人教版高中数学《复数》重难点归纳总结（解析版）

第7章复数重难点归纳总结

_____________复数的分类

复数的概念才复数相等

复受面的概念

复复数的向量表示

数

的复数的模互一

复几

何i✓t、

数意轲

义g实部相同,虚部相匠

3f”分母实数化”（分子、分母同乘分母的共枕复数）

复数加减运算

复数的运算用复数的乘除运算

(^^00

考点一复数的实部虚部

【例1-1］（2023山东枣庄）已知i是虚数单位，则正的虚部为（）

1-i

A1R；pV2p.V2.

A.1J3.1C.D.1

22

【答案】C

【解析】因为卢=n；＞i=g+gi,所以正的虚部为Y2,故选：c

1-1（l-i）（l+i）2221-i2

【例1-2】（2022辽宁省）设复数2=兽（i是虚数单位），则z的共甄复数［的虚部为（）

2-1

33

A.--B.——iC.-1D.-i

55

【答案】A

【解析】因为z==?==+1i，故因此，复数I的虚部为-3.故选：A.

2-i（2-i）（2+i）555555

【一隅三反】

1.（2023•湖南湘潭）在复平面内，复数Zj/2对应的点分别是（2,-1）,（0,5）,则复数三的虚部为（）

句

A.2B.-2C.-2iD.2i

【答案】A

5i（2+i）-5iz,

【解析】由题可知句=2-匕=5。则z=­=；/.「1+21,所以复数上的虚部为2.故选：A.

2-1（2-1）（2+1）4

2.（2023天津河西）已知复数z满足z（l+2i）=|4-3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为.

【答案】-2

【解析】因为|4-3i|=5,所以z（l+2i）=5,则2=含5(l-2i)5(l-2i)；t2.

(l+2i)(l-2i)-5一

所以复数z的虚部为-2.故答案为：一2.

3.（2022•陕西西安）复数（1+3以1+玉3）的实部为

【答案】7

【解析】（l+3i乂l+2i3）=（l+3i）（l-2i）=7+i.故实部为7,故答案为：7.

4（2023・全国•高一专题练习）已知复数2=丁伍eR）（i为虚数单位）的实部和虚部相等，贝同=

【答案】1

【解析】2=上电=心二匚=-6-i,因为复数z的实部和虚部相等，则4=-1,解得6=1.

ii

故答案为：1.

考点二复数所在象限

【例2-1](2022秋•吉林长春)若2=」三，则复数z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】z=厂与二=二&二+刍，所以复数2在复平面内对应的点[目在第一象限.故选：A.

(1+2)(2-1)555155J

【例2-2](2023•河南信阳•)若复数2满足z(l+i广2=2+i,则复数z在复平面所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】因为(1+y，((1+丁/=(2】严=-2叫，所以2=1^=*=-)+。],

所以复数z在复平面所对应的点为，击，1]位于第二象限.故选：B.

【例2-3](2023秋・北京朝阳•高三统考期末)在复平面内，复数Q+i)(a-i)对应的点在第三象限，则实数。

的取值范围是()

A.B.(-℃,1)C.(-1,+<»)D.(1,+«))

【答案】A

【解析】•.-(l+i)(«-i)=(fl+l)+(«-l)i在复平面内对应的点在第三象限,

[6?+1<0

•••,C，即«<-!..■.实数a的取值范围是(-叫-1).故选：A.

[a-1<0

【一隅三反】

1.(云南省楚雄州2022届)若复数z满足士=1i,则z在复平面内所对应的点位于()

z+12

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】由z+2=]_J_j=2_L,所以2z+4=2z+2-i-zi,即zi=-2-i,

z+122

所以z=—=T+2i,故z在复平面内所对应的点的坐标为（T,2）位于第二象限.故选：B

2.（2023河北唐山）已知复数2=罟，则z对应复平面内的点在（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】2=洋=含2f则Z对应复平面内的点为（2,-1）,

所以对应的点在第四象限.故选：D.

2；2021

3.（2022云南）复数z=3一（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2i20212i2M…)=1+]

【解析】因为i2M=i4*505+l=i，^=——=—

Z(l+i)(l-i)

故Z在复平面内对应的点坐标为（1,1）,位于第一象限.故选：A.

4.（2023•江西景德镇）已知i为虚数单位，若复数「（aeR）为纯虚数，则复数z=2a-i在复平面上对应

2—1

的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为复数炉（aeR）为纯虚数,

a+'\(a+i)(2+i)(2"l)+(“+2)i

由2^i—(2-i)(2+i)-5—可知2。—1=0,

所以。=—,则z=2x—i=1—i,

22

所以复数z在复平面上对应的点为（1,-1）,

位于第四象限.

故选：D

考点三复数的模长

【例3】（2022•陕西西安）若复数z满足（l-i）z=3-4i,则目=（）

A.巫B.豆C.-D.5

222

【答案】B

【解析】因为（「i）z=3-4i,所以7=廿=（：-42'+：）=所以忖述.故选:B.

IT0T）（1+I）2211V<2JI2j2

【一隅三反】

1.（2023•湖南长沙）已知复数z满足z（l-i）=3+i,则忖=（）

A.V10B.y/5

C.2D.V2

【答案】B

［解析］z=~r^=^~咨1—2=2；韦=l+2i,所以目=々+22=石.故选:B

1-1（1一1）（1+1）211

2（2022安徽）设复数z满足i2-zi-l=0（i为虚数单位），则|z|=（）

A.1B.2C.V5D.3

【答案】B

【解析】由题意可得：i2-zi-l=-2-zi=0,则==：=2i,i^|z|=^/o2+22=2.故选：B.

3.（2023江苏无锡）已知i为虚数单位，复数z=（2+i3）（l+ai）为纯虚数，则目=（）

A.0B.1C.2D.5

【答案】D

【解析】由题意，在z=（2+?）O+ai）中，z=（2T（l+ai）=2+2ai-i+a=2+a+（2”l）i

•「z为纯虚数，，2+。=0,2。一1。0,a=-2,z=—5i.••忖=5,故选：D.

考点四复数的分类

【例4-1］（2022广东）复数2=三詈（aeR）为纯虚数.则实数。的值为（）

A.2B.-1C.4D.-4

【答案】C

—2+ai（-2+ai）（2—i）—4+2i+2ai—ai2—4+a+（2+2a）i

【解析】z=

2+i（2+。（2-。55

由题意得：一4+“=0且2+2。/0,解得：。=4.故选：C

【例4-2］（2022春•上海浦东新•高一校考期末）设%eR,“加=-1”是“复数z=（疗_加_2）+（/一3加-2）i为

纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】当用=-1时，z=2i为纯虚数，故充分；

当复数z加2_加—2）+（加加—2）i为纯虚数时，］加一机-2=0,角毕得以=_1或%=2,故不必要，

故选：A

【一隅三反】

1.（2023・湖南）已知复数z=（o+2i）（l-i）为纯虚数，则实数。二（）

12-八

A.—B.—C.2D.—2

23

【答案】D

o/、」12—

［解析］z=（a+2i）（l_i）=q_“i+2i_2/=,+2+（2_q）i,因为复数z为纯虚数，所以..即q=—2.

+2=U

故选：D

2.（2023・高一课时练习）复数z=/-Z?+（a+|加i（°,6eR）为纯虚数的充要条件是（）

A.a=±bB.a<0^a=-b

C.a>OS.a=bD.a>05.a=±b

【答案】D

=

.||Q2—b?0

【解析】要使复数2=/-96-9+（。+6）1（见6€2为纯虚数，贝!!

11［Q+例W0

若a>0,贝U。+1b|=2。〉0；若贝1」。+|6|二。一。=0,

所以Q>0且Q=±6.故选：D.

3.（2022江西宜春）“z为实数”是“三是纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件

【答案】B

【解析】设2=a+6i（Q,6£R）,z为实数06=0且QGR,

是纯虚数=6=0且awO,

2a+bia2+b2a2+b2a+b

所以“z为实数”是“二是纯虚数”的必要不充分条件.故选：B.

考点五复数的综合运用

【例5-1］（2022湖北武汉）（多选）设z为复数，a,beR,则下列说法正确的是（）

A.若z=a+6i,则z的实部和虚部分别为“和6

B.设一为z的共辗复数,则目=同

C.|z|2=z2

D.若z=3+i",weN*,贝I"在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限

【答案】AB

【解析】由复数的概念可知，z=a+历复数的实部为。，虚部为6,所以A正确，

z=a+6i和N=a-bi可知|z|=|彳|=Ja?+',所以B正确，

对于C,|z/=/+/是一个实数，而z2=（a+历了不一定为实数，所以C错误，

当〃取偶数时，z为实数，在复平面对应的点在实轴上，所以D错误

故选：AB

【例5-2］（2022春•广西贺州•高一平桂高中校考阶段练习）（多选）已知复数z=3-4i（其中i是虚数单位）,

则下列命题中正确的为（）

A.目=5B.z的虚部是-4

C.z-3+4i是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

【答案】ABD

【解析】A：复数z=3-4i,则目=心+（一钎=5,故A正确；

B：z=3-4i的虚部是-4,故B正确；

C：z—3+4i=3—4i—3+4i=0,是实数，故C错误；

D：z在复平面上对应点的坐标为（3,-4）,在第四象限，故D正确.

故选：ABD.

【一隅三反】

1.（2022湖北武汉）复数z满足l<z-2+i<3,则目的范围是（）

A.(V5-l,V5+3)B.(710,276)C.[o,V5+3)D.(Vw,V26)

【答案】D

【解析】设2=。+历(a,6eR),贝!|z-2+i=(a-2)+(6+l)i,

1<Q—2<33<a<5

由题意可得:,解得

6+1=0b=-\

贝l|\z\=yja2+b2=Va2+1£（VH）,A/26）.

故选：D.

2.（2022山东）（多选）已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）

e13i

A.若复数