2025中考数学专项复习：圆中的重要模型之圆中的翻折模型（含答案）

2025中考数学专项复习圆中的重要模型之圆中

的翻折模含答案

捻中的凄宴楼盟之圜申的翻新接整

圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折,使得纸片的边缘与直线重合,从而形成新的圆形

或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种

不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。

目录

例题讲模型

模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

习题练模型

例题讲模型

【知识储备】

1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等,对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；

2、圆的性质:在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等;同弧或等弧所对的圆周角相等；

3、等圆相交:如图，圆。和圆G为两个相等的圆，圆。和圆G相交，相交形成的弦为AB,则弦AB为整个图形

的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称,弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；

4、弧翻折（即等圆相交）:如图，以弦为对称轴，将弧及7翻折后交弦于点。，那么弧CDB所在的圆圆G

与圆。是相等的圆，且两个圆关于8。对称,故圆心O、G也关于BO对称。

模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

模型解读

1）条件:如图，以圆O的一条弦BO为对称轴将弧折叠后与弦AB交于点。，结论：CD=C4

2）条件:特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA,/CAB=60°

模型证明

1）证明:如图，设折叠后的丽己所在的圆心是G,连接AC,CD

由题意得（折叠）：BC=BDC,即：后0=防+比，,ACAB=ADCB+ACBD,

•：ACDA=4DCB+ACBD,：.ACAB=4CDA,，GO=C4

2）证明:如图，连接AC,CD,CO；由1）中证明知：CO=CA,

■：OA=OC,CO=CA=OA,/\OAC为等边三角形，r.ACAB=60°0

模型运用

1.（23—24九年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在。。中，48为直径，点。为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于点。（不与O重合），连结CD.若乙4=22°,则/4DC的度数为（）

A.102°B.112°C.108°D.68°

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质.注意运用折叠的性质及圆内接四边形对角互补是解此题

的关键.先根据圆周角定理求得/力CB的度数，从而利用直角三角形的性质求得的度数；再由翻折的

性质可得，弧力。所对的圆周角为/B,弧ABC所对的圆周南为乙4。。,从而得到/4DC+/B=180°,即

可求出.

【详解】•.•AB是直径，ZACB=90°,AZB=90°-ZBAC=90°-22°=68°.

根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为乙8,弧AB。所对的圆周角为乙4。。，

AAADC+ZB=180°,/./ADC=180°-68°=112°,故选B.

2.（23-24九年级上•浙江嘉兴・期末）如图，4B是。O一条弦,将劣弧沿弦翻折,连结49并延长交

翻折后的弧于点C,连结BC,若2,8C=1,则47的长为（）

MS

C.-^-V5D.

57

【答案】。

【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题

的关键.延长AC交0O于点。，过点B作BH_LAD于点连结助,先根据“在同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧相等“，得到余=助，即BC=BD=1，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到AABD=

90°,利用勾股定理求出入。的长，进一步求出■和。H的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到CH=

由此即得答案.

【详解】延长AC交OO于点D,过点B作BH_L人。于点H,连结BD,

•.•数和百万是圆周角/A所对的弧，：.反!=玩＞,：.BC=BD=1,

•/AD是直径，AABD=90°,AD=y/AB2+BD2=A/22+12=V5,

ABxBD

,/ABxBD—ADxAH,：.AH^

AD

：.DH=y/Blf-AH2=等If=乎"，BC=BD,BH±AD,

：.CH=DH=^,：.AC=AD-CH-DH=V5-:^--^-=~^-.

故选：C.

5555

3.（2023•河南新乡•二模）如图，4B是。O的直径，48=4,NABC=30°°,将。。沿8。翻折，扇与直

径交于点。，则图中阴影部分面积为

MS

【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及折叠轴对称，掌握圆周角定理以及扇形面积的计算方法

是正确解答的前提.根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系可求出力再根据中位线定理求出

OD,由图形中面积之间的关系进行计算即可.

【详解】解:如图，连接OC,AC,过点。作OD，BC于点D,^CD=BD,

•：AB是。。的直径，/.AACB=90°,在RtAABC中，AB=4,ZABC=30°,

ABOC=180°-2AABC=120°,AC==2,BC=乎AB=273,

■：OA^OB,GD=BD,二。。是AABC的中位线，：.OD^1,

120兀>2?

-yx2V3X1=4兀—V3,故答案为:4

360o

4.（23-24九年级下•浙江温州•开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径48向上对折得到图②，再

沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦BD向上翻折得到图④.若点E恰为弧BD的中点，则AD-.DB

【答案】A

【分析】根据折叠和圆的相关知识得出乙40。=4cOD=4DOE=/EOB,再利用圆周角知识进而得到

48。。=90°,在等腰RtABOD中，由勾股定理得到=由垂径定理及中垂线判定与性质可得AD=

6。=四度,数形结合求值即可得到答案.

【详解】解:设圆的半径为了,连接力。，CD,DE,EB,OC,OD,OE,BD,如图所示：

由题中折叠性质可知么已=合=统=卷，

；.AC=CD=DE=EB,：.AAOC=4coD=NDOE=AEOB,

•：ZAOB=180°,/.ZAOC==45°,NBOD=90°,

在等腰RtABOD中，。B=OD=r,则由勾股定理可得BD=V2r,AD=BD=V2r,

MS

如图④所示：.•.人。=27-2丁，AD-.DB=2r"y^r=V2-1.故选：A.

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理,

垂直平分线判定与性质，翻折变换（折叠问题），掌握圆的相关知识是解题的关键.

5.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，将弧沿弦46翻折过圆心O点，交弦AC于。，AD=

1,CD=2,则48的长为（）

A.V5B.V7C.-1-D.3

【答案】B

【分析】过点。作OF，AB于F,过点B作BE，AC于E,连接04、OB、8。、BC,求出4CDB为等边三

角形，求出BE和DE的长，求出AE,再根据勾股定理求出即可.

【详解】过点。作OF，AB于F,过点B作BE，AC于E,连接04、OB、BD、BC,

vOF=yr=yOA,AZAOF=ZBOF=60°,/.ZADB=ZAOB120°,N4CB==60。,

ACDB=180°-ZADB=60°，二ZCDB=NACB=60°,/.△COB为等边三角形,

'：CD=2,：.DE=1,BE=V3，:.AE=AD+DE=1+1=2,

AAB=^/AE2+BE2=V22+（V3）2=/故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此

题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.

6.（2023•江苏•统考一模）如图，将。。沿弦人口折叠,使折叠后的弧恰好经过圆心O,点P是优弧期居上

的一个动点（与人、8两点不重合），若。O的半径是2cm，则面积的最大值是cm2

m

【答案】3四

MS

【分析】过点P作PT_LAB于点T,过点。作OH_L4B于点H,交。。于点K,连接A。，AK,PO,解直角

三角形求出AB,求出PT的最大值，可得结论.

【详解】解:如图，过点P作PT_LAB于点T,过点。作AB于点H,交。。于点K,连接AO,AK,

PO.

由题意得AB垂直平分线段OK,.,.AO=AK.

OA=OK,：.OA=OK=AK,：./OAK=/AOK=60°.

2

AAH=OA-sin600=2X乎=®，OH=y/O^-AH=a-（付2=k

•/OH±AB,：.AH=BH,：.AB=2AH=273.

VOP+OH>PT,：.2+1=31PT的最大值为3,

AAPB的面积的最大值为1■x2V3X3=3V3.故答案为：3V3.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理,三角形的面积，垂线段最短等知识，解题关键是求出PT的最大值.

7.（2023•江西萍乡•模拟预测）如图（1）AB是。。的直径，且AB=2,点。是半圆的中点，点P是晶

上一动点，将AP沿直线AP折叠交AB于点。，连接PD,PB.

（1）求证：尸。=；（2）当点。与点O重合时，如图（2）,求靛的长.

【答案】⑴见解析⑵。

【分析】（1）如图，作点。关于4P的对称点。'，连接A。'，PD',OD',OP,由折叠的性质可知AP=

APAB,PD'=PD,根据圆周角定理可知APOD'=2AD'AP,NPOB=2ZPAB,可得APOD'=APOB,继

而得到PD=PB,即PD=PB;⑵证明△OPB是等边三角形,可知BP所对圆心角为60°,利用弧长公式可

求磔的长.

【详解】（1）证明：如图，作点。关于4P的对称点。'，连接AD',PD',077,QP,由折叠的性质可知AD'AP

=NPAB,PD=PD,

MS

又APOD'=2AD'AP,APOB=2APAB,：.APOD'=APOB,：.PD'=PB,：.PD=PB.

⑵解：由（1）知PD=PB,又•.•PD=BD,.•.△OPB是等边三角形，/.ZPOB=60°,

.・.您所对圆心角为60°,.•.磔的长为

ISO3

【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本

8.（23-24九年级上•湖北•阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片.

（1）如图（1），先将纸片沿直径左右翻折,再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则AAOB的大小

是；在。O上任取一点。（异于46）,则AACB的大小是；

（2）如图（2）,将纸片沿一条弦AB翻折,使其劣弧AB恰好经过圆心O,作出直径AC,则图中阴影部分

的面积是；

（3）如图（3）,48是。O的直径,将劣弧BC沿弦BC翻折，交于点。，再将劣弧BD沿直径AB翻

折，交于点E,若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴90°;45°或135°;⑵京⑶2四一2.

【分析】⑴根据折叠的性质可得乙403=90°,进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可求解；

（2）作OD_L交AB于点E,交。。于点D,连接5。，BD,得出△OB。是等边三角形，进而根据阴影部

分的面积即为△OBC的面积，即可求解.（3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段AC=CD=DE;=

EB,设ZEDB=NEBD=a;,则NDEC=4DCE=NEDB+AEBD=2c,构建方程求出c=22.5°,再通过解

直角三角形求出CH,AD即可解决问题.

【详解】（1）解:根据折叠了2次，则乙408=90°,

如图⑴所示，当点。在优弧前上时，乙4cB=：乙4OB=45°,

当点。在前上时，乙4。5=180°—45°=135°,故答案为：90°;45°或135°.

MS

（2）解:如图（2）所示，作OD_LAB交于点H,交。。于点。，连接BC,BD,OB,

由折叠可知，OE=JOD=JOAOE，AB,.•.sin/OAB=*=

AOAB=30°,/.乙COB=60°,ZAOD=60°，:.ZDOB=2BOC=60°,

•.•OB=OC,.•.△08。和ABOO是等边三角形，：.DB=OD=BC,

弓形DmB的面积等于弓形BnC的面积，扇形。OB的面积等于扇形OBC的面积，

阴影部分的面积即为△OBC的面积；

•.•04=2,则OE=1,AE=y/ACP-OE2=V3,:.AB=2底,

...阴影部分面积=SAOBC=SAAOB=3ABxOE=；x2盗x1=遍，故答案为：瓜;

（3）解:如图（3）,连接AC,CD,DE,过点、C作CH_LAB于H,

•/NABC=/LDBC=ADBE,：.CA=CD=DE：.AC=CD=DE,

,:CHLAD,：.AH=HD,；E是益的中点，，施=摩，：.ED=EB,：.NEDB=NEBD,

设4EDB=NEBD=a;,则/DEC=ADCE=AEDB+4EBD=2x,：.ZA=ACDA=4DCE+4EBD=

3a:,

「AB是直径，=90°,/.ZA+ZB=90°,A3c+2：=90°,：.x^22.5°,

：.乙4=ACDA=67.5°,ZABC=22.5°,/.4coH=45°,则△QOH是等腰直角三角形，

,:CO=2,：.OH=CH=^x2=0：.AH=AO-HO=2-0：.AD=2AH=4-W1,

VAC=CD,：.弓形Am。，Ch_D的面积相等，

阴影部分面积为=5000=/40*8=/义（4-26）*，^=2，^一2.

【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学会添

加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键.

习题练模型

1.（2023•福建龙岩•统考模拟预测）如图，4口、AC为。。的两条弦，4口=3鱼，入。=4,将AB折叠后刚

好过弦AC的中点。，则。。的半径为（）

A.2V2B.V5C.5D.V7

MS

【答案】B

【分析】连接BD,作BE_L4。于E,连接A。、BO、。。、BC,过点。作OF_LBE于F,可由zLDAB=

/CAB推出BD=BC,进而利用勾股定理求得DE,BE,然后证明四边形ODEF是矩形，可得OF=DE=

1,EF=8,再利用勾股定理构建方程求出EF,然后可求半径04

【详解】解:如图，连接BD,作BE_LAC于E,连接AO,BO,DO、BC,

•：ADAB=ACAB,：.BD=BC,：.BC=BD,：.DE=CE=^-CD=j-AC=l,

在Rt/\ABE中，AB=3V2,AE=AD+DE=3,/.BE=y/(3A/2)2—32=3,

过点。作OF,BE于F,•.•点。是AC中点，OD±AC,

：.2ODE=4DEF=AEFO=90°,/.四边形ODEF是矩形，,OF=DE=1,EF=OD,

又OF2+BF2=OB2,OD2+AD2=OA2,JLOA=OB,

OF2+BF2=OD2+AD2,：.I2+(3-.EF)2=EF?+2?,解得：EF=1,

OD=EF=1,；.OA=y/AD2+OD2=V22+l2=VK,故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识,

解决问题的关键是作辅助线，求出DE,BE.

2.（2023•河北唐山・统考二模）如图，。。的直径AB=4,。是。O上一点，将/沿直线AC翻折，若翻

折后的圆弧恰好经过点O,则图中阴影部分的面积为（）

C.^-2V3

O

【答案】B

【分析】连接OC,BC,可证得OC=BC=OB=^-AB=2,ZCOB=60°,ZOAC=30°,再过点。作OC,

AC于点。，可求得OD、AD,最后根据S阴影=S扇.me—So”，即可求得.

【详解】解:连接OC,BC,•.•/C49=/CAB,=君0,二OC=BC,

：.OC=BC=OB=^-AB=^-x^=2,：.ZCOB=60°,ZOAC=30°,

ZAOC=180°-60°=120°,过点。作OC_LAC于点D,

MS

：.OD=^-AO=^-X2=l,AC=2AD,：.AD=y/AO2-OD2=V22-l2=V3,

AC=2V3S弭爵=S扇形AO°—S^AOC=I2靠0'*2瓜x1故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作出辅助

线是解决本题的关键.

3.（2024•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，是©O的直径，是弦,沿对折劣弧BC,交AB

于点O,E、R分别是卷和质的中点，令O为无心所在圆的圆心，若40=1,48=5,则即的长

为（）

C.V3

【答案】A

【分析】连接OFOEQDO'F交4B于点P,由垂径定理和对称的性质得出OE，AB,OF，DB,进而得

到PB=PD,O，F〃。石，证出四边形OEFO是平行四边形，得出EF=O。，求出OP=OB—PB,在

Rt^PO'D中，由勾股定理得出07,再利用勾股定理求出OO,,即可得出答案.

【详解】解：连接O'FQEQ'D,O'F交AB于点P,如图所示：

•.•点H、F分别是卷和品的中点，，。七，AB,O'F_LDB.•.PB=P”O'E〃OF,

四边形OFEO'是平行四边形，EF=O'O,

51

•：AD=1,AB=5,/.OB=-|-,BZ?=4,：.PB=PD=2f：.OP=OB-PB=—

•.•折叠，,OB=OB=|■，二1■，在RtNPO'D中，OP=y/O'D2-PD2

O'O=y/OP2+O'P2=--,故选:4

【点睛】本题主要考查勾股定理及平行四边形的判定及性质，掌握圆的有关性质，平行四边形的性质，勾股定

理的内容是解题的关键.

4.（2023•浙江宁波•九年级校考期末）如图，©O是△48。的外接圆，4B=BC=4,把弧48沿弦AB向

下折叠交于点。，若点。为中点，则AC长为（）

A.1B.2C.2V2D.V6

【答案】。

【分析】由等腰三角形的性质可得NACB=/24C,由折叠的性质和圆周角定理可得/ACS=NABD+

ABAD可得NABD=ACAD,可证&ACD〜/XBCA,可得$=条，即可求解.

AGBQy

【详解】解:如图，连接AD,

：AB=BO=4,二/ACB=/BAC,•.•点。为中点，:.BD=CD=2,

•.•弧4B沿弦4B向下折叠交BC于点。，.•.金=九而，/.AACB=AABD+ABAD,

■：ABAC=ABAD+ACAD,/./ABD=ACAD,又•/AACB=AACD,：./XACD〜ABCA,

1='f，，:.AC=V8=2-72（负值舍去），故选：C.

ACJDUAC4

【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明

三角形相似是解题的关键.

5.（2023•广东广州•统考一模）如图，为。。的直径，点。为圆上一点，乙艮40=20°,将劣弧AC沿弦

AC所在的直线翻折，交于点。，则乙4co的度数等于（）.

A

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】B

【分析】连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出乙4cB，根据直角三角形两锐角互余求出再根据

优弧AC所对的圆周角为得到AADC+ZB=180°,然后根据NDCA=4CDB-ZA,计算求得

乙4CD的度数.

【详解】解:如图，连接

•.♦AB是直径，=90°,VZBAC=20°,A/B=90°-/皿。=90°-20°=70°.

根据翻折的性质，念所对的圆周角为优弧念所对的圆周角为/ADC,

ZADC+ZB=180°,ANB=NCDB=70°,

：.ZACD=ACDB-AA=70°-20°=50°,故选:B.

【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质.根据题意作出直径所对的圆周角，构造

出直角三角形是解答此题的关键.难点是理解AADC+/B=180°.

6.（2023•宁夏吴忠・统考二模）如图，4B是。O的直径，且48=4,。是。O上一点,将AC沿直线AC翻

折,若翻折后的圆弧恰好经过点。，则图中阴影部分的面积为（）.

A.^-V3B.幻C.舒D.争

【答案】。

【分析】作。于E,交20于点D、毋于点F,求得AEOA=60°,因为。F垂直平分AC,求得

ACOB=60°,即而进行求解.

【详解】作OE，AC于E,交怒于点。、前于点F,如图所示：

MS

由翻折可知。E=EO,AB=4,.♦.r=2,.•.DE=EO=/r=l,

在RtSAEO中，AO=2,OE=1,/EAO=30°,AAEOA=60°,

•/直径。F_LAC,.•.弧A。=弧CDZAOE=AEOC=60°，二ACOB=180°-60°-60°=60°,

•里=丁4二=生

由对称性可知阴影部分面积等于扇形QOB的面积，，S扇OOB=兀产

36063,

【点睛】本题主要考查了圆内阴影的面积，正确读懂题意是解题的关键.

7.（2023•山东九年级课时练习）如图，将。O上的房沿弦翻折交半径。人于点。,再将BD沿BD翻

折交8。于点E,连接DE.若40=200，则第的值为（)

D.华

0

【答案】。

【分析】如图，连接AC,CD,OC,过点。作于X.设。4=3%则48=6以首先证明AC=CD

=DE,求出AC（用a表示），即可解决问题.

【详解】解:如图，连接AC,CD,OC,过点。作CH，4B于瓦设。4=3a,则AB=6a.

•.•在同圆或等圆中，乙4BC所对的弧有方CD,DE,：.AC=CD=DE,

•：CH±AD,：.AH=DH,'：AD=2OD,：.AH=DH=OD=a,

在RtZXOCH中，CH=J。。?一OH?=J（3&丫一（2a）?=,

在RtAACH中，AC=y/AH'2+CH'2=Va2+（V5a）2=V6a,

.•.蜷=争=*=造.故选：。.

ABAB6a6

【点睛】本题考查圆周角定理,翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决

问题.

8.（2023・湖北黄石•校考模拟预测）如图,在半圆。中，直径=4,。是半圆上一点,将弧AC沿弦AC折

叠交AB于。，点E是弧AD的中点.连接OE,则OE的最小值为（）

A.V2-1B.4-V2C.V2+1D.272-2

【答案】。

【分析】把弧AEC的圆补全为OF,可知点F与点。关于AC对称，求出/F=90°,CE长,OE的最小值为

EC-OC.

【详解】解:把弧力EC的圆补全为0F,可知点F与点O关于力。对称，半径为2,

AFCA=AACO,•：OA^OC,：.AACO=ACAO,：.AFCA=ACAO,：.CF//AB,

；E是弧AD的中点，/.FE±AB,：.NF=ABGE=90°,

•：FC=FE=2,:.EC=2四，YOENEC—OCW1OEN2/—2,OE的最小值为22一2,故选：。.

【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线，根据三角形三

边关系确定OE的取值范围.

9.（23-24九年级上•江苏扬州•期中）如图1,已知AB.AC分别是圆形纸片的直径、弦，以弦AC为折线将

弓形纸片AmC折叠至如图2所示的弓形纸片AnC的位置，A^C与直径AB交于点。，若属=35°,

A.105°B.110°C.120°D.145°

【答案】B

【分析】本题考查圆周角定理，折叠问题，关键是由圆周角定理得到®的度数=晶的度数=35°.

由圆周角定理得到ACB的度数=180°，求出念的度数=180°—35°=145°,而①的度数=方己的度数=

35°,即可求出么力的度数=么已的度数—①的度数=110°.

【详解】解：〈AB是圆的直径，，员为的度数=180°,

•/BC的度数=35°,AC的度数=180°-35°=145°,

•/CD的度数=晶的度数=35°,二么力的度数=々的度数一®的度数=145°-35°=110°.故选：B.

10.（2024•辽宁大连•三模）如图，在半径为2的。。中，为。O的一条弦，将所对的劣弧沿着翻

折后恰好经过圆心，连接OA并反向延长交。。于一点，则如图所示的阴影面积为（）

A—B.2V3—C.4A/3—。兀D.4A/3+

4ooo

【答案】8

【分析】本题考查了折叠的性质，求不规则图形面积；作。关于AB的对称点。，连接OD交AB于E,连接

OB、DB,则得四边形ODBC是菱形，且乙0=60°,利用S菱彭一S^OBD即为阴影部分面积，即可求解.

【详解】解:如图，作。关于AB的对称点。，连接OD交4B于E,连接OB、DB,

由折叠知，OB=DB=2,OD^AB,

；OD=OB=2,OB=OD==2,即△OBD是等边三角形，且/DOB=/OBD=60°;

•：OA=OB,：.乙4=/O历1=30°,AAOB=2ADOB=120°,/."00=60°;

•：OB=OC,.•.△OB。是等边三角形，/.OC=OB=OD=BD=BC=2,即四边形ODBC是奏形,

'：BE—OB•sin60°=V3,/.S菱衫=OD-BE=2V3;

由于。是ADB所在圆的圆心，由对折知，D是AOB所在圆的圆心，

2

影=S菱形ODBC-S扇形OB。=2^3—7C;故选：B.

【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，求不规则图形的面积等

知识.利用折叠的性质是解题的关键.

11.（2023•广东•九年级专题练习）如图，已知△4BC是。O的内接三角形，。O的半径为2,将劣弧AC（虚

线）沿弦AC折叠后交弦于点。，连接AD.若AACB=60°,则线段AD的长为•.•

【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为。，，则。。与。O,设等圆，乙4CD是公共的圆周角，所以可以证得

=AD,设。。的半径为R,过。作OG_LAB于G,可得AOAB^AOBA=30°,AB^2AG,即OG=1,根

据勾股定理可得AG=遍，即可求得.

【详解】设折叠后的AC所在圆的圆心为。，,连接。/,O'D

：./AOZ）=2乙4cB=120°

连接。A,OB

同理，AAOB=120°/.AAOB=AAO'DV©。与。O'是等圆/.AB=AD

设。。的半径为R过。作OGL4B于G

•/OA=OB,AAOB=120°：.ZOAB=ZOBA=30°,AB=2AG

：.OG=-yOA=1.-.AG=VOA2-OG2=V3AB=2AG=2四故答案为：2©.

【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，

利用这些等量关系，是解决此类题的突破口.

12.（2023上•江苏连云港•九年级校考阶段练习）图1为一圆形纸片,A.B、。为圆周上三点，其中AC为直

径，以4B为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC,且愈交AC于点。，如图2所示,若就为

37°，则么力的度数=.

图1图2

【答案】106°

【分析】由折叠的性质得到：助=晶，又AC是圆的直径，即可求出么力的度数.

【详解】解：由折叠性质可得：命=£0,：京=37°,.•.反3=37°,

•••4。为直径，.•.么力=180°—37°-37°=106°.故答案为：106°.••

【点睛】本题考查圆周角定理,折叠的性质，关键是由折叠的性质得到BD^BC.

13.（23-24九年级上•安徽淮南•阶段练习）如图，已知半圆。O的直径48=4,沿弦EF翻折防，翻折后

的俞与直径AB相切于点。，且AD=3DB,则折痕EF的长度是；

【答案】，TT

【分析】根据折叠的性质可得折叠后的圆与圆。半径一样，设折叠后的圆弧所对的圆心为根据相交圆的

性质可以得到与EF互相垂直平分，由勾股定理就可以求出和'的值，从而求得结果.

【详解】解:设折叠后的圆弧所对的圆心为O，,连接OO,O'D,OE,与EF交于点Af,如图所示：

与EF互相垂直平分，.♦.0暇=。00，，EF=2EM,

•：AB=^,：.OA=OB=OE=2,以点O'为圆心的圆半径也是2,O，D=2,

AD=3DB,DB=+AB=1,OD=1,

O'O=y/OD2+O'D2=Vl2+22=：.EM=y/OE2-OM2=J4T=,

EF=2EM=Vil,即折痕EF的长为JU,故答案为：，IT.

【点睛】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的应用，勾股定理的运用，垂直平分线性质的运用，根

据相交圆的性质求解是解题的关键.

14.（2023•江苏无锡•九年级校联考期中）如图L将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB,点人的运

动轨迹为弱,P是半径上一动点，Q是筋上的一动点，连接PQ.

（1）当NPOQ=时，PQ有最大值,最大值为;

（2）如图2,若P是中点，且QPLO8于点P,求配的长；

（3）如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点8的对应点日恰好落在OA的延长线上,求阴影部分面

【答案】（1）90°,10四;（2）孚兀；（3）25兀-100V2+100

O

【分析】⑴先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论;

MS

⑵先判断出/POQ=60°,最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在瓦△B0P中，Op2+（io四—

10尸=（10—OP）2,解得0P=102一10，最后用面积的和差即可得出结论.

【详解】解：（1）：P是半径OB上一动点，Q是叁上的一动点，

当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，

此时，APOQ=90°,PQ=VOA2+OB2=10V2,故答案为90°,1072;

（2）解:如图，连接OQ,•.•点P是OB的中点，：.OP=^OB=^-OQ.

•：QP±OB,：.ZOPQ=90°在Rt/^OPQ中，cosZQOF=2=-y,

ZQOP=60°,/.IBQ=黑兀x10=孚元；

lot）3

（3）由折叠的性质可得，BP=BP,。AB'=AB=WV2,

在Rt/^B'OP中，O尸+—IO）2=（10—OP）2,解得OP=10V2—10,

（10A/2

2

S时彩=S^AOB-2SAAOP=黑兀x10-2xx10X（1072-10）=25n-10072+100.

oOU/

【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键.

15.（2023•江西萍乡•校考模拟预测）如图（l）AB是。O的直径，且48=2，点。是半圆的中点，点P是

后。上一动点，将46沿直线4P折叠交AB于点。,连接PD,PB.

图⑴图（2）

⑴求证：=PB；（2）当点。与点O重合时，如图（2）,求靛的长.

【答案】⑴见解析⑵看

【分析】（1）如图，作点。关于AP的对称点。,连接AD',PD,OD,OP,由折叠的性质可知AD'AP=

APAB,PD'=PD,根据圆周角定理可知APOD'=24DAP,ZPOB=2NPAB,可得/POD'=ZPOB,继

而得到PD'=PB,即PD=PB-,（2）证明&OPB是等边三角形，可知BP所对圆心角为60°,利用弧长公式可

求靛的长.

【详解】⑴证明：如图，作点。关于AP的对称点。'，连接AD',PD,OD,OP,由折叠的性质可知/O'AP

=APAB,PD'=PD,

又•・・/POD，=2/D，AP,APOB=2ZPABf

：./POD=ZPOB,：.PD，=PB,/.PD=PB.

⑵解：由⑴知PO=P8,又・・・PO=B。，.•.△OPB是等边三角形，

・・.APOB=60°,・・・靛所对圆心角为60°,・•.彘的长为”>=4♦

1803

【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本

题的关键.

16.（2023•陕西安康・九年级统考期末）在。。中，AB为直径，。为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交4B于

点。，连接CD.（1）如图1,若点。与圆心O重合，OO的半径r为2,则AC的长为；

（2）如图2,若点。与圆心O不重合，连接BC,求证：CB=CD；⑶如图3,琳琳家小区有一半径13米

的圆形绿化区整个绿化区被4DC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植

有不同颜色的花卉，其中弓形人。。与弓形AEC关于分界线4。对称,为方便居民穿越绿化区，设计师

决定从直径