广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题（含答案解析）

广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={x|x>0},集合A={x|lVx<2},则即A=()

A.(-OO,1]U[2,-H»)B.(O,1)U[2,-H»)

C.(F,1)U(2,+<»)D.(0,l)o(2,+«)

2.复数z=f(i为虚数单位)，z的共辗复数为()

-3+1

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.在△ABC中，。是上一点，满足50=3。。，"是AO的中点，若=+

则4+〃=()

575

A.-B.1C.-D.-

488

4.已知点A(—L。)，8(0,3),点尸是圆(X-3)2+V=I上任意一点，贝。△总面积的最小值

为()

A.6B.—C,-D.6--

222

5.一个内角为30。的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其

余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为()

A.1：>/3:2B.1:3:4C.g:2:2陋D.出:2:遍

2'+〃,xW0,

6.已知函数〃x)=[08]"+1)+“,》＞0,(℃均在区上没有零点，则实数。的取值范围是

、2

()

A.(y,-l)u｛。｝B.(一8,-1)C.(-1,+co)D.(0,+8)

7.aifcf(X)=273sin2(®x)+sin^(»x+,其中。＞0,其最小正周期为兀，则下列说法

错误的是()

A.(D=\

B.函数〃x）图象关于点信呵对称

c.函数/'（X）图象向右移0（°>0）个单位后，图象关于y轴对称，则。的最小值为1

7T

D.若xe0,-,则函数的最大值为6+1

8.若不等式法+1We-'-依2对一切xeR恒成立，其中a/eR,e为自然对数的底数，则a+b

的取值范围是（）

A.B.(-℃>,-1)C.(-oo,l]D.(f2)

二、多选题

9.设A,9为随机事件,且尸（A）,尸⑻是A,9发生的概率.P（A）,P（B）e（0,l）,则下列

说法正确的是（）

A.若A,B互斥,则尸（AU8）=尸（4）+尸（3）

B.若尸（AB）=尸（A）P（B）,则A,8相互独立

C.若A,8互斥，则A,B相互独立

'尸（A⑻P（B|A）^P（B|A）P（A|B）4

10.设〃力=X3-3无，则下列说法正确的是（）

A.函数y=的图象与圆V+y2=i有且只有两个公共点

B.存在无数个等腰三角形A8O,其三个顶点都在函数y=/（x）的图象上

C.存在无数个菱形ABCQ,其四个顶点都在函数>=/（尤）的图象上

D.存在唯一的正方形ABCD其四个顶点都在函数y=f（x）的图象上

11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，

中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐

标系x0y中，到两定点耳乙（。,0）距离之积为常数/的点的轨迹C是双纽线.若

“（3,0）是曲线C上一点，则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.曲线C上有且仅有3个点尸满足归用=怛闾

三、填空题

12.直线'=e与曲线C：y=；rlnx相切，则。=.

13.已知点P在双曲线C:二-工=1上，R,F,分别是双曲线C的左、右焦点，若APF、F,

6436

的面积为45,则忸用+忸用=.

14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为

72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2.那么甲、乙两班全部90

名学生的平均成绩是分，方差是分2.

四、解答题

15.在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c其中方=(a/),n=lcosB,|sinA

S.m-n=c■

(1)求sinA的值；

(2)若VABC的外接圆半径为5,求VABC面积的最大值.

16.如图，三棱柱A2C-A瓦G中，侧面AB4A，底面A3C，AB=AAi=AC=2,

BC=2®,NAB4=60。，点。是棱A4的中点.

B

(1)证明：AD，BC；

(2)求面ABC与面\BC夹角的正切值.

22

17.已知椭圆。:斗+与=1(。>6>0)的左、右焦点分别为%F2,且寓局=40，点

ab

手］在椭圆C上，直线/:y=^+f.

(1)若直线/与椭圆C有两个公共点，求实数/的取值范围；

⑵当f=2时，记直线/与x轴，y轴分别交于A,8两点，P,。为椭圆C上两动点，求四边

形融。8面积的最大值.

18.设函数〃x)=ln［x+J,A-G(O,1).

⑴试判断了'(X)的单调性；

(2)证明：对任一有/(x)2-(%)(x—%)+/(%),当且仅当x=x0时等号成立.

19.对于数列｛厮｝,若存在常数T,«0(T,n0eN*),使得对任意的正整数wN%,恒有an+T=an

成立，则称数列｛an｝是从第"。项起的周期为T的周期数列.当』=1时，称数列｛即｝为纯周

期数列；当%22时，称数列｛即｝为混周期数列.记［划为不超过x的最大整数，设各项均为

?，。”为偶数

正整数的数列｛an｝满足：。用=2.

上+2［幅布，。“为奇数

、2

(1)若对任意正整数〃都有%wl,请写出三个满足条件的％的值；

(2)若数列｛5｝是纯周期数列，请写出满足条件的q的表达式，并说明理由；

⑶证明：不论q为何值，总存在狐〃eN*使得。

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBCDCADAABDABC

题号11

答案AC

1.B

【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可.

【详解】因为{,>。},A={x[l<x<2},

所以取1=(0,1)U[2,田),

故选：B.

2.B

【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共辗复数即可.

1010(—3—i)10(-3-i)

【详解】z=-^=IJ:一=_3T所以z的共轨复数为-3+i.

-3+1(一3+1)(-3—1)9-1

故选:B

3.C

【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.

【详解】由题可知，AM=-AD^2BM-2BA=BD-BA^BM=-BA+-BI),

222

BD=SDC=3(BC-BD^^>Bi5=^BC,

____.i______1___i__.3___►i37

所以有的=展丽+彳丽k=展丽+^而，所以a=7,〃=g,得几+〃=g.

222X2oo

故选：C

4.D

【分析】求出直线A8的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线A3距

离的最小值即可求得最小值.

【详解】两点A(-LO),B(0,3),则|AB|="(-1)2+3?=如，直线AB方程为y=3x+3,

答案第1页，共19页

圆(x-3『+y2=：^/4C(3,0),半径厂=1,

——126710

点C到直线AB:3x-y+3=0的距离d=/,

V3+(-D5

因此点P到直线AB距离的最小值为d-r=巫-1，

5

所以面积的最小值是LjiUx(迦-1)=6-叵.

252

故选：D

5.C

【分析】设该直角三角形的三条边长分别为1,石,2,求出三角形斜边上的高，再根据圆锥的

体积公式即可求解.

【详解】设该直角三角形的三条边长分别为1,下,2,

设三角形斜边上的高为〃，

则S=1_x2J7=[*><lxJ^=,

222

2

由题意设该3个几何体的体积为匕,匕,匕，

则匕=--7T-A/3=7T,

133

V2xl=7t,

•.・匕<匕<匕，

所以这3个几何体的体积从小到大之比为与gn”=62:2技

答案第2页，共19页

故选：c.

6.A

2',x<0

【分析】将问题转化为g(x)=log](尤+l),x>0与函数y=—。的图象没有交点，利用数

形结合法求解.

问题转化为g(x)与函数y=-a的图象没有交点,

所以一。=0或一Q>1,

解得a=0或a<-1,

故选：A.

7.D

【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求①判断A,验证是否为

函数/(X)的对称中心判断B,结合函数图象平移变换结论判断C,结合不等式性质及正弦

函数性质判断D.

【详解】由已知

=g(1-cos+sin2coxcosg+cos2coxsing,

/(x)=2A/3sin2(ox)+sin|2®x+—

I3

答案第3页，共19页

所以/（A:）=--sin2cox---cos2<z>x+^3=-sin^2a）x+^j-+-y/3,

又口〉0,所以函数〃x）的最小正周期为m

2兀

由已知——=71,所以G=1,A正确；

2a）

所以/（x）=-sin（2x+|J+6,

因为2xm+；=7T,所以函数〃x）图象关于点1寸称，B正确，

将函数图象向右移。（。>。）个单位后可得函数>=-$苗（2》-29+弓］+石的图象，

因为y=-si«2x-2夕+［］+石的图象关于y轴对称，

所以0=_,*'keZ,又夕>0,

所以。的最小值为兰，C正确，

12

.-71fi71-7147r

^0<x<-f贝+

所以一2^4+W1,+</（-X）<~~~1

所以当X=］时，函数/（X）取最大值，最大值为半，D错误.

故选：D.

8.A

A

［分析】将原不等式转化为（加+^+l）e<1对一切xwR恒成立，设/（x）=（依2+bx+1）1,

则后者可转化为/（无）（/（0）恒成立即/（0）为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故

可得正确的选项，或者将原不等式转化为以2+6尤+i<e-'，根据左右两侧对应的函数的图象

位置关系可求参数的范围.

【详解】法一：不等式法+14片工-双2对一切xeR恒成立即为

不等式（ox2+Z?x+l）ex<1对一切xeR恒成立，

今/（尤）=（。/+6尤+l）e，，则有/（0）=1；

故不等式芯+1V片，-"2对一切尤eR恒成立等价于/（x）</（0）恒成立，

答案第4页，共19页

所以〃0)为了(尤)的最大值点.

显然，a<0,否则Xf+8时，/(%)->+00,与题设矛盾.

又/'(x)=e[or2+(2a+b)x+6+l],止匕时/'(0)=6+1

若6+1>0,存在区间(sj),是否Oe(sj)且Vx<sj),总有尸(久)>0,

这与/'(0)为/(元)的最大值点矛盾，故人+1>0不成立，

同理b+l<0也不成立，故6+1=0,贝—1,

/'(X)=e*[or?+(2a+l)x]=xe*(tzr+2a—1),

当a=0时，当xe(-8,0)时，尸(K)>0,当xe(O,+8)时，/(x)<0,

故/(x)在(-8,0)上递增，(0,+8)上递减，/(x)w〃o)符合题意；

当a<0时，当xe(_8,l一)时,/'(X)<0,

当尤时，尸(无)>o,

故“X)在/0士券)上递减，[「,0)上递增，(0,+8)上递减，

不41-2。,1—2d1—J1—4〃J1—4〃—2a

而当％<-----时，----------------=----------<0,

aa2a2a

故/一x+i<o即/(x)<0,故/(x)V〃O)恒成立，故a<0符合题意.

综上，”40,6=-1,因此a+6e(-oo,-l].

法二：不等式(a-+及+1)e*41可化为ax1+bx+\<Qx,

令/(%)=加+to+l,g(x)=e-v,

当a=0时，/(x)=«x2+/?x+l=fex+l,此时，直线/(x)恒过点(0,1),

故只需直线/("=法+1为g(x)=e』在点(0,1)处的切线即可，

6=g'(0)=-1,此时a+)=-l.

当”W0时，“X)亦恒过点(0,1),

为使6Z?+岳:+1〈夕'对一切X6R恒成立，

需/⑺=62+法+1开口向下，且在点(0,1)处与g(x)=eT有公切线即可,

答案第5页，共19页

<0

故[f(o)=6=_l，此时a+6<-1.

综上，的取值范围是1].

故选：A.

【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问

题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问

题.

9.ABD

【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；

由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由条件概率公式化简，可判断D选项.

【详解】对于A：若A,B互斥,根据互斥事件的概率公式，则尸(AUB)=尸(A)+P(B),

故A正确；

对于B：由相互独立事件的概念知，若尸(AB)=尸(A)尸(3),则事件A,B是相互独立事件,

故B正确;

对于C：若A,B互斥,则A,8不一定相互独立,

例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A="正面朝上”，事件3="反面朝上”,

事件A与事件B互斥，但P(A8)=0,P(A)=尸(8)=：,

所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；

P(A|B)P(B|A)p(B)P(AB)P(A)尸(通)

对于D：

P(A⑻'P(B|A)-P(B)'P(AB)'P(A)'P网一P(AB)

尸网A)P(A|B)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)

P(B|A)P(A|B)-P(A)尸(AB)P(B)P(AB)-P(AB)

P伍⑻幽&与迎)_P__(_A_|_B_)

所以相等,故正确.

P(A|B)P(B|A)^P(B|A)P(\A|B」)D

故选：ABD.

10.ABC

【分析】对于A,结合函数的性质与图象判断即可；对于B、C,利用函数y=f(久)关于原

点对称，结合等腰三角形三线合一，以及菱形的对角线互相垂直判断即可；对于D,由曲线

答案第6页，共19页

的对称性，可知要使得正方形存在，则VAOB为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存

在两个正方形.

【详解】对于选项A,令/''（x）=3尤2—3=3（x+l）（尤-1）,当xe（-8,_1）51,+力）时,（（＞）＞0,

当久时，/（久）＜0,则函数在（一。一1）、（1,+8）上单调递增，在（一1,1）上单

调递减，

又/（-!）=—1+3=2,/⑴=1一3=—2,函数y=/（x）的图象与圆/+丁=1得图象如图所示：

yjk

故函数y=/（久）的图象与圆/+/=1有且只有两个公共点，故A正确；

对于选项B、C,由于函数y=/（久）的图象关于坐标原点。成中心对称，

过点。作直线交的图象于3、D两点，

过点。作的垂线交/（元）的图象于A、C两点，

则△河为等腰三角形，四边形ABC。为菱形，

当线段80绕点。转动时，

仍为等腰三角形，四边形A3CD仍为菱形，故选项B、C均正确；

对于选项D：由于/（T）=T3+3X=_〃X）,

故要使得正方形存在，则VAQ5为等腰直角三角形，

显然，当3（T，2）时，02=如，点尸（2,1）在函数图象外侧，贝|。4〈石，

止匕时

利用极限思想，当03—。时，OA.5此时08＜。4；

当023g"时，OA^+oo,止匕时O3＜Q4；

如图所示，故至少存在两个正方形，故D错误.

答案第7页，共19页

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是，熟练掌握函数的对称性，注意使用极限思想，从而

得到至少两个正方形.

11.AC

【分析】根据题意求出轨迹C的方程，把（-苍-y）代入C的方程可判断A；令>=0,

尤=±1,尤=±2,得y的范围可判断B；由曲线C的方程可得尤2+国=根据

x+y

d=+43可判断C；由题意得与=0,设尸（0,%）,结合题意计算”可判断D.

22222

【详解】对于选项A：\PF}\-\PF21=yl（x+a）+y-^（x-a）+y=a,

化简得到：（/+/『=2/（/一产），

将M（3,0）代入可得2/=9,

所以曲线C:（Y+y2）2=9（f一力.

把（-羽-y）代入（丁+y2『=9卜2一V）得卜2+9）2=9（/_力，

所以，曲线C的图象关于原点对称，故A正确；

对于选项B：令尸0解得》=0,尤=±3,即：曲线经过（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

结合图象，得-3VxV3.

今了=±1,得/=*也更<1,

令工=±2,得l<yjT7+屈<2,

2

因此，结合图象曲线C只能经过3个整点（0,0）,（3,0）,（-3,0）.

故B错误；

答案第8页，共19页

对于选项C：(Y+y2)2=9(/_力可得工2+9——Jw9，

所以曲线C上任意一点到坐标原点。的距离d=y/x2+y2<3,

即：都不超过3,故C正确；

对于选项D：点尸满足|P德=卢周，则P在尸鸟垂直平分线上，则4=0,

设网0，力，则(荷+)『="，

,y.=o,

故只有原点满足，故D错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：

一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来

寻找代换关系.

(1)求谁设谁，设所求点的坐标为(x,y)；

(2)所依赖的点称之为“参数点”,设为(如％)(i=0,1,2…)等;

(3)“参数点”满足某个(些)方程，可供代入；

(4)寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；

(5)代入方程，消去参数值.

12.2

【分析】设切点坐标为亿八型)，由导数的几何意义求解即可.

【详解】设切点坐标为&Hnf),由于弁=lnx+l,

所以切线的斜率为：k=]nt+l,

所以曲线在(rjlnt)处的切线方程为：y=(lnr+l)(x-t)+〃nr,即y=(lnr+l)x-r,

所以，=e,a=]nt+l=lne+l=2,

故答案为：2.

13.25

【分析】设p在双曲线右支上，由双曲线定义得至1尸耳尸耳1=16,由余弦定理和面积公式，

答案第9页，共19页

得到tan笥"=g,进而得到伊£卜|产局=手，从而求出

（|P周+俨用）2=（-国-归国）2+4|巴讣|尸用=625,求出答案.

【详解】设尸在双曲线右支上,则仍国-怛同=2x8=16,

二也「+附2-闺楼（尸司一|明）2-|职「+2阀卜|咽

由余弦定理得cosN6产鸟

2忙用在周-2|尸盟.卢图

4a2-4c2+2PF,-^^12\PF]-\PF^~^b1

=

2M.p62\PFt\-\PF2\'

\PF\.\PFI__理___理___艺_

所以।一jos4"-2.2ZfjPfi-sin?刍煦，

22

▽SPFF=-\PFl\-\PF2\sinZFlPF2=-------号2sin/6."cos')P片

又"指弓21"121122.2HP%22

Sm一丁

b2

=~ZF.PE

tan—!1

2

所以京互医"J解得tan手=g=黑温,结合sin?/甲出+c°s=单岑=1，

I.2NRPF216

则sin2----

241

36x41369

|尸团,|尸6|=,占卢216一丁

sin——-——-

2

又「周—卢闾=2x8=16,

故（|尸团+|P闾）2=（|尸毛一|尸马）2+4|尸周疗闾=256+369=625,

故|「团十|尸闾=25.

故答案为：25

470

14.80~r

【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进

行求解.

79x50+Q0x40

【详解】甲、乙两班全部9。名学生的平均成绩为5。+4。-8。分，

答案第10页，共19页

方差为藕小0+（72一80）［+费x［60+（90.80）［春154+豹6。=等

故答案为：80,

4

15.⑴二

（2）32

3

【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sinAcos5+-sin5sinA=sinC,根据

4

sin（A+5）=sinC可变形为］SinA=cosA,由sir?A+cos2A=1,即可求解；

（2）由正弦定理可得，=8,根据余弦定理结合基本不等式可得加480,根据面积公式即可

求解面积的最大值.

-----3

【详解】（1）由题意得，m-n=acosB+—bsinA=c,

4

、3

由正弦定理可知，sinAcosB+—sinBsinA=sinC,

4

在VASC中，因为A+与+。=兀，sin（A+B）=sinC,

3

所以sinAcosB+—sinBsinA=sinAcosB+cosAsin5,

4

3

BP—sinBsinA=cosAsinB,

4

因为A,5£（0,兀），所以sin5w0,

3

所以:sinA=cosA,又sit?A+cos2A=1,

4

4

所以smA=y；

ab

（2）由正弦定理J=2R,

sinAsinBsinC

43

因为R=5,sinA=-,所以々=8,cosA=-

由/=〃+/—2bc©osA,得64=〃+-gA,

由基本不等式可知，64=b2+c2-^bc>2bc-^bc=^bc,

所以bc«80,当且仅当。=c=4不时等号成立,

114

所以S3=—Z?csinA<—x80x—=32,

225

答案第11页，共19页

所以NABC面积的最大值为32.

16.(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)由侧面A34A，底面ABC得AD_L底面ABC,进而可证;

(2)向量法求面与面的夹角.

【详解】(1)因为三棱柱ABC-A4G中=A4-

故四边形为菱形，又因乙钻4=60。，点。是棱A耳的中点,

故AD1AB,

又侧面ABBiA_L底面ABC,侧面ABBiA口底面ABC=AB,"><=侧面48瓦4,

所以AD_L底面ABC,又BCu底面ABC,故AD23c.

(2)因AB=AC=2,BC=2A/2，故VABC为直角三角形,

故AB1AC,

z轴建立空间直角坐标系,

贝|」力(0,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),

由⑴可知，A〃=l,A£>=W=框,故4卜1,0,⑹，30,0,@,

贝1］嗣=/3,0,6)，区=(-1,-2,班)

由题意平面ABC的一个法向量为AD=(0,0,73)

设平面ABC的一个法向量为元=(x,y,z),

n・瓯=01-3尤+用z=0

则即《令尤=1,贝!Jz=«,y=l,

答案第12页，共19页

则万=（1,1,石卜

设面A3C与面ABC夹角为6,川而T1一-6

则阿间“3XJ1+1+3.百

故tan小电应=4一逅,

cos0cos03

面A3C与面ABC夹角的正切值为必

3

17.⑴。；=1

124

(2)8

【分析】（1）根据焦距可得/一〃=8,再根据点在椭圆上可得：+:=1,解出“力后可得

椭圆的方程，联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求t的范围；

（2）由题设可得当过尸,。且与直线/平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点

坐标后可求面积和的最大值.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为J贝Uc=2点，故“2_/=8,

而，羊]在椭圆上，故鸟+[=1,

（3Ja3b

故1=12万=4,故椭圆方程为：上+反=1,

124

fy=x+t

由j^+3y2_]2可得4尤2+6刘+3/-12=0,

故A=36?-16（3/一12）>0即192-12/>0即T</<4.

（2）当f=2时，直线/:y=x+2,故A（-2,0）,B（0,2）,

由题设可得P,。为位于直线AB的两侧，不妨设。在直线A8上方，尸在直线A8的下方,

当过。的直线与直线A3平行且与椭圆相切时，

答案第13页，共19页

Q到直线AB的距离最大及^QAB的面积最大,

当过P的直线与直线A8平行且与椭圆相切时,

Q到直线AB的距离最大及AQAB的面积最大,

由(1)可得相切时△=0即t=±4,

当f=4时，切点的横坐标为-?=-3,切点坐标为在直线A8上方,

O

|-3-1+2|

此时(-3,1)到48的距离为=也，

当t=-4时，切点的横坐标为-?=3,切点坐标为(3,-1),在直线下方;

O

此时(3,-1)到AB的距离为阳尸=30,

又|AB|=2血

故四边形巩Q8面积的最大值为8.

18.(l)/'(x)在(0,1)上单调递增

(2)证明见详解

222

x_]..4x+(l+x)(l-

【分析】(1)求出尸(x)=x(v+i)，设=再求出g'(x)=——、

(X+X)

可得g\x)>0,则得尸(x)在(0,1)上单调递增;

⑵令力(x)=〃x)-[尸(陶。一无0)+/6)],可得//(%)=0,〃(x)=r(x)-r(/),由

尸(久)在(0,1)上单调递增，可得h(x)在x=x°处取最小值〃(%),则

f(无)—"'(%)(尤—%)+■/■(尤0)]20，即/(x)2/'(%)G—Xo)+/(Ao),命题得证.

【详解】(1)函数/(x)=ln[x+：J,xe(0,l),

则卜会，设g(x)=^j，

—X4+4x2+1

贝Ijg'(无)=

因为％6(0,1),所以1-%2>0,

答案第14页，共19页

4x2+(l+x2)(l-x2)

所以g'(x)=——―->0，

所以，/'(%)在(0,1)上单调递增.

⑵令/z(x)=〃x)-[尸(%(%-%)+〃％)],

则--X。)+“X。)]=。，

〃(x)=7'(x)—/'(xo)，

又因为尸0)在(0,1)上单调递增，

所以当0<x<x°<l时，f\x)<f'(xo)=>h\x)=f\x)-f'(xo)<o,h(x)单调递减；

当0<%<尤<1时,f'(x0){f(x)=>h'(x)=f(x)-f(x0))0,八⑺单调递增；

当x=x0时，h'(x)=f(x)-f'(xo)=O,

所以拉。)在x=x0处取最小值h[x0),

BP/Z(X)>/Z(A:O)=O,

所以〃x)-[/'(*(x-Xo)+〃Xo)]NO,

即〃x)2/北)+/1小).

则对任一飞«0,1),有/(x)-_f(4)(x—/)+/(%),当且仅当％=无。时等号成立.

【点睛】关键点点睛：小问(2),令〃(力=〃司-[〃2(*-飞)+〃M)],则

,

/?(x)=r(x)-r(A0),由尸0)在(o,i)上单调递增，得到八0)在x=%处取最小值从毛)，可

得/?(力2/©。)=0,则命题得证.

19.(1)3,5,6

(2)q=2'—lheN*),理由见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)分别取4=2,3,4,5,6,根据已知条件逐一验证即可求解；

(2)分别取q=l,2,3,4,5,6,7,根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；

答案第15页，共19页

（3）根据（2）的分析，q=2k-l,eN*）时，满足题意；再证明，当“产力时,

也存在m,n使得%=2'"-1即可.

【详解】(1)因为对任意整数n都有a户1,

所以取4=2,则出=?=1,不符合题意；

取华=3,a[=1+2。"”]=]+2=3,a3=a4=---=an=?>,

此时，数列｛%｝为常数列⑶；

取q=4,%=鼻=2,%=?=1,不符合题意；

0822

取q=5,a2=~~~+2['^=2+2=6,a3=^~=3,a4=a5=---=an=3,

5,〃二1

此时，数列｛%｝的通项公式为。“=，6,〃=2；

3,n>3

1OS2

取q=6,a2=^-=3,a3=1+2^=1+2=3,

%=%=…=〃〃=3,

「、f6,n=1

此时，数列｛%｝的通项公式为4=A”>？；

所以满足条件的三个q的值为3,5,6；

8

(2)取4=1,g=1+2口°”1=1,a3=a4=---=an=l,

此时数列｛4｝为常数列｛1｝,为纯周期数列；

取4=2,贝ij4=j=1,%=%=…=4,=1，

(xf2,72=1

此时数列｛4｝的通项公式为%=1n>2,为混周期数列；

取4=3,%=%21+21'。二"=1+2=3,a3=ai=■■■=an=3,

此时，数列｛4｝为常数列｛3｝,为纯周期数列；

取=4,42=甘=2,=1'。4=。5=…=。"=1，

答案第16页，共19页

4,〃=1

此时数列｛。“｝的通项公式为%=2,”=2,为混周期数列；

l,n>3

取q=5,%=%21+，晦句=2+2?=6,a3=^~=3,a4=a5=•­•=an=3,

5,n=l

此时，数列｛%｝的通项公式为4=，6,