高考数学二轮复习：空间向量与空间角-学案讲义

第3讲空间向量与空间角

［考情分析］以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问

题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的

形式出现，难度中等.

考点一异面直线所成的角

【核心提炼】

设异面直线/,根的方向向量分别为Q=(〃l,bl,Cl),8=(〃2,岳，C2),异面直线/与根的夹

角为夕

则(l)ee(0,胃；

(2)cos(9=|cos〈〃，b)|=|^jj||

_____\a\a2-\-b\b2~\~C\c^\

d届虎+3

例1⑴如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,E为下底面圆周上一点,

满足靛=2部，则异面直线AE与BOx所成角的余弦值为()

E

B•米端

答案B

解析方法一如图，连接石。2并延长，交底面圆于点尸，连接/Oi,FB,易知A石〃3月且

AE=BF,

所以N尸3。1为异面直线AE与BOi所成的角或其补角.

E

因为BE=2AE,则ZAO2£=60°,

所以△AEO2为正三角形，故AE=BE=1.

由圆柱的性质知OiF=OiB=乖百万苻=下,

驯7V5

所以在等腰△2F01中，COS/F8OI=5^=指.

方法二以A为原点，AB,A。所在直线分别为y轴、z轴，过点A的A8的垂线所在直线为

x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),2(020),01(0,1,2),£(停，0),

所以第=修，o),M=(o,-1,2),

所以异面直线AE与3。1所成角的余弦值为

HL或

|cos<AE,而;〉尸助空1

1义小一10.

\AE\\BOi\

故选B.

(2)(2023•吉安模拟)在正方体ABC。-AiSGA中，E,尸分别为AB,BC的中点，G为线段

81A上的动点，则异面直线AG与EF所成角的最大值为()

、71c兀一兀C5兀

A-6B-4C3D12

答案C

解析以。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，设正方体棱长为2,则G(a,a,2),Ae[0,2],

因为E,尸分别为48,BC的中点,

到42,0,0)，£(2,1,0),网1,2,0),

故A5=(a—2,a,2),£>=(-1,1,0),

设两异面直线的夹角为a,其中ae(0,

_|启斜2_]

C°S(Z|AG||EF|^/(«-2)2+«2+4XV2N(aT)2+3'

因为ad[O,2],则当。=0或a=2时，cosa取得最小值，最小值为今

又因为y=cosa在(0,方上单调递减，则a的最大值为生

规律方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,f,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的

余弦值的绝对值.

跟踪演练1(1)如图，在直三棱柱ABC—A1B1G中，AAi=AC=AB=2,BC=2也。为

的中点，E为AQ的中点，尸为BG的中点，则异面直线8E与AP所成角的余弦值为()

A一返R返「—亚D近

A.39B.39L.3U.3

答案B

解析在直三棱柱ABC—ASG中，

AAi—AC=AB—2,BC—2-\(2,

所以AC2+AB2=BC2,即AC±AB,

又A4i_L平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以A4i_LAC,AAi±AB,

如图，以A为坐标原点，AB,AC,A4i所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),8(2,0,0),Ci(0,2,2),2(1,0,2),破0,1),尸(1,1,1),

所以第施=©,0,—1),

।赤丽标

所以|cos(AF,EB)1=

|前向|39，

即异面直线BE与AF所成角的余弦值为嘤.

(2)(2023•石嘴山模拟)在正四面体ABC。中，M,N分别为AC,AD的中点，则异面直线

CN所成角的余弦值为()

A-3B-4C-5D-6

答案D

解析方法一取AN的中点E,连接ME,BE,则旌〃CN,所以或其补角就是异

面直线CN所成的角.

设48=4,

则BM=CN=V，ME=4

BE='AB?+AE2-2AB-A氏os60°=旧,

ME?+BM2-BE2

cosZBME=2ME-MB

3+12-131

一2乂小又2小一%，

方法二不妨设正四面体ABC。的棱长为2,以｛鼻，CB,日)｝为基底，则赢=(51—无=

^CA-CB,OV=1(CA+Cb),

则俞.国=船友+”.而一而&一蕾历

=1X[JX22-|X22XCOS60。)=1

T

又|俞|=|两=小，

设异面直线BM,CN所成的角为a6>G(0,T

\BM-CN\1

所以cos9=|cos(BM,CN〉|=

6,

\BM\\CN\

所以异面直线CN所成角的余弦值为今

考点二直线与平面所成的角

【核心提炼】

设直线/的方向向量为“，平面a的法向量为〃，直线/与平面。所成的角为仇

则(1)。£0，2；(2)sin8=|cos〈a,〃〉|=]；渭.

例2(2022•全国甲卷)在四棱锥P—45C。中，尸。_1底面48。。，CD//AB,AD=DC=CB=

1,AB=2,DP=p

K

(1)证明：BDLPA-,

(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值.

⑴证明在四边形ABC。中，作QE_LA8于点E,于点凡如图.

因为CZ)〃A8,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以AE=8尸=3，

故DE=坐,

BD=yjDE2+BE2=y[3,

所以AQ2+8£P=AB2,

所以

因为PO_L平面ABCD,BDU平面ABC。，

所以PD±BD,

又尸。AA£)=。，PD,AOU平面以。，

所以BD_L平面PAD.

又因为HU平面PAD,

所以BD±PA.

（2）解由（1）知，DA,DB,两两垂直,

如图，以。为原点，DA,DB,。尸所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,A（1,0,0）,

3（0,小，0）,尸（0,0,小），

则成=（—1,0,小），

丽=（0,一4，小）,

5>=（o,o,6）.

设平面必B的法向量为"=（无，y,z）,

n-AP=0,

则有，.

ji-BP=0,

-x+/z=0,

可取〃=（小，1,1）,

一小y+小z=0,

则|cos〈"，DP）|=^^=W，

\n\\DP\

所以尸。与平面PAB所成角的正弦值为专.

易错提醒（1）线面角。与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈〃，〃〉的关系是〈0,

JTJT

〃〉+0=5或〈。，〃〉—（9=2，所以应用向量法求的是线面南的正弦值，而不是余弦值.

（2）利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.

跟踪演练2（2023・泉州模拟）如图，三棱台ABC—AiSG中，AB=BC=23iG=2,。是AC

的中点，E是BC的中点.

⑴证明：AB"平面。EG；

(2)已知ABLBG，CGJ_平面ABC求直线BG与平面OEG所成角的正弦值的最大值.

⑴证明在三棱台ABC-AiBCi中，AB=BC=2BxCx=2,。是AC的中点，

：.AiCi//AD,AiCi^AD,

四边形AOG4为平行四边形，故A4i〃OG,

平面。EG,ZJC1U平面QECi,故A4i〃平面。EG,

又在△ABC中，D,E分别为AC,8C的中点，

.,.DE//AB,又ABC平面。EG,OEU平面。EG,

〃平面DECi,

又ABnAAi=A,AB,平面ABBiAi,

平面ABBiAi〃平面DECi,

又ABC平面ABBA,

.•.43〃平面DECi.

(2)解：CG_L平面ABC,ABu平面ABC,

ACCi±AB,又4B_LBCi,CCiC8Ci=G,CCi,BGu平面BCC/i,

故4B_L平面BCGBi,由于BCu平面BCCiBi,

：.AB±BC,

又DE//AB,进而DELBC,

连接8iE,由BiCi〃EC,BC=EC,

：.四边形BiGCE为平行四边形，

故CJ〃BiE,由于CG_L平面ABC,因此Bi£_L平面ABC,

故ED,EC,两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BiE=a,

则E(0,0,0),8(—1,0,0),D(0,l,0),Ci(l,0,a),

故应)=(0,1,0),£Ci=(l,0,a),

设平面QEG的法向量为7〃=(x,y,z),

ED-m=y=O9

则

--►

^EC\'in=x~\~QZ=O,

取兀=〃，则m=(〃，0,—1),

又BG=(2,0,a),

故sin9=，os〈BCi,m)|=

_______a______

y/a2+lyla2+4

W+在WW+53

4L

当且仅当°2=/，即。=也时，等号成立，

直线8cl与平面DEG所成角的正弦值的最大值为;.

考点三平面与平面的夹角

【核心提炼】

设平面a,4的法向量分别为〃，V,平面a与平面。的夹角为仇

兀

则⑴6»e[0,2J；

,.\u-v\

(2)cos6*=|cos<w,v)1=]^|-

例3(2023・新高考全国I汝口图，在正四棱柱ABC。一AbBiCiP中，AB=2,A4i=4.点4,

B2,CI，2分别在棱AAi，BBi，CCi，Z)Di±,AA2=1,BB2=DD?=2,CC2=3.

⑴证明：B2C2//A2D2；

⑵点尸在棱281上，当二面角p—A2c2—为150。时，求&P.

⑴证明以C为坐标原点，CD,CB,CCi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

如图,

y

则C(0,0,0),C2(0,0,3),%(0,2,2),£>2(2,0,2),A2(2,2,l),

.•.房=(0,-2,1),

初=(0,-2,1),

：.lhC^//A2D2,

又82c2,A2D2不在同一条直线上，

：.B2C2//A2D2.

(2)解设尸(0,2,2)(0W4W4),

则疝=(—2,-2,2),原=(0,—2,3—储，京=(—2,0,1),

设平面RI2c2的法向量为"=(x,y,z),

“•A2c2=—2x—2y+2z=0,

则，_

、nPC2=_2y+(3—2)z=0,

令z=2,得y=3—九x=X—l9

n=(A—1,3—A,2),

设平面42。2。2的法向量为机=(。，b,C),

i/rA2c2=—2〃一2/7+2c=0,

则j_>

5•£>202=—2a+c=0,

令4=1,得b=l,c=2,

•"=(1,1,2),

6

一晒4+("])2+(3T)2

小

=|cos150°|=-^-,

化简可得，22—44+3=0,

解得A=1或2=3,

・••尸(0,2,3)或尸(0,2,1),

：.B2P=1.

TT

易错提醒平面与平面夹角的取值范围是［o,句，两向量夹角的取值范围是［0,兀］,两平面

的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补.

跟踪演练3(2023・新高考全国II改编)如图，三棱锥A—8C。中，DA=DB=DC,BD±CD,

ZADB=ZADC=60°,E为BC的中点.

(1)证明：BC±DA；

(2)点/满足济=防，求平面ABD与平面4Bb夹角的正弦值.

⑴证明如图，连接AE,DE,

因为E为BC的中点，DB=DC,

所以DELBC,

因为DA=DB=DC,ZADB^ZADC=60°,

所以△AC。与△A3。均为等边三角形，

所以AC=AB,从而AE_LBC,

又AEAZ)E=E,AE,OEU平面AQE,

所以8C_L平面AOE,而ADU平面AOE,

所以8C_LDA.

(2)解不妨设DA=DB=DC=2,

因为BD_LC。，

所以BC=2吸,DE=AE=也.

所以AE2+DE2^4^AD2,

所以AELLOE,

又AE_LBC,DEDBC=E,DE,8CU平面BC£),

所以AEJ_平面BCD.

以E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则D(巾,0,0),4(0,0,6)，B(0,g，0),£(0,0,0),

设平面与平面b的法向量分别为〃1=(处，yi,zi),“2=(x2,＞2,Z2),

平面ABD与平面A8尸夹角为仇而施=（0,也，一也）,

因为筋=应=（一也，0,也），

所以F（一也，0,也），

则命=（一也，0,0）.

m-DA=0

由＜一9

、〃i•赢=0,

{-y^2x\+y［2zi=0,

［也》—也zi=0,

令阳=1,得yi=l,zi=l,

所以m=(l,l,l).

"2•赢=0,

由＜一

、改A尸=0,

［也以一也Z2=0,

行X2=0,

贝1)X2=0,令丁2=1,得Z2=l,

所以"2=(0,1J),

任”1仆I-212乖

所以IcosOI—而丽一小义姬一3，

J3

所以平面ABD与平面A3/夹角的正弦值为¥・

专题强化练

1.(2023•锦州模拟)如图一，△ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D,E■分别是CA,

边上的点，AD=BE=^AC=2；如图二,

将△COE沿DE翻折，使点C到点P的位置,

P0=3.

C

图一

(1)求证：OP±nABED；

(2)求平面BPE与平面PEF夹角的正弦值.

(1)证明因为△ABC为等边三角形，

AD=BE=|AC,DE//AB,

CO为AB边上的高线，故DE_LOF,DE±PF,

久OFCPF=F,OF,PFU平面所以QE_L平面FOP.

因为OPU平面尸OP,所以。E_LOP.

在尸中，OF=y[3,OP=3,PF=2y[3,

所以。/+022=尸尸2,故

而DEU平面ABE。，OPU平面ABE。，OFCDE=F,故OPJ_平面ABED

(2)解分别以。A,OB,法的方向为尤，y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

y

则尸(0,0,3),8(0,3,0),E(y/3,2,0),F他,0,0),

则尸E=(小，2,—3),BE=(y[3,-1,0),EF=(0,-2,0).

设平面8PE的法向量为“1=(x1,力，zi),

平面PEF的法向量为“2=(X2,yi,Z2),

ni-PE—y[3xi+2yi—3zi—0,

jil-BE=y[3xi—yi=0,

ii2-PE=y[3x2+2y2-3z2=0,

且＜_

ji2-EF=—272=0,

取Xl=l,无2=小，

得到平面BPE的一个法向量"i=。，小，小),平面尸EF的一个法向量“2=(小，0,1),

设平面2PE与平面PEF的夹角为6,

则|c°s0|一同|"「巾乂2—巾，

所以sin3=\11—cos20=^y^.

所以平面BPE与平面PEF夹角的正弦值为平.

2.(2023码宁统考)如图，在三棱柱ABC-A向G中，侧面2CGS为正方形，平面BCG3」

平面ABBA，AB=BC=2,M,N分别为4修，AC的中点.

(1)求证：MN〃平面BCGS；

(2)从条件①：AB1MN,条件②：8M=MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所

成角的正弦值.

⑴证明取的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC—45G,得四边形AB81A1为平行四边形，

因为M是81Al的中点，所以MK〃88i,又MKC平面8CGB1,8囱＜=平面BCC/i,

故MK〃平面8CGB1,同理得NK〃平面BCC1B1,

又NKCMK=K,NKU平面MKN,MKU平面MKN,

故平面MKN〃平面BCCiBx,又MNU平面MKN,

故MN〃平面BCGB1.

(2)解因为侧面BCGBi为正方形，故而C2U平面BCGBi,

平面BCG2i_L平面A8B1A1,

平面BCCiBiAABBiA^BBi,

故CB_L平面

因为A8U平面AB814,所以CB_L4B,

又NK〃BC,所以NK_LAB,

若选①：AB±MN,已证NK_LA8,又NKCMN=N,NKU平田MNK,MNU平面MNK,

故A8_L平面MNK,

因为MKU平面MNK,故AB±MK,

又MK//BB、,所以AB_L82i,所以BC,BA,26两两垂直.

故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则3(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,l,2),

故或=(0,2,0),俞=(1,1,0),嬴=(0,1,2),

设平面8A/N的法向量为"=(x,y,z),

n-BN—0,

则＜_

、〃浏f=0,

x+y=0,

从而

j+2z=0,

取z=1,则n=(2,-2,1),

设直线AB与平面BMN所成的角为仇

则sin@=|cos{n,BA)|=3X2=3^'

2

所以直线A8与平面8MN所成角的正弦值为

若选②：BM=MN,已证CB_L平面

又NK〃BC,故NK_L平面ABSAi,

而KMU平面ABBiAi,故NK1KM,

又BM=MN,NK=*C,BK=%B,A2=BC=2,

故AMKB会AMKN,

所以ZMKB=NMKN=90。,

所以MK_LA8,又MK〃BBi,

所以所以8C,BA,23两两垂直，

故可建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,l,2),

故或=(0,2,0),丽=(1,1,0),俞=(0,1,2),

设平面8MN的法向量为〃=(尤，j,z),

n-BN=0,

则‘一

、〃浏/=0,

x+y=0,

从而

y+2z—0,

取z=l,则〃=(2,-2,1),

设直线与平面所成的角为仇

则sin0=卜os(n,BA)|=3X2=3^,

2

所以直线A8与平面8MN所成角的正弦值为5

3.如图，四边形A8CO与BOEF均为菱形，直线AC,平面点。为AC与8。的交点,

AB=2,且/。A8=NOB尸=60°.

(1)求异面直线OE与5所成角的余弦值；

(2)求平面A8F与平面CBF夹角的余弦值.

解(1)：ACJ_平面8DEF,FO,BDU平面BDEF,：.AC±FO,AC1BD,

•.•四边形为菱形，且/。8尸=60。，

/为等边三角形，

为3。的中点，：.FO±BD,

：.OA,OB,。尸两两垂直.

Ez

以。为坐标原点，OA,OB,。尸所在直线分别为无，y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

'：AB=2,四边形ABCD为菱形，ZBAD=60°,

：.BD=2,OA=NAB2-OB2=,,

月为等边三角形，；.0F=小,

则A（小，0,0）,8（0,1,0）,0（0,-1,0）,

E（0,-2,小）,尸（0,0,小）,C（一小,0,0）,

.•.5E=（0,-1,事）,&=（^3,0,小）,

设异面直线。E与CF所成的角为3,

mln_|，一一、I\DE-CF\\[6

则coscos（DE,CF）___4，

\DE\\CF\

故异面直线。E与CF所成角的余弦值为坐.

（2）由（1）知矗=（一小，1,0）,

赤=(0,-1,小),CB=(y[3,1,0),

设平面A377的法向量为加=(»,yi,zi),

AB-m=一小+vi=0,

贝川一

、BF・m=—yi+d§zi=0,

令则％1=1,Z1=1,

得m=(l,小，1).

设平面C8/7的法向量为〃=(%2,丁2,Z2),

BF-n=-y2+V^Z2=0,

则《

、Ca〃=，§x2+y2=0,

令丁2=小，

贝ll%2=-1,Z2=19得M