——1-<0,

7ee3e2

所以/'(%)=0在(l,e)上有且只有一个零点，记为通，

所以久€［1,久o)时,/(x)>0；久6(X0,e］时，/(x)<0,

所以/(%)在［I/O)上单调递增，在(Xo，e］上单调递减，

因为f(l)=sinl,/(e)=1+sine,

所以/0)在区间［1,e］上的最小值为sinl.

19.解：(I)设事件4表示抽到的学生获得一等奖，事件B表示抽到的学生来自中学组,

所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为PCBM)=镖，

由表格知：P(幽=藕,P(4)=繇,则P(B|A)=|.

(II)由题意，X可能值为0,1,2,

=Q1(x=i)_doo4oo+4oo或00=&P(X=2)_400。；00_J_,

P(x=0)=%。。。

4CC12

C300c400L300L400300400

X的分布列如下：

X012

P151

21212

所以E(X)=0x^+lx—+2x—=—.

(Ill)由题设知f+〃=3,

所以。(f)=D(3—哨=D(3)+(-1)2-D(rj)=DQ

20.解：由已知得函数定义域为(0,+s),「(%)=富，

(I)令/0)=0得％=e,因为Q>0,

/'(%)>0=0<%<e,/'(%)<0=>x>e,

所以/(%)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(巳+8)；

(II)结合。>0,由已知得"工—ax2+x<0在％6(0,+8)恒成立，

2lnx+1

即a>无在(0,+8)上恒成立,令g(%)二尸(%>0),“(%)=~^~f显然"(1)=0,

7

再令h(%)=-2lnx—%+1,¥(x)=---1<0,故h(%)在(0,+8)上单调递减,

结合似1)=0,

当0<x<1时，h(x)>0,即g'(%)>0,当久>1时，/i(x)<0,即g'(%)<0,

即g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故g(l)=1是g(%)的极大值，也是g(%)的最大值，

故a>1即为所求，故a的取值范围是［L+8)；

(III)证明：由%2仇％1+Xrlnx2=0(%1。%2)得出江+=0，且％1。1，、2。1，

X1x2

当a=1时，令m(%)=Inx-x2+x,(%>0),显然?71(1)=0,

=上也=-…3+1),

XX

xG(0,1)时，M(%)>0,xE(1,+8)时,m'(x)<0,

即?n(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故?n(l)=。是m(%)的极大值，也是最大值，即仇％—x2+x<0(%=1时取等号)，

所以竽W久一1,(当且仅当X=1时取等号)，

所以外</一1,强<盯一1,

%2

两式相加得也1+返V/+%2-2,即久1+&-2>0，

%2

故久1+x2>2.

21.(1)当/=3时，4中的元素为｛即｝中的三项相加，故最大元素M=2021+2022+2020=6063,最小元

素N=1+3+5=9.

(2)N最小值为6,M的最大值6063.

证明：对于1,2,....2021,2022的一个排列｛册｝,

若/=3,贝!M中的每一个元素为x=£3j=1an+.-an+1++an+3,n=0,1,2,…,2019,

3

由题意M=maxi=1an+i),n=0,1,2,…,2019,

那么，对于任意的｛an｝，总有M=2020+2021+2022=6063.

3

同理，由题意N=min(2t=1an+i),n=0,1,2,…,2019,

那么，对于任意的｛册｝,总有N=1+2+3=6,

当即=n(n=1,2,…,2022)时，满足：N=6,M=6063.

(3)M的最小值为6069.

由于/=6,对于1,2,2021,2022的一个排列｛%J,

4