2024-2025学年广东省深圳某中学九年级（上）开学数学试卷（含详解）

2024-2025学年广东省深圳中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

1.2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.

下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（）

人豳物嗦

2.若a>6,则下列不等式不一定成立的是（）

a卜

A.CL-2>b—2B.2a>2bC.~□V―~D,a2>b2

—3

3.若代数式落在实数范围内有意义，贝年的取值范围为（）

A.x>0且久#3B.x>0C.x=#3D.x>。且x片3

4.把多项式久2+ax-2分解因式，结果是（％+1）（久+6）,则a,b的值为（）

A,a=3,b=2B,a=-3,b=2

C.a=1,b=-2D,a=-1,b=-2

5.如图，在口43。。中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆

心，以适当长为半径画弧，分别与AB,8c交于点E,F；②分别以E,F为圆

心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G,作射线BG,与边4D交于点H；③以

B为圆心，B2长为半径画弧，交于边BC于点M.若48=5,BH=8,则点4MB

之间的距离为（）

A.5B.6C.7D.8

6.下列命题中，假命题是（）

A.顺次连接任意四边形各边中点形成的四边形都是平行四边形

B.等腰三角形的高、中线、角平分线重合

C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

D.用反证法证明命题"三角形中必有一个内角小于或等于60。”时，首先要假设“这个三角形中每一个内

角都大于60。”

7.如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花

圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1爪的两扇小门，若花圃的面积刚好

为407n2,则此时花圃4B段的长为（）m.

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墙长Um

B------ImIm-----lC

A-10

A.4或B噂C.4D.10

8.如图，在矩形4BCD中，AB=8,AD=84，点E为边4。上一动点，点尸为

CE的中点，连接BE,点G在BE上，且EF=GF,则下列结论：①在点E从点

。运动到点4的过程中，点F运动的路径长为4避；②4F+DF的最小值为

16；③点G到BC的中点的距离为定值44；④S^EFG的最小值为16避—24.

其中正确的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9.因式分解：x2y-xy2=

10.若a为方程d+2久-5=0的解，贝I]3a2+6a-8的值为

11.如图，在CMBCD中，AB=3,AD=7,4ABC的平分线交4。于E,交

的延长线于点F,贝⑺尸=.

12.若关于x的方程白-1=瑞解为正数，则小的取值范围是.

X—ZX—L

13.在Rt△ABC中，4ABC=90°,AB=3,BC=5,。为4c的中点,

NMDN分别交直线4B,BC于点E,F,且NMDN=90。，连接EF,当

2E=1时，EF的长为_____.

三、解答题：本题共7小题，共61分。

f3(x-l)>2x-40

14.(1)解不等式组：巴1②

(2)解方程：X2-10X-24=0.

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15.先化简(1+为然后从-1,1,-2,2中选取一个合适的数作为x的值代入求值.

16.如图，在平面直角坐标系中，△力BC的顶点4(—1,1),5(-4,2),C(-3,3).

(1)平移△ABC,若点4的对应点41的坐标为(3,—1),画出平移后的△4/10；

(2)将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的2c2；

(3)已知将△4/1的绕某一点旋转可以得到2c2,则旋转中心的坐标为；

(4)若第二象限内存在点D,使得以4、B、C、。四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点。的坐标为

17.如图，口4BCD的对角线AC、BD相交于点0,BE//AC,AE//BD,OE与4B交于点F.

(1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件:,使得四边形40BE是矩形，并说明理由;

(2)若力C1BD,0E=10,AC=16,求口4BCD的面积.

18.深圳市某商场准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多30元，用3000元购进足球和

2100元购进排球的数量相同.

(1)每个足球和排球的进价分别是多少？

(2)根据对运动用品的市场调查，商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球数量

不低于排球数量4倍，该商场有几种进货方案？(不用写出具体方案)

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19.材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程以2

+bx+c=0(aK0力2-4ac20)的两根打，久2有如下的关系(韦达定理)：久1+久2=—,乂2=£；

材料2：如果实数小、71满足爪2一小一1=0、n2-n-l=0,且m则可利用根的定义构造一元二次方程

x2-x-l=0,然后将6、n看作是此方程的两个不相等实数根.

请根据上述材料解决下面问题：

(1)①已知一元二次方程2/-3%-5=0的两根分别为久1，久2，则比1+无2=，.

②已知实数a,b满足：a?+4a-3=0,b2+4b—3=0(a手b),贝咕+去=.

(2)己知实数?n、？1、t满足：m2-4m=11+t,n2-4n=11+t,且0<m<n,求(m+l)(n+1)的取值

范围.

(3)设实数a,b分别满足3a2+19a+12=0,12b2+19b+3=0,且ab41,求3ab+；。+3的值.

20.垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

(1)如图1,四边形ABCD是“垂美四边形"，猜想A/、CD2与BC2、4屏之间的数量关系：,并说

明理由.

(2)如图2,分别以Rt△ABC的直角边力C和斜边力B为边向外作正方形4CFG和正方形4BDE,连接BG、

CE,若AB=4/C=23，求EG的长.

(3)如图3,在Rt△4BC中，^ABC=90°,点P是Rt△ABC外一点，连接BP,BP=AC=10,已知

\BC-AB\=2,若以4B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出4P的长.

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参考答案

1.【答案】B

解：4该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中心对称

图形，故本选项不符合题意；

8、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故

本选项符合题意；

C、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中心对称图

形，故本选项不符合题意；

。、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中心对称图

形，故本选项不符合题意.

故选：B.

2.【答案】D

解：4••・如果a>6,贝!|a-2>b-2,.,.此选项的不等式一定成立，故此选项不符合题意；

2.；如果a>6,贝！12a>2a,.•.此选项的不等式一定成立，故此选项不符合题意；

。「如果。>6,则白<号，.•・此选项的不等式一定成立，故此选项不符合题意；

—3

。.：如果。>6,即当a=-l,6=-2时，02cb2,.,.此选项的不等式不一定成立，故此选项符合题意;

故选：D.

3.【答案】A

解：由题意得，2x>0且x—3丰0,

解得X>0且工丰3.

故选：A.

4.【答案】D

解：x2+ax-2=(%+1)(%+b)=x2+(1+b)x+b,

所以a=1+b,b--2,

解得a=-1,b=-2.

故选：D.

5.【答案】B

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解：如图，连接AM、MH,设AM交于点。，

由题意可知，8”是乙48c的角平分线，

・•・乙ABHjCBH,

又•・,四边形ZBCO是平行四边形，

・•.AD//BC,

・••乙AHB=Z.CBH,

・•・乙ABH=UHB,

AB=AH,

・・•以B为圆心，84长为半径画弧，交于边BC于点M,

AB-BM,

AH=BM,

又AH"BM,

四边形是平行四边形，

又48=AH,

・•・四边形ABM”是菱形，

・•・AM1BH,OB=0H=^BH=4,OA=0M,

•••乙408=90°,

OA=^AB^—OB2=^/52—42=3,

AM=20A-6,

故选：B.

6.【答案】B

解：力、顺次连接任意四边形各边中点形成的四边形都是平行四边形，是真命题，不符合题意；

2、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，故本选项命题是假命题，符合题意；

C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；

。、用反证法证明命题”三角形中必有一个内角小于或等于60。”时，首先要假设“这个三角形中每一个内

角都大于60。”，是真命题，不符合题意；

故选：B.

7.【答案】C

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解：设力B=x米，贝I|8C=(20—3x+2)米，

依题意，得：x(20-3x+2)=40,

整理，得：3x2-22x+40=0,

-1n

解得：刀1=不，久2=4.

1n

当尤1=不时，20-3%+2=12>11,不合题意，舍去;

当％=4时，20-3x+2=10,符合题意.

故选：C.

8.【答案】D

解：取CD的中点H,连接FH,

点F是CE的中点，

FH//AD,FH=^AD,

•・•点尸在直线上运动，

当点E和点4重合时，有最大值，

•••点/运动的路径长为=|X8V3=4后

故结论①正确；

连接AC,AF,

・•・在矩形4BCD中，^ADC=90°,

又点F是CE的中点，

DF==CF,

：.AF+DF=AF+CF>AC,

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•••在矩形2BCD中，CD=AB=8,

在Rt△2CD中，AC=yjAD2+CD2=,(80)2+82=16,

AF+DF的最小值为16,

故结论②正确；

取BC的中点/,连接G/,则G/的长为点G到BC的中点的距离，连接DF,CG,

ZCDF=90°,点尸是CE的中点，

DF=|CE,EF=CF=^CE,

•••EF=GF,

DF=EF=CF=GF,

,.点、D,E,G,C在以点F为圆心，EC为直径的圆上，

.­.Z.CGE=90°,

•••乙BGC=180°-NCGE=90°,

点1是BC的中点，

GI=^BC="8避=48，

•••点G到BC的中点的距离为定值4避，

故结论③正确；

r点E是4D上的动点，

•••5ABCE=|BC-CD=1x8x8V3=3273,

•••GI=BI=CI=4居

.・•点G在以点/为圆心，4平为半径的圆上运动，

.•.当G/1BC时，ZiBGC的面积最大，最大值为SABGC=，BC-G/=3X8避x4避=48,

此时S^CEG=S^BCE-S^BCG=32避一48为最小值，

'.1点尸是EC的中点，

EFG的最小值为SAEFG=^CEG=a328-48)=16避一24,

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故结论④正确.

综上所述，结论正确的是①②③④.

故选：D.

9.【答案】xy(x-y)

解：原式=xy(x-y),

故答案为：xy(x-y).

10.【答案】7

解：a为方程%2+2%-5=0的解，

a2+2a—4=0,

a2+2a=5,

3a2+6a—8=3(a2+2a)—8=3x5—8=7.

故答案为：7.

11.【答案】4

解：四边形4BCD是平行四边形，

AB//CD,AD=BC=7,=CD=3,

Z.ABE=Z.CFE,

乙48c的平分线交4。于点E,

乙ABE=Z.CBF,

Z.CBF=/-CFB,

•••CF=BC=7,

DF=CF-CD=7-3=4.

故答案为：4.

12.【答案】m〉2且小片4

解：将关于％的分式方程昌-1=墨的两边都乘以尤-2,得

2x—x+2=m,

解得久=m-2,

由于关于久的分式方程白-1=言解为正数，

x—z人一乙

所以6一2>0,

即m>2,

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又・••分式方程的增根是久=2,

当久=2时，即血一2=2,

解得zn=4,

因此mW4,

综上所述，血的取值范围是租>2且mH4.

故答案为：m>2且znH4.

13.【答案】争

解：如图，过点。作0/148由=于点人DK1BC于点K.

••・四边形0/BK是矩形，

DJ//BC,DK//AB,

•・•AD=DC,

・•.AJ=JB,BK=CK,

.・.DJ=^BC=2.5,DK=^AB=1.5,

•・•乙EDF=乙JDK=90°,

・•.Z.JDE=乙FDK,

•••乙DJE=乙DKF=90°,

・•・△DJEs△DKF,

・•・DE：DK=DJ：DK=3：5,

•••AE=1,A]=1.5,

・•.E]=0.5,

:.DE=M/2+EJ2=，2.52+0.52=呼,

・•.DF=lDE=宜生，

510

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EF=y/DE2+DF2=((岁产+(3产)2=7^1.

故答案为：等

14.解：(1)解不等式①得，x>-1,

解不等式②得，%<4,

所以不等式组的解集为：-1W久<4.

(2)X2-10X-24=0,

(x-12)(x+2)=0,

则x—12=0或％+2=0,

所以％1=12,x2=-2.

15.解：原式=三^.”笔2)

_x-1(X+2)(%-2)

-x-2'-(%-1)2-

x+2

=

%—1,

x—2。0且X+2W0且久一1W0,

二在一1,1,—2,2中工只能取一1,

当久=一1时,原式=―丁j

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16.解：（1）如图，△21/C1即为所求.

（2）如图，2c2即为所求.

（3）连接2遇2,B$2,C1C2交于点P,

••・旋转中心的坐标为（2,1）.

故答案为：（2,1）.

（4）如图：。的坐标为（一2,0）或（0,2）或（一6,4）时，以力、B、C、。四个点为顶点的四边形是平行四边形,

•••。在第二象限,

•••D(-6,4).

17.解：⑴添力口:AC1BD(答案不唯一).

理由：•••BEHAC,AE//BD,

•••四边形20BE是平行四边形，

AC1DB,

・・・Z,AOB=90°,

•••四边形40BE是矩形；

故答案为：AC1BD(答案不唯一).

(2)由(1)可知，四边形A08E是矩形，

AB=OE=10,

•••四边形A8CD是平行四边形，

OA=OC=^AC=8,

•・,AC1BD,

...(JU=OB=ylAB^—AO^=^/102-82=6,

BD=12,

四边形ABC。的面积=1x16x12=96.

18.解：（1）设每个足球的进价是x元，则每个排球的进价是Q-30）元,

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根据题意得：等2100

%-30,

解得：x=100,

经检验，X=100是所列方程的解，且符合题意,

%—30=70,

答：每个足球的进价是100元，每个排球的进价是70元;

(2)设购进足球机个，则购进排球(60-zn)个,

,100m+70(60—m)<4800

由题意得:m>-(60—m)

解得：15<zn420,

又•：根为正整数,

・•・m=15,16,17,18,19,20,

・••该商场有6种进货方案.

19.解：(1)①？一元二次方程2%2一3久-5=0的两根分别为％x2,

•••+%2=15•%2=—2.5;

故答案为：1.5；—2.5；

②•••实数a,b满足：CL2+4a—3=0,b2+4b—3=0(aWb),

•••a,b是方程%2+4%—3=0的解,

a+b=-4,ctb=-3,

Al+l=a±b=4

abab3

故答案为：*

(2),・,实数zn、n>t满足：m2—4m=11+t,n2-4n=11+t

・•.m,ri是方程/-4%—1IT=0的解，

•••m+n=4,mn=—11—t,

・•・(m+l)(n+1)=mn+m+n+1=—t—6

0<m<n,

•••4=16-4x1x(-11-t)>0,-11-t>0,

-15<tV—11,

5V-t—6<9,

・•.5<(m+l)(n+1)<9；

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(3)v3ci2+19a+12=0,12b2+196+3=0,

•••3(1)2+19X1+12=0,

abW1,

・・・a4

・•・Q,是方程3/+19%+12=0的解，

,11914

•*,CL+工=丁,ax工=4,

b3b

•••3ab——19b—3,a—4h,

3ab+5a+3—19b—3+20b+3

；d

•••----b-------=----------b;----------=1.

20.(1)解：数量关系为：AD2+BC2=AB2+CD2,

记AC,BD交于点0,

AC1BD,

^£RtAAOD,RtABOC^,由勾股定理得：AO2+OD2=AD2,BO2+OC2+BC2,

：.AD2