玉林市2025届高三第一次教学质量监测（一模） 数学试卷（含答案解析）

玉林市2025届高三第一次教学质量监测

数学

(本试卷满分150分，考试时间120分钟)2024.10

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、.准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.复数三的共辄复数是

1-1

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

2.已知集合4=0,2,4,6,B=x|0<3X<81,则AAB=

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{2}D.{2,3,4}

3.已知平面向量a,b满足\a\=l,\b\=2,(b-a)13则归+M=

A.3B,V3c,V7D.1

4.某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩(单位：分)整理如下：

成绩[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数52530201010

根据表中数据，下列结论正确的是

A.100名学生成绩的极差为60分

B.100名学生成绩的中位数大于70分

C.100名学生成绩的平均数大于60分

D.100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%

5.一动圆与圆支/+4K=。外切，同时与圆.K2+、2一4久—60=0内切，则动圆圆心的轨迹方程

为

比2丫2y2第2比2y2y2

A.-+^=1B.^+—=1C.土+匕=1£>A+-=1

959525212521

6.圆锥的顶点为S,AB为底面直径，若AB=2,乙4sB=今则该圆锥的外接球的表面积为

.4TI0167r16V3TT„32y[37i

A.—D.LR.-------D.------

33327

x

7.设函数/(%)=a(e+e-X)2,g(%)=4/+2(a-1),若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个公共点，则a=

A.-2B.-1C.1D.2

高三数学第1页共4页

8.黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种

投资工具。小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种

不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金；方案二是每次购入一定金额的黄金。已知黄

金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同。现假设他两次购入的单价分别为a1；a2,

且a#az，则下列说法正确的是

A.当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低

B.当且仅当CZ1>&2时，方案二的平均购买成本比方案一更低

C.无论a?的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低

D.无论a］，a2的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列函数中，对称中心为(1,0)的有

A.y=sirmxB.y=cos(x-l)

C.y=|D.y=x3—3x2+x+1

10.已知抛物线(C:y2=2p%(p〉0),过C的焦点F作直线l:x=ty+1,若C与1交于A,B两点，方=2FB,

则下列结论正确的有

A.p=2B.|AF|=3

。l=2鱼或一2鱼D.线段AB中点的横坐标:

11.下列关于函数f(x)=x-xlnx的说法,正确的有

A.x=l是f(x)的极大值点

B.函数f(x)有两个零点

C.若方程f(x)=m有两根Xi,X2,则+x2>e

D.若方程f(x)=m有两根Xi,X2,则%i+%2<e

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.甲、乙、丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为90%,乙加工的正品率为80%,丙

加工的正品率为85%,加工出来的零件混放在一起。已知甲、乙加工的零件数相同，丙加工的

零件数占总数的40%。现任取一个零件，则它是正品的概率为.

22

13.已知双曲线—£=l(a>0*>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,若双曲线的左支上一点P满足

史上襄=3,以F2为圆心的圆与FiP的延长线相切于点M,且居元=3巨那则双曲线的离心率为

14.已知a>0,函数f(K)=|x-£|(久)0).若曲线y=f(x)与直线y=2交于A,B两点，设A,B的横坐标分别

为Xi，x2,写出Xi，X2与a的一个关系式：；分别过点A,B作x轴的垂线段AA1,BB1,

垂足分别为Ai,Bi,则四边形AAiBiB的面积为.

高三数学第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知当当=2+遮.

1—tan力

⑴求/A;

(2)若c=3,且AABC的面积为3遮,求AABC的周长.

16.(15分)中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.

全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会

主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培

育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承

中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问

卷调查，统计结果如下:

男女合计

了解20

不了解2040

合计

(1)将列联表补充完整;

⑵根据a=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？

(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.

记抽取的3人中女生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

/=____皿匕空____其中n=a+b+c+d

附:X(a+b)(c+d)(a+c)(b+a)'八)naDca

2

P(x>ko)0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

17.(15分)如图，在三棱柱.力BC-A1B1C1中，AABiC为正三角形，四边形.为菱形.

⑴求证：皿1平面A、BC;

⑵若AC=BC=4,且AC±BC,E为(Cg的中点，求平面.48止与平面ABC的夹角的余弦值.

B

高三数学第3页共4页

18.(17分)已知数列｛an｝满足田=1,点(述，述+。在直线y=3x+l上.

(1)设％=与+/证明｛bn｝为等比数列；

(2)求数歹Ua目的前n项和Sn;

(3)设出的前n项和为Tn,证明：〃<|.

19.(17分)已知:①定积分的定义:

设y=f(x)为定义在［a,b］上的连续非负函数，为求.y=f(x)、久=a、x=b、x轴围成的曲边

梯形的面积，可采取如下方法:

将区间［a,b］分为n个小区间，每个小区间长度为匕,每个区间即可表示为

n

［a+_Da+与*］(i=1，2,3,…n),再分别过每个区间的左右端点作x轴的垂线与y=f(x)图

象相交,

用右端点近似代替函数值用左端点近似代替函数值

当n-+oo时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每

个小区间内的任一点的函数值近似代替(一般用区间端点的函数值)，将这样无穷多个小矩形的面

积相加，所得之和即为所求的由.'=/(久)、x=a,x=b,x轴围成的曲边梯形的面积，即5=

limn—81sE="(a+中。■平］,上式也记为J；f(x)d久，即对y=/(久))在［a,b］上求定积分.

②定积分的计算：f(x)dx=F(b)-F(a)其中(F(x))=f(x).

根据以上信息，回答以下问题：

(1)已知0<a<*求证：(cosxdx<a;

(2)将久=1、x=2,y=；x轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式,

并求其值；

(3)试证明：——I--—FH——<ln2<——I--—I-•••H——.

'/101102200100101199

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2025届高三第一次教学质量监测

数学

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.各题府，务必将自己的姓名、班级、.泡考证号填写在答题卡规定的位丑上。

2.答选择邈时，必须使用2B铅名将答题卡上对应期目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择超时，必须使用0.5丞米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位比上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数二-的共筑复数是

・1

A.—l—iB・-1+iC・1+1D.1-/

2.已知集合/={0,2,4,6},B={x|0<3^81},则408=

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{2}D.{2,3,4}

3.已知平面向量Z3满足R=l，W=2,（g-a）_La,则a+Z=

A.3B.y/3C.41D.1

4.某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：

成绩[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数52530201010

根据表中数据，下列结论正确的是

A.100名学生成绩的极差为60分

B.100名学生成绩的中位数大于70分

C.100名学生成绩的平均数大于60分

D..100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%

5.一动圆与圆x2+/+4x=0外切，同时与圆x2+/-4x-60=0内切，则动圆圆心的凯迹方程为

6.圆锥的顶点为S,为底面直径，若18=2,458=工，则该圆锥的外接球的表面积为

3

A4“口16万016辰n326r

33327

7.设函数/(x)=a(e*+c-")2,g(x)=4x2+2(«-1),若曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个公共点,

则a=

A.-2B.-IC.ID.2

府三数学第I页共4页

S.黄金不仅可以制成希英的首饰佩戴，还因其价值而，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一

种投资工具。小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两

种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金；方案二是每次购入一定金额的黄金。已知

黄金价格并不稔定，所以他预设两次购入的单价不同。现假设他两次购入的单价分别为例,“2，

且小工的，则下列说法正确的是

A.当且仅当为>的时，方案一的平均购买成本比方案二更低

B.当且仅当丹〉町时，方案二的平均购买成本比方案一更低

C.无论外的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低

D.无论外,外的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低

二'多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列函数中，对称中心为(1,0)的有

A.=sinB.j>=cos(x-l)

C.y=-x-•-D.y=x3-3x2+x+l

22

10.已知抛物线C：)，2=2px(p>0),过C的焦点尸作直线[:x=)+l,若C与/交于4,8两点,

AF=2FB,则下列结论正确的有

A.p=2B.|/F|=3

C.1=2五或-2五D.线段48中点的横坐标为』

4

11.下列关于函数/(x)=x-xlnx的说法，正确的有

A.x=l是/(x)的极大值点

B.函数/(x)有两个零点

C.若方程/(x)=，"有两根百/2,则X|+X2>e

D.若方程/(x)="1有两根X[,x2，则为+x2<e

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.甲、乙、丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为90%,乙加工的正品率为80%,

丙加工的正品率为85%,加工出来的零件混放在一起。已知甲、乙加工的零件数相同，丙加工

的零件数占总数的40%.现任取一个零件，则它是正品的概率为.

13.已知双曲线C:马一号印缶〉。,6〉。)的左、右俅点分别为耳、F2,若双曲线的左支上一点P

ab

满足sin/期生=3,以行为圆心的圆与尸声的延长线相切于点M,且丽=3而，则双曲线

sinZPFJ、

的肉心率为・

14.已知。>0,函数/(x)=x-g(x>0).若曲线j=/(x)与直线j，=2交于48两点，设的横

X

坐标分别为百/2,写出X|,X2与〃的一个关系式：；分别过点48作.V轴的垂线段

,塞足分别为4,用，则四边形/4用8的面枳为.

高三数学第2页共4页

四'解答题：本膜共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6(13分)在中，角儿仇C所对的边分别为“，,c.已知产2=2+6.

1-tan/I

(1)求4：

(2)若c=3,且△/BC的面积为36，求△/8C的周长.

16.(15分)中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京

举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，

发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展

新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校

(1)将列联表补充完整；

(2)根据a=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？

(3)若把上衣中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞

赛.记抽取的3人中女生人数为X,求随机变垃刀的分布列和数学期望.

”(ad-6c)2

附：x2(其中〃=a+6+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)[b+d)

尸(/“0)0.1000.0500.0100.001

即2.7063.8416.63510.828

17.(15分)如图，在三棱柱/8C-481G中，△/&C为正三角形，四边形44向8为菱形.

(1)求证：•平面48C；

(2)若AC=BC=4,且4c_L5C,E为C&的中点，求平面48曲与平面/8C的夹角的余弦值.

B

而三数学笫3页共4页

IS.(17分)已如数列E｝满足为=1,点在直线)，=3x+l上.

(I)设证明也,｝为等比数列；

(2)求数列｛册｝的前“项和S.：

(3)设的前〃顶和为7；，证明：Tn<~.

%2

19.(17分)已知：①定积分的定义：

设y=/(x)为定义在卜耳上的连续非负函数，为求y=/(x)、x=a、x=b、x釉困成的

曲边梯形的面积，可采取如下方法：

将区间"叼分为〃个小区间，每个小区间长度为空区，每个区间即可表示为

H

a+—(/-l),a+—/(/=1,2,3,--•/»).再分别过每个区间的左右端点作x轴的垂线与

■〃〃J

j，=/(x)图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，

用右端点近似代替函数值用左端点近似代替函数值

当“T+00时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可

由每个小区间内的任一点的函数位近似代替(一般用区间端点的函数值)，将这样无穷多个小矩

形的面积相加，所得之和即为所求的由y=/(x)、x=a、x=b、x轴围成的曲边梯形的面积,

即S=!叫£/［+与苫)一，上式也记为『/々/，即对y=/(x)在［a,b］上求定积分.

②定积分的计算：j/(x>=F(b)-尸(a)其中伊(x))'=/(x).

根据以上信息，回答以下问题：

(1)已知0<a<：,求证：「cosx</r<a；

2J。

(2)将x=l、x=2、y=~.x轴因成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限

x

形式，并求其他；

(3)试证明：—+—+,•,•+---<In2<—■—P---+…・+

101102200100101199

而三数学第4页共4页

2025届高三第一次教学质量监测

数学参考答案

一、单选题

但小廿226+1)2(/+1)2(/+1),.,.

1.选B.解析：匚7=°_晨］广黄广二所以它的共规复数为T+J

故选B.

2.选A.解析：A={0,2,4,6},3=砧"},所以4nB={0,2,4},故选A.

-♦—―/-*—\——t-2———*2

3.选C.解析：由(6-a)-La得上一a>a=0=a巧—aa-b-a

a+b=Va+2a-b+b=4a+2/+，2=-7Sxl2+22=V7,故选C.

4.选C.解析：对于A,极差最大为：100—40=60,最小为：90-50=40,故A错误；

对于B,根据频数分布表可知：5+25+30=60>50,所以中位数不超过70分，故B错误;

对于C,由频数分布表可得，平均值为：

击(5x45+25x55+30x65+20x75+10x85+10x95)=68.5,故C正确；

70

对于D,成绩大于60分的频数为：30+20+10+10=70,所以大于60分的人数所占比例为：丽=70%，

所以D错谈；故选C.

5.选C.解析：两圆的标准方程为：

G:(x+2j+y2=4.«(-2,0)4=2.

2

C2:(X-2)+/=64.•.G(2,0)1=8

设动I城圆心为C,半径为r,由外切：|C'G|=2+r；由内切：|CC2|=8-r,

所以Ic'Gl+Icqkio,即动帆IC是以G，g为焦点，10为长轴长的椭圆，

且c=2,a=54="52-2?=而，所以动圆圆心的轨迹方程为：—+^-=1,故选C.

2521

6.选B.解析：设圆锥底面圆心为。|,外接球球心为O,半径为灭，则在中，

力q=1,4sa=30°,SO]=上.由oo2\+40；=AO2=>恒一+12=7?2

解得：火=矩，.♦.该圆锥的外接球的表面积为5=4成2=匣.故选B.

33

7.选B.解析：由题意得：方程：0卜+0-')2=4/+2(1-1)有一根，化简得：492¥+6-2、)=4X2-2

有一根.设h^)=e2x+e-lx,则h'(x)=2e2x-2e-2x.令A'(x)=0.得x=0.易得

MHmin=%(。)=2；设。(*)=4为一2.易得X=。时,XX)min=-2-

当a>0时，与0(x)有交点；

当a<0时，"(x)开口向下,若只有一个公共点,贝斯叫0)=次0),即2a=-2,解得a=—1.故选B.

数学答案第1页共7页

8.选D.解析：方案一：设每次购买数为X,则总量为2x,总价为4丫+。2工，

平均购买成本为叫=著"=殁生.

方案二：设每次购买的金额为y,则总量为上+”■，总价为2y,

4叫

2y

.•.平均购买成本为w2==色包.

上+上6+%

0?

因为qN2壶区.当且仅当q=4时等号成立.

aa

at+a2>28&2=>(a}+%)2>^\2=%+">-的%1_

2ax+a2

即名>J.所以无论巧,外的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案-更低.故选D.

二、多选题

9.选ACD.解析：

对于A：令值=4肛％eZ.则x=4,当人=1时，(1,0)为对称中心，故A正确；

对•丁B：令x-l=±+Z凡ZeZ.贝Ux=l+己+^万，没有整数力能使X取1,故B错误；

22

对于C：直线上任意一点皆为直线的对称中心，而，=1丫一，过(1,0),故C正确；

22

对于D：因为(2-x)3—3(2-*)+(2-丫)+1=——+3/—*一1=-/故口正确：故选ACD.

10.选ABD.解析：

对于A：因为C:/=2pxS>0),，/在x轴正半轴上，乂因为直线/恒过点(1,0),

：.F(l,0),:.p=2,故A正确；

1121?

对于8:由一+,一=-,及M尸|=2|在同得_+：_=1=|/产|=3.故8正确；

1\AF\r\BF\rp11111\AF\r\AF\[11

对于C：设小],必)，则由|"|=3得/到准线：丫=-1的距离为3.=2.

代入C的方程得封=±2五.二；“.=±2五=t=~~~，故C错误；

y2=4工

对于D：设St，刈)•由，ny?—4卯一4=0.x+72=41.

x=(y+l

X]+工2=/Qi+»2)+2=4『+2=4-4+2=3.二中点横坐标为：一;「=：,

故D正确.故选ABD.

数学答案第2页共7页

1L选AD.

解析：

对于A：由/(x)=x-xlnx得/'(x)=-lnx,当/'(x)>0时，0<x<l；当/'(x)<0时，x>1,即

/(x)在(0,1)上递增，在。,+8)上递减，所以x=l是/(x)的极大值点，故A正确：

对于B：令x-xlnx=0,方程在(0,+co)上只有一根x=e,故B错误；

对于CD：由于x=l是/(x)的极大值点，不妨设X]<1<》2<e,则lnX[<0,工#1.因为看,乙是

丫2

方程/'(x)=加的两根，所以丫1(1-111*1)=丫2(1-111盯)="，所以

xx<Xj（l-InxJ=x2（l-Inx2）=x2In—,由不等式lnx4x-l（当且仅当x=l时等号成立）放缩

丫2

得X]<、2111£<丫2(且-1)=6-N2，即X]+X,<e(此方法不唯一)，故C错误，D正确;

x2x2

故选AD.

三、填空题

12.答案：0.85

解析：由全概率公式得正品率为：P=0.9x0.3+0.8x0.3+0.85x0.4=0.85

】3.答案：—

2

解析：因为smfB=3,二由正弦定理得

sinN/V*野3

又|尸用-|P片=2a,二|PK|=32「用=a.

由于以工为圆心的圆与片P的延长线相切与点必，.••琼01E”

因为丽=3不,/.\1\M\=3a\PM\=2a.在ill勾股定理得回。=亚a.

又在中\M1\「+“丁=|7^/|2=>(3a)2+(而『=(2c)2=>-=e=浮.

14.答案：修马二。(或此式的合理变形也可)；4

解析：

-丫1+—=2①

不妨设再<、，则，X]

叼"=2②

*2

-（X）+X）+—+—=0^>-（^+》2）+=0

两式相减得:2"（*+，2）

石X2X]。

由于石+x20,-1+---=0=>a=x]x2=>x}=一,

XjX2x2

代入②式得：叫一再=2,即pl@=2,又|/⑷=2,.”总m=2X2=4.

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四、解答题

15.解析：

(1)由题意得：l+tan4=2+石一2tan4-百tan4..............................................................1

所以(\/3+3卜口4=1+y/3................................................................................................2

=>tan4=——...................................................................................................................4

3

所以4=工，................................................................6

6

(2)由S=1bcsin力得：-bx3x-=3yf3=>b=4y[3.....................................................9

222

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=48+9-2x4-73x3x——=21,a=

2

.........................................................................................................................................................12

.,.周长为：3+4石+历...........................................................13

16.解析：

(1)将列联表补充如下：

男女合计

了解402060

不了解20204()

合计6040100

..........................................................................................................................................................2

(2)零假设为“°：该校学牛.对该宣传活动的了解情况与性别无关联..................3

根据列联表中的数据，经计算得：

2100(40x20-20x20)225.„

r=----------------------------=—«2.778<3.841..........................................................8

60x40x40x609

根据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分证据推断“o不成立，

因此可以认为，。成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联.

............................................................................................................................................9

(3)由题意得：X〜8(3,》

所以，X的分布列为

X0123

P8421

279927

...........................................................................................................12

X的期望为E(X)=>^=3x；=l.........................................................................................15

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17.解析:

(1)

证明：设4用口43=尸，连接CF.

因为四边形避为菱形，所以4月_1_48.......................................................................2

又因为△AB。为正三角形，尸为研1的中点，所以CF_L"].........................................4

又CFD4B=尸，所以"】J_平面43c..............................................................................5

(2)

AZ

设。,G分别为/1C,的中点，贝UOG〃/JC,LAC.

由(1)得：平面43C,所以4B|_LBC,.................................................................6

又4C_LBC,AHy(}AC=A,所以3C_L'F面力4C...........................................................7

所以BCJ_3|。，±AC,BCr\AC=C,所以为。_1_平面/8C.............................8

所以。G,OC,O用两两垂直，以。为原点，5弓诙，函的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空

间由珀坐标系，如图.

则力(0,-2,0),。(0,2,0),。(0,0,2扬,8(4,2,0),

由函=工=(4,2,-2百)，得C,(U,0,2石)，

所以E(-2,l,扬，........................................................10

则函=(0,2,2扬丽=(-2,1,-我，

u­ABX=2y+2y[3z=0

设平面力用£的法向量为〃=(x,y,z),则有取Z=(G石-D，

u，B[E=-2x+y-后z

.......................................................................................................................................................13

而平面ABC的法向量为v=(0,0,1),设平面AByE与平面ABC的夹角为6,

U-V]_

贝！Jcos。=

73+3+1x1.7

所以平面48万与平面yl5c的夹角的余弦值为多..........................

15

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18.解析：

1(1、

(1)由题意得：4+1=3《,+1=>。/]+5=31%+5,即4+1=32，..........................3

13

又有方1=1+—=—W0,...............................................................................................4

122

，乳｝是首项为g,公比为3的等比数列...................................5

，八,33"13"-1,

(2)bn——•3=—=。+一=.....7

“2222

,1「3(1-3〃)13n+l-3n3n+1-2n-3

„=------L-------L—n=---------------=........................................................................

21-3424

1?

(3)—=-------,因为当〃之1时，3“一123“一3"7=2・3”-1.........................................14

43〃—1

(1)根据定积分的计算：£cosxd5c=-/Z(O),其中尸(x)=sinx+c(c为常数)

..........................................................................................................................................................2

所以(cosxdx=F(a)-尸(0)=(sina+c)-(sin0+c)=sina,.............................................4

下证：sina<a(0<a<

设/(Y)=sinY-x，则/'(x)=cosx-140，所以/(x)在(0,5)」:单调递减，

所以f(x)</(0)=0，所以sinxvx.......................................................................................6

(2)定积分的形式：

面积和的极限形式：S=lim(右端点)

.1=1\nJn

(或S=UmX/fl+—1-(左端点)，两个极限写一个即可)..............8

…|_仁InJn

设g(x)=lnx+c,则g'(x)=L

由题中所给公式

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=g⑵-g(l)=ln210

由定义将］分为个等长的小区间焉+卷)

(3)1,21001+,1(i=L2,3…400...........11

①若用每个小区间的右端点的函数值近似代替小矩形的长，则每个小矩形面积为:

1111

yin—•-----------=-----

(iooj100

1H------100100+z

100

100(11+L...J

100J100101102200

111于/(x)=:在1,2］递减且越来越慢，所以每个小区间的右端点的函数值小于该区间的平均函

数值，

所以

1001-1

”(1+而•—100<|4&=ln214

x

②若川每个小区间的左端点的函数值近似代替小矩形的长，则每个小矩形面积为:

Z-11111

/Id--------

(looj100iJ-l100-99+/'

1H------

100

1001111

+■■■,H--------,

100J100100101199

同理，由于/(x)=5在12］递减且越来越慢，所以每个小区间的左端点的函数值大于该区间的

11

....——17

101102200100101199

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