高考数学专项复习训练：三角函数的应用 过关检测

第31讲三角函数的应用

T模块导航AT素养目标—

模块一思维导图串知识1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数

模块二基础知识全梳理（吃透教材）模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问

模块三核心考点举一反三题.

模块四小试牛刀过关测2.实际问题抽象为三角函数模型.

模块一思维导图串知识-----------------------------

函数y=Asin（wx+（p）（A>0,3>0）中,A,3,ip的物理意义

/三角函数模型的简单应用三函翻短.

三角函数的应用---运用三角函数模型解决问题的几种类型

三角函瞬型的建立皿角函数耀的步骤

建立三角函数拟合模型的注意事项

6模块二基础知识全梳理----------------------------

知识点1函数y=Asin（ex+e）（A>0,。>0）中，A,co,°的物理意义

1、简谐运动的振幅就是A

2、简谐运动的周期T=f

3、简谐运动的频率/=4=合

4、ox+o称为相位.

5、x=0时的相位夕称为初相.

知识点2三角函数模型的简单应用

1、三角函数模型：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻

画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术.

2、运用三角函数模型解决问题的几种类型

(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y=Asin(ox+9),然后根据图象特征确

定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质.

(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性.

(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解

答数学问题，最后解决实际问题.

知识点3三角函数模型的建立

1、建立三角函数模型的步骤

2、建立三角函数拟合模型的注意事项

(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数.

(2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题.

(3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数

形结合思想直观地理解问题.

模块三核心考点举一反三

考点三三角函数在圆周中的应用,

［考点一三角函数在物理中的商）\____________4

三角函数的应用t考点四拟合法建立三角函数赢］

;考点二三角函数在生活中的应向】一^"

、一：考点五三角函数在几何中的应用）

考点一：三角函数在物理中的应用

色2|例1.（2324高一下•辽宁沈阳・月考）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工

程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似

看为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间心）的函数关系式为s⑺=3sin3+0）,其中0>0,

若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为“（-3<%<3）的时间分别为4,芍，t3,&<芍<切且

4+^=2,与+4=6,则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（）

【答案】C

【解析】由题意得：（4+幻=1,；色+幻=3，

故函数的周期为『=2x（3—1）=4,则。=g=］,可得s⑺=3sing+e

位移的大小即故令3sin曰+“<1.5,得-；<sin伊,

3兀兀/兀c77rr-1…兀13兀_.7r

---F2ATIV—%+0<--F2kR,k£Z,----F2AJTV—7+0<----2kK,k£Z,

626626

5272

贝|4左H-----(p<t<4k-\---------(p,keZ,

371371

或者4左H------(p<t<4k-\----------(p,kQZ,

37i3兀

故总时间为：14发+++^+y-j^-^+y-=|,故选：c.

【变式11】（2324高一下•辽宁•期中）（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比

于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数

/（x）=Asin（（yx+^）（A>0,®>0,网<兀）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

B.函数的图象关于直线x=-J对称

O

C.函数小）在右空上的值域为[0,目

197125兀)

D.若/（%）在[0,加|上恰有4个零点，则机的取值范围是

五’m1

【答案】BD

冗

【解析】根据函数的图象，A=2,]37=1詈3it-4?=37r故丁=兀，所以。=2；

412124

当兀=三时，吗）=2sin仔+夕）=2,

所以〒+9=2E+%,（左£Z）,整理得°=2E—2，（左£Z）,

326

TTTT

由于101V兀，所以当k=0时，(P―――,故/(%)=2sin(2x—.

66

对于A：0=2,r=7t,频率为]初相为-m71，故A错误;

710

TTqrrr

对于B：当％=-二时，/(--)=2sin(--)=-2,故B正确；

662

TTSjTTT27TTT

对于C：由于xe,故2彳-六0,—,故/(无)=2sin(2x/)e[0,2],故C错误;

1.41.4UDO

对于D：xe[0,m],则2xje-：,2吁：,若在[0,词上恰有4个零点,

JrIy兀23兀

则3兀42根一更＜4兀，——,

61212

19TI25兀)

故机的取值范围是D正确.故选：BD.

【变式12】（2324高三下•重庆・月考）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在fs时相对于平衡

位置的高度〃（单位：cm）由关系式/z=Asin（@f+0）,te[O,+8）确定，其中4>0,。>0,。«0,兀].小球从最

高点出发，经过L8s后，第一次回到最高点，则（）

//////

♦h>0

卜力=0

Ih<Q

3

C.r=9s与/=2.Is时的相对于平衡位置的高度//之比为二

2

D.t=9s与f=2.1s时的相对于平衡位置的高度之比为2

【答案】BD

2兀10兀

【解析】由题可知小球运动的周期T=L8s,所以一二1.8,解得。=/,故B正确;

CD9

当，=0s时，Asin°=A.

又9«0,可，所以夕=],故A错误；

则h=Asin

所以f=9s与1=2.1s时的相对于平衡位置的高度之比为=2,故C错误，D正确.

故选：BD.

【变式13】（2324高一下.北京•期中）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中

起着重要的作用•纯音的数学模型是三角函数•如音叉发出的纯音振动可表示为＞=Asinox,其中x表示时间,

y表示纯音振动时音叉的位移•我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数

n1

/（x）=Z：sinix,且声音的质感与y=/（尤）的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音

低沉，频率高的声音尖利.

（1）当”=1时，函数/（X）的对称中心坐标为

（2）当〃=50时，合音/"）的音调比纯音°（x）=-'-sin49x______（填写“高”或“低”）.

49

【答案】（曲,0）（左eZ）低

【解析】当〃=1时，时，函数〃x）=sinx的对称中心坐标为（E,0）aeZ）；

501

当”=50时，/（x）=Z：sinix,函数y=sinx的最小正周期为2兀，函数>=sin2x的最小正周期为兀,

9jrIT

函数y=sin3尤的最小正周期为鼻，L,函数y=sin50尤的最小正周期为主，

1127r49

因此函数/（x）的最小正周期为2兀，频率为二，*（x）=々sin49尤的周期为黄，频率为

2兀49492兀

所以/（X）比。（无）的频率低，即合音/“）的音调比纯音G（x）=，sin49x音调低.

故答案为：（奴,0）（丘Z）；低

考点二：三角函数在生活中的应用

（2324高一下•江西萍乡•期末）如图所示是一个主体高为1.5m的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑

梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为

y=Asin（ox+0）（A>0,®>0）（x,y的单位：m）,若该游客整个运动过程中相位的变化量为彳兀,

则。的值为（）

51113

A.—兀B.—7iC.2兀D.—71

366

【答案】D

【解析】由旋转滑梯高为L5m知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是1.5m,

当X=0时，初相为夕，且游客一直滑到底部，则最后的相位为L50+。，

1313

故整个运动过程中，相位的变化量为1.5。+°-夕=二兀,=£0=^兀.故选：D.

46

【变式21】（2324高一下•江西景德镇•期中）某市一年中的月平均气温y与月份x的关系可近似用函数

JT

J=Acos2(x-6)+2来表示已知6月份的月平均气温为28%：,12月份的月平均气温为18。(2,则10月份

O

的月平均气温为()

A.17.5℃B.18.5°<C.19.5℃D.20.5℃

【答案】D

7TAcos0+B=283=23

【解析】因为y=Acos-(x-6)+B,且Acos;t+B=18，解得

oA=5

71Jr

所以y=5cos-(x-6)+23,当x=10时>=5cos-(10-6)+23=20.5,

所以10月份的月平均气温为20.5。仁故选：D

【变式22】(2324高一下.北京•期中)一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际

机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公

里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为f小时,

飞机从北京出发向南的飞行距离为/(/),/⑺可以近似地表示为/W=1935+Acos>0,69>0),贝|

【解析】依题意，/(0)=1935+A,而7(0)=1935+20,因此A=20,

12兀

又飞机每15分钟飞行一周，则函数/⑺的周期T=a小时，因止匕。=学=8兀.

故答案为：20；阮

【变式23】(2324高一下•江西南昌・期中)4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前

往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之

一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为

游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他

们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律:

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，

相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？

【答案】(1)仆)=200sin~x——j+300(%=1,2,...,12)；(2)6,7,8,9,10月份

【解析】(1)设该函数为〃x)=Asin(ox+,)+8(A>0,。>0,罔<兀)，其中x=l,2,…,12.

根据①，可知这个函数的周期是12；

由②，可知〃2)最小，“8)最大，且〃8)-〃2)=400,故该函数的振幅为200；

由③，可知在［2,8］上是增函数，且"2)=100,所以"8)=500.

根据上述分析可得型=12,故

co6

f-A+B=100

由,「“c，解得4=200,5=300,

A+5=500

当％=2时，/(力最小，当了=8时，/(%)最大,

且sin8x3+0=1,可(p-........F2kit,keZ,

由|同<万，得9=一等

所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为

/(x)=200sinj+300(x=l,2,...,12),

7t5TT

(2)由条件,可知200sin—x-----+300>400,

66

,,f口.\n1…兀5兀5兀，〜

化间得sin—x------2—,即13rlH—<—x-------W2farH，左£Z,

<66J26666

解得12k+6«x<12k+10,keZ,

因为jt£N+,且尤K12,所以x=6,7,8,9,10,

即客栈在6,7,8,9,10月份要准备400份以上的食物.

考点三：三角函数在圆周中的应用

例3.(2324高一下•辽宁沈阳・月考)某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米,

轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为7=24分钟.在圆周上均

匀分布12个座舱，标号分别为1〜12(可视为点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离〃与时间才的函数关

系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为/分钟.

(1)求1号座舱与地面的距离△与时间f的函数关系的解析式；

⑵在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时f的值；

■JT

【答案】⑴〃⑺=30sin12t+32(/20)；(2"=14分钟或"22分钟.

【解析】(1)设1号座舱与地面的距离》与时间f的函数关系的解析式为磕)=Asin3+0)+6(A>0,

69>0,Z>0),

依题意可得A=30,b=32

%⑺=30sin3+O)+323>0).

2兀兀

依题意T=24min,:.co=-=—(rad1^11)，

当/=0时，/z(，)=32,:.(p=0,

jr

:.h(t)=30sin—t+32(t>0).

(2)令人(。=17,gp30sinj|z+32=17,sin^?=-1,

71

0W/W24,「.0V—tW27i,

12

71771rs,兀11兀bn/0_p.

.■.二fL或二f=—,解侍f=14或7=22,

126126

.•1=14或t=22时，1号座舱与地面的距离为17米.

【变式31】(2324高一上•江苏无锡•期末)深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼•游客坐在摩天

轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色•如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12min,

其中心。距离地面40.5m,半径40m.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而

变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间《单位：min)之后，请解答下列问题.

(1)求出你与地面的距离〃(单位：m)与时间f之间的函数解析式；

(2)当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H(单位：m)

关于f的函数解析式，并求高度差的最大值.

【答案】⑴/?=40sin(/—$+40.5,(04/412)；⑵H=40卜n(*+,),40m.

【解析】(1)

如图，设摩天轮最低处为点P,以摩天轮中心。为原点，

与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系.

依题意，点尸(0,-40),以0P为终边的角为-1,

因摩天轮每转一圈需要12min，则摩天轮转动的角速度为7md/min,

6

JTJT

由题意可得：/?=40sin(-Z-—)+40.5,(0<?<12)；

62

JTJT

(2)设朋友登上摩天轮的时间为fmin,其与地面的距离为4=40sin(2"=)+40.5,

62

则我已在摩天轮上的时间为Q+2)min,

我与地面的距离为％=40sin[-Q+2)—-]+40.5=40sin(-r--)+40.5,

6266

由0VW12可知：+警，故当?r+£=：或¥时，优_=40,

6666662662

即在f=2或t=8时，两人距离地面的高度差最大，为40m.

【变式32】（2324高一下•广东广州・月考）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，

现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆。绕圆心做逆

2兀

时针匀速圆周运动，角速度大小为27trad/s,圆上两点A,8始终满足/AO2=可，随着圆。的旋转，A,B

两点的位置关系呈现周期性变化.现定义；A,8两点的竖直距离为A,8两点相对于水平面的高度差的绝

对值.假设运动开始时刻，即f=0秒时，点A位于圆心正下方：贝h=g秒时，A,B两点的竖直距离第一次

为0；A,8两点水平面的竖直距离关于时间r的函数解析式为/■（/）=.

,"T

竖直距离

…L.

//////////

水平面

【答案】6|sin（2就+?|

TTJT

【解析】记r=0时，A点对应的角为-1,则3点对应的角为

设H为A,8两点的竖直距离，

由题意可知H=\yA-yB\f

由题意可知，秒后，点A所对应的角为：-]+2加，

此时点5所对应的角为：等苫+2而，

兀

所以>A=sM（—1+2兀。=-cos2兀1,

.2兀712兀

yB=sin（--—+2兀力=-cos（—+2加）,

27r

由题意可得了⑺=1%-%1=1cos（—+2M—cos2M

1733A/3

=1——cos2nt-----sin2兀1-cos271tI=1—cos2兀1H------sin271tI

2222

=\Z5|^cos2;i:/+gsin27i/|=6|sin（2加+/）|.

故答案为：&|sin（2m+「）].

【变式33】（2324高一下•四川成都•期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保,

至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.

如图，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车半径为2.4m,筒车转轮的中心。到水面的距离为

1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即Po时的位

置)时开始计算时间，且以水轮的圆心0为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标

系wy.设盛水筒M从点P0运动到点p时所经过的时间为/(单位：$),且此时点p距离水面

的高度为/?(单位：机)(在水面下则h为负数)

(1)求h与时间t之间的关系.

(2)求点尸第一次到达最高点需要的时间为多少？在转动的一个周期内，点P在水中的时间是

多少？

【答案】⑴人(t)=2.4sin(*f-：)+1.2(£20。(2)—s,—s；

jr

【解析】(I)依题意，设/Z与时间/之间的关系为帖)=Asin(S+e)+K(A>O,0>O,|?|<5),

由筒车半径为2.4m,筒车转轮的中心。到水面的距离为1.2m,

拉max=1.2+2.4=3.6=A+K[A=2.4

得点P距离水面的高度人的最值为

Anin=1.2-2A=-1.2=-A+K[K=12

而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期T=$=20,①吟吟，

由力(0)=2.4sin夕+1.2=0,得sin0=而|夕|<[,解得0=—?,

226

JTJT

所以九与时间f之间的关系是h(t)=2.4sin(-t--)+1.2(t>0).

10o

(2)依题意，。兄与x轴正方向的夹角为:，因此点P第一次到达最高点需要转动F+W=

6623

所以点尸第一次到达最高点所需时间为T:=y20s；

在转动的一个周期内，点P在水中转动2x（】-：）=与

263

T20

所以点尸在水中的时间是

考点四：拟合法建立三角函数模型

4.（2324高一下•北京昌平•期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般

早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港

口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）的部分记录表.

时间0:003:006:009:0012:00

水深值5.07.55.02.55.0

据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（）

A.3.75B.5.83C.6.25D.6.67

【答案】C

【解析】记时间为x,水深值为几

设时间与水深值的函数关系式为y=/（x）=Asin（°x+e）+6,（A>0,（y>0）,

由表中数据可知，T=12,1mx=7.5,/（外.=2.5

兀47.5-2.55,7.5+2.5

所以A==5,

亨22

所以〃x)=gsin—x+(p\+5,

又x=3时，y=7.5,所以［sin—x3+^?j+5=7.5,

jrTV

所以5+°=5+2E,即9=2E,左eZ,

5.(71,5.7T1,

所以“x)=—sin—x+2也+5=—sm—%+5,

2(66)2266

5.13TI

43)=—sm-----b5=—sm—+5=—x—+5=6.25,

262622

即13:00的水深值大约为6.25.故选：C

【变式41】（2223高二下・贵州遵义・月考）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动

的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（）

t0123456789101112

S-20.0-17.8-10.10.110.31.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0

A.s=20sin一,Ze[0,+oo）B.5=20cos一

6L76

C.s=-20cosWD.51=20sin^^--^,G[0,-K

【答案】D

【解析】设简谐振动的解析式为5=击皿由+0）/且0,y），其中4〉0,。〉0

由表格可知：振幅A=20,周期T=12,过点（0,-20）,

2兀

由周期T=tr=12,且切>0,可得口=9

\co\6

由过点（0,-20）,可得20sine=-20,即sin*=-l,则0=2E-,AeZ,

可得s=20sin]?+=20sin^^---|-^,r6[0,+co）,A:eZ,

所以简谐振动的解析式为s=[0,+8）.故选：D.

【变式42】（2324高一下•湖北武汉・月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一

般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位丁（单位：m）是时间f（0W，W24,单位：h）

的函数，记作y=/（。，下面是某天水深的数据：

t03691215182124

y21.511.521.511.52

经长期观察，y=〃f）的曲线可近似的满足函数y=Asin3x+0）+b（A>0,o>0）.

S（水深值）

2.0—

1.5--

1.0-------：—■

0.5-------i—•

0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00”时间）

（1）根据表中数据，作出函数简图，并求出函数y=/（。一个近似表达式；

（2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被

关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00,有多长时间可以开放？

【答案】(1)图象见解析，/(r)=0.5cosy%+1.5；(2)4h

6

【解析】(1)函数简图如下：

T2兀2兀兀A2-1__72+11_

T=12,/.co=—=—=—,A------=0.5,/?-------=1.5,

T12622

：y=0.5sin（弓f+夕）+1.5过点（0,2）,/（0）=0.5sin^x0+^+l.5=2,

JI

贝Usin夕=l,:.（p=—+2kit,keZ,

i7171ijr

=的一个解析式可以为/（O=0$sin|-x+-+1.5=0.5cos-x+1.5

yoZ）o

jr

（2）由题意得：1.25<〃。<1.75即1.25<0.5COST+L5<1.75,

6

兀

-0.5<cos—/<0.5

6

2kn——<—t<2kn——,keZ或2痴+二<—t<2hi+—,A:eZ

363363

解得一4+12%</<—2+12%或2+124<r<4+12々，左eZ

X0</<24,解得一（2,4）U（8,10）U（14,16）U（20,22）

又re（7,19）e（8,10）u（14,16）

故开放时间共4h.

【变式43】(2324高一上.浙江温州・期末)下表是A地一天从2~18时的部分时刻与温度变化的关系的预

报，现选用一个函数y=/(x)来近似描述温度与时刻的关系.

时刻/h26101418

温度/℃2010203020

⑴写出函数y=的解析式:

(2)若另一个8地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数了=/(尤)且气温变化也是从1(TC到30。(2,只不过

最高气温都比A地区早2个小时，求同一时刻，A地与8地的温差的最大值.

【答案】⑴〃x）=10s喉xf+20,（24E8）；⑵10亚二万

【解析】（1）由题意不妨设丁=/（幻=水皿的+0）+3,

可以发现周期7=18-2=16=臼27r，解得G=7gT,

CD8

fB+A=30

而L4s，解得A=10I=20，

[B-A=10

所以〃14）=10sintxl4+\+20=30,gpsin^+^=l,不妨取夕=当，

所以函数y=/（x）的解析式为〃x）=10sinqx+g1+20,（2WxW18）.

（2）设8地区的温度变化函数为

g(x)=/(x+2)=10sin/(X+2)+T+20=-10sin-x+20,(2<x<18),

o48

10sin[—x+—|+20——lOsin—x+20

令〃(x)=/(x)-g(x)=

184j8

=//%+当+sin4]=10/i-正]sin与+受cos%

(84)8JI2J828

其中tan伤=A/2+1,不妨设夕2

所以,（同〈10也-后,等号成立当且仅当京+°2=]+配丘Z,

Q

即尤=4+8左一—（P，e[2,18],^eZ,

兀

所以只能取左=1或％=2满足A地与B地的温差的最大值为io亚二3.

考点五：三角函数在几何中的应用

5.（2324高一下•山东青岛・月考）如图所示，海尔学校要在操场上一个扇形区域内开辟一个矩形

花园A8CD现已知扇形圆心角为45。，扇形半径为10m,则该矩形花园的面积的最大值为m2.

【答案】50(72-1)

【解析】连接。C,令ZBOC=6»(0°<e<45°),则BC=10sine,03=10cose,

显然(M=AZ)=3C=10sine,AB=03—04=lOcos。一lOsin。，

因此矩形ABCD的面积S=AB•3C=100(cos^-sin6)sin6

=50sin20+50cos26»-50=5072sin(26»+45°)-50<50(应-1),

当且仅当2。+45。=90。，即6=22.5°时取等号，

所以该矩形花园的面积的最大值为50(0-1)m2.

故答案为：50(A/2-1)

JT

【变式51]⑵24高一下.辽宁大连•期中)校园里有个如图的半径为4,圆心角为万的扇形花坛A。。，P

是圆弧A8上一点(不包括A,B),点N分别在半径0A,上.为美化校园，分别在四边形PMQV,

△P3N和△PM4种植红色，黄色的牡丹花,其余地方种植绿草点缀.

(1)若种植红色牡丹的四边形PMON为矩形，求其面积最大值;

(2)若种植黄色牡丹的APBN和△尸均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围.

【答案】⑴8；⑵[8拒-8,8)

【解析】(1)连接OP,如图，令=

因四边形尸MON为矩形，

贝ijOM=OPcos0=4cos0,PM-OPsin夕=4sin夕，

可得矩形尸MON的面积SPMON=OM•PM=4cos<9-4sin6=8sin26,

TTIT

且0<2。<兀，则当29=5,即e时，sin2。取最大值1,

所以SpMfflv的最大值为8,

所以矩形尸MON面积最大值为8；

（2）由（1）矢口，PN=OM=4cosO,ON=PM=4sin9,

贝［J3N=4-4sin（9,AM=4-4cosO,

所以RsPBN和Rt^PMA的面积和：

S=SAPBN+SNMA=；PN-BN+$M-AM

=；x4cose（4-4sine）+gx4sinex（4-4cose）=8（sine+cos。）-16sin6cos。，

令sinO+cos",即:+“*+：哼则IKZ

且2sin6cos6=（sin6+cos0^-（sin20+cos20^=t2-1,

则S=/(/)=8t-8/+8=-8「-；］+10,

显然/⑺在(1，应］上单调递减，

当t=6,即。=:时，/(x)min=/(V2)=8V2-8,

且/⑴=8,因此8&-8WS<8，

所以R.PBN和RtAPMA的面积和的取值范围是［80-8,8).

【变式52］(2324高一下•上海嘉定•期中)如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形A3CZ)

的形状，它的下底A3是半圆的直径，上底。的端点在圆周上.记NC4B=6.(提示：直径所对的圆周角

是直角，即图中ZACB=90°)

⑴用夕表示CD的长；

(2)若BC=2，求如图中阴影部分的面积S；

(3)记梯形ABCD的周长为V,将，表示成夕的函数，并求出，的最大值.

2

【答案】(l)4cos29；(2)S=2+2sinl；(3)y=-8sin6>+8sin+8,G|^0,；ymax=10

【解析】(1)连接OC,过。作OELCD,则。。=2,/£。。=/80。=2凡

所以CE=OCcosNECO=2cos2&CD=2CE=4cos2。.

OB

11

92

S△AQO「C=—2OAOE=2sin26=2sinl,S扇…08。=2-l-2=2,

所以S=S^AOC+S扇OB。=2+2sinl,

(3)BC=AD=ABsinO=4sin6>

贝ljy=4+8sin6+4cos2。=4+8sin0+4(l-2sin2^)=-8sin26>+8sin6>+8,6>G0,^

当"g时，>2=10.