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文档简介
第7章复数重难点归纳总结
_____________复数的分类
复数的概念才复数相等
复受面的概念
复复数的向量表示
数
的复数的模互一
复几
何i✓t、
数意轲
义g实部相同,虚部相匠
3f”分母实数化”(分子、分母同乘分母的共枕复数)
复数加减运算
复数的运算用复数的乘除运算
(^^00
考点一复数的实部虚部
【例1-1](2023山东枣庄)已知i是虚数单位,则正的虚部为()
1-i
A1R;pV2p.V2.
A.1J3.1C.D.1
22
【答案】C
【解析】因为卢=n;>i=g+gi,所以正的虚部为Y2,故选:c
1-1(l-i)(l+i)2221-i2
【例1-2】(2022辽宁省)设复数2=兽(i是虚数单位),则z的共甄复数[的虚部为()
2-1
33
A.--B.——iC.-1D.-i
55
【答案】A
【解析】因为z==?==+1i,故因此,复数I的虚部为-3.故选:A.
2-i(2-i)(2+i)555555
【一隅三反】
1.(2023•湖南湘潭)在复平面内,复数Zj/2对应的点分别是(2,-1),(0,5),则复数三的虚部为()
句
A.2B.-2C.-2iD.2i
【答案】A
5i(2+i)-5iz,
【解析】由题可知句=2-匕=5。则z==;/.「1+21,所以复数上的虚部为2.故选:A.
2-1(2-1)(2+1)4
2.(2023天津河西)已知复数z满足z(l+2i)=|4-3i|(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为.
【答案】-2
【解析】因为|4-3i|=5,所以z(l+2i)=5,则2=含5(l-2i)5(l-2i);t2.
(l+2i)(l-2i)-5一
所以复数z的虚部为-2.故答案为:一2.
3.(2022•陕西西安)复数(1+3以1+玉3)的实部为
【答案】7
【解析】(l+3i乂l+2i3)=(l+3i)(l-2i)=7+i.故实部为7,故答案为:7.
4(2023・全国•高一专题练习)已知复数2=丁伍eR)(i为虚数单位)的实部和虚部相等,贝同=
【答案】1
【解析】2=上电=心二匚=-6-i,因为复数z的实部和虚部相等,则4=-1,解得6=1.
ii
故答案为:1.
考点二复数所在象限
【例2-1](2022秋•吉林长春)若2=」三,则复数z在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】z=厂与二=二&二+刍,所以复数2在复平面内对应的点[目在第一象限.故选:A.
(1+2)(2-1)555155J
【例2-2](2023•河南信阳•)若复数2满足z(l+i广2=2+i,则复数z在复平面所对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】因为(1+y,((1+丁/=(2】严=-2叫,所以2=1^=*=-)+。],
所以复数z在复平面所对应的点为,击,1]位于第二象限.故选:B.
【例2-3](2023秋・北京朝阳•高三统考期末)在复平面内,复数Q+i)(a-i)对应的点在第三象限,则实数。
的取值范围是()
A.B.(-℃,1)C.(-1,+<»)D.(1,+«))
【答案】A
【解析】•.-(l+i)(«-i)=(fl+l)+(«-l)i在复平面内对应的点在第三象限,
[6?+1<0
•••,C,即«<-!..■.实数a的取值范围是(-叫-1).故选:A.
[a-1<0
【一隅三反】
1.(云南省楚雄州2022届)若复数z满足士=1i,则z在复平面内所对应的点位于()
z+12
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】由z+2=]_J_j=2_L,所以2z+4=2z+2-i-zi,即zi=-2-i,
z+122
所以z=—=T+2i,故z在复平面内所对应的点的坐标为(T,2)位于第二象限.故选:B
2.(2023河北唐山)已知复数2=罟,则z对应复平面内的点在()
1-1
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】2=洋=含2f则Z对应复平面内的点为(2,-1),
所以对应的点在第四象限.故选:D.
2;2021
3.(2022云南)复数z=3一(其中i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于()
1+i
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
2i20212i2M…)=1+]
【解析】因为i2M=i4*505+l=i,^=——=—
Z(l+i)(l-i)
故Z在复平面内对应的点坐标为(1,1),位于第一象限.故选:A.
4.(2023•江西景德镇)已知i为虚数单位,若复数「(aeR)为纯虚数,则复数z=2a-i在复平面上对应
2—1
的点所在的象限为()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】因为复数炉(aeR)为纯虚数,
a+'\(a+i)(2+i)(2"l)+(“+2)i
由2^i—(2-i)(2+i)-5—可知2。—1=0,
所以。=—,则z=2x—i=1—i,
22
所以复数z在复平面上对应的点为(1,-1),
位于第四象限.
故选:D
考点三复数的模长
【例3】(2022•陕西西安)若复数z满足(l-i)z=3-4i,则目=()
A.巫B.豆C.-D.5
222
【答案】B
【解析】因为(「i)z=3-4i,所以7=廿=(:-42'+:)=所以忖述.故选:B.
IT0T)(1+I)2211V<2JI2j2
【一隅三反】
1.(2023•湖南长沙)已知复数z满足z(l-i)=3+i,则忖=()
A.V10B.y/5
C.2D.V2
【答案】B
[解析]z=~r^=^~咨1—2=2;韦=l+2i,所以目=々+22=石.故选:B
1-1(1一1)(1+1)211
2(2022安徽)设复数z满足i2-zi-l=0(i为虚数单位),则|z|=()
A.1B.2C.V5D.3
【答案】B
【解析】由题意可得:i2-zi-l=-2-zi=0,则==:=2i,i^|z|=^/o2+22=2.故选:B.
3.(2023江苏无锡)已知i为虚数单位,复数z=(2+i3)(l+ai)为纯虚数,则目=()
A.0B.1C.2D.5
【答案】D
【解析】由题意,在z=(2+?)O+ai)中,z=(2T(l+ai)=2+2ai-i+a=2+a+(2”l)i
•「z为纯虚数,,2+。=0,2。一1。0,a=-2,z=—5i.••忖=5,故选:D.
考点四复数的分类
【例4-1](2022广东)复数2=三詈(aeR)为纯虚数.则实数。的值为()
A.2B.-1C.4D.-4
【答案】C
—2+ai(-2+ai)(2—i)—4+2i+2ai—ai2—4+a+(2+2a)i
【解析】z=
2+i(2+。(2-。55
由题意得:一4+“=0且2+2。/0,解得:。=4.故选:C
【例4-2](2022春•上海浦东新•高一校考期末)设%eR,“加=-1”是“复数z=(疗_加_2)+(/一3加-2)i为
纯虚数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当用=-1时,z=2i为纯虚数,故充分;
当复数z加2_加—2)+(加加—2)i为纯虚数时,]加一机-2=0,角毕得以=_1或%=2,故不必要,
故选:A
【一隅三反】
1.(2023・湖南)已知复数z=(o+2i)(l-i)为纯虚数,则实数。二()
12-八
A.—B.—C.2D.—2
23
【答案】D
o/、」12—
[解析]z=(a+2i)(l_i)=q_“i+2i_2/=,+2+(2_q)i,因为复数z为纯虚数,所以..即q=—2.
+2=U
故选:D
2.(2023・高一课时练习)复数z=/-Z?+(a+|加i(°,6eR)为纯虚数的充要条件是()
A.a=±bB.a<0^a=-b
C.a>OS.a=bD.a>05.a=±b
【答案】D
=
.||Q2—b?0
【解析】要使复数2=/-96-9+(。+6)1(见6€2为纯虚数,贝!!
11[Q+例W0
若a>0,贝U。+1b|=2。〉0;若贝1」。+|6|二。一。=0,
所以Q>0且Q=±6.故选:D.
3.(2022江西宜春)“z为实数”是“三是纯虚数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件
【答案】B
【解析】设2=a+6i(Q,6£R),z为实数06=0且QGR,
是纯虚数=6=0且awO,
2a+bia2+b2a2+b2a+b
所以“z为实数”是“二是纯虚数”的必要不充分条件.故选:B.
考点五复数的综合运用
【例5-1](2022湖北武汉)(多选)设z为复数,a,beR,则下列说法正确的是()
A.若z=a+6i,则z的实部和虚部分别为“和6
B.设一为z的共辗复数,则目=同
C.|z|2=z2
D.若z=3+i",weN*,贝I"在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限
【答案】AB
【解析】由复数的概念可知,z=a+历复数的实部为。,虚部为6,所以A正确,
z=a+6i和N=a-bi可知|z|=|彳|=Ja?+',所以B正确,
对于C,|z/=/+/是一个实数,而z2=(a+历了不一定为实数,所以C错误,
当〃取偶数时,z为实数,在复平面对应的点在实轴上,所以D错误
故选:AB
【例5-2](2022春•广西贺州•高一平桂高中校考阶段练习)(多选)已知复数z=3-4i(其中i是虚数单位),
则下列命题中正确的为()
A.目=5B.z的虚部是-4
C.z-3+4i是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限
【答案】ABD
【解析】A:复数z=3-4i,则目=心+(一钎=5,故A正确;
B:z=3-4i的虚部是-4,故B正确;
C:z—3+4i=3—4i—3+4i=0,是实数,故C错误;
D:z在复平面上对应点的坐标为(3,-4),在第四象限,故D正确.
故选:ABD.
【一隅三反】
1.(2022湖北武汉)复数z满足l<z-2+i<3,则目的范围是()
A.(V5-l,V5+3)B.(710,276)C.[o,V5+3)D.(Vw,V26)
【答案】D
【解析】设2=。+历(a,6eR),贝!|z-2+i=(a-2)+(6+l)i,
1<Q—2<33<a<5
由题意可得:,解得
6+1=0b=-\
贝l|\z\=yja2+b2=Va2+1£(VH),A/26).
故选:D.
2.(2022山东)(多选)已知i为虚数单位,则下面命题正确的是()
e13i
A.若复数
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