曲线的轨迹方程问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展33曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、曲线方程的定义

一般地，如果曲线C与方程F（X,y）=0之间有以下两个关系：

①曲线C上的点的坐标都是方程F（x,y）=0的解；

②以方程F（x,y）=0的解为坐标的点都是曲线C上的点.

此时，把方程尸（％,y）=。叫做曲线。的方程，曲线。叫做方程尸（x,y）=。的曲线.

二、求曲线方程的一般步骤（直接法）

（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；

（2）设曲线上任意一点的坐标为（x,y）；

（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；

（4）用坐标％、V表示这个等式，并化简；

（5）确定化简后的式子中点的范围.

上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

三、求轨迹方程的方法

L定义法

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨

迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2.代入法（相关点法）

如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线

方程），则可以设出P（x,y）,用（x,y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即

可得到动点P的轨迹方程。

3.交轨法

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点

（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选

变角、变斜率等为参数.

4.参数法

动点M*，y）的运动主要是由于某个参数。的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标,

x=于卿)

再消参.

y=g(e)

5.点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（玉,必）,3（々,％）的坐标

代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得%+%,%+%,苞-々，%等关系式，由于

-y,

弦AB的中点P（x,y）的坐标满足2x=%+%,2y=必+%且直线AB的斜率为亍寸，由此可求得弦AB

中点的轨迹方程.

二、题型精讲精练

【典例1］已知点尸是椭圆。。让任意一点，过点尸作x轴的垂线，垂足为M,则线段加的中点

N（x,y）的轨迹方程为.

【答案】—+/=1

6

【解析】因为轴，垂足为M,且PM的中点为N（x,y）,

所以尸（x,2y）,又因为尸是椭圆：+号=1上任意一点，

所以?+与1=1,即W+y2=i.故答案为：^+/=1,

6466

【典例2】已知圆心（尤-2）2+产=1,动圆P与圆尸外切，且与定直线》=一3相切，设动点P的轨迹为E.求

E的方程；

【解析】设p（无,y）,圆尸的半径为R,由题可知，点尸在直线了=-3右侧，

因为圆尸与定直线x=-3相切，所以R=x+3.

又圆尸与圆尸外切，所以R=|P尸|+1=J（x-2『+y2+1,

所以x+3=［（—+1,化简得产;网，即E的方程为V=8x.

【典例3】（单选题）设4,8分别是直线〉=2彳和尸-2彳上的动点，且满足|AB|=4,则A2的中点”的轨

迹方程为（）

22

A.x2+—=1B.y2+—=]

1616

22

C.f-匕=1D.y2-—=1

1616

【答案】A

【解析】设A（占,2占），B（X2,-2X2）,M[x,y）,

因为M为A3的中点，则故x=。,y=x1-x2,又因为

22

|河『=（玉一天）2+（2玉+2尤2）2=16,所以〉2+（4彳）2=16,即/+21=1,所以点乂的轨迹方程为/+匕=1.

1616

故选:A.

2

【典例4】已知4、4为椭圆C：/+1_=1的左右顶点，直线X=x0与c交于A3两点，直线AA和直线

&B交于点尸.求点P的轨迹方程.

【解析】由题意得A（T，°），4（1，°），

kk

设4（%,%），3（%一%）（%«°），尸（x,y）,贝!IL=L，PA2=BA2,

22

即上=上上=』得上=工

用X+lX°+l'X-1飞一1'传彳2_1-焉_1'

222

又；点（不，%）在c上，即需_1=_丛，得*=3,.・.x2一匕=i（yHO）；

3x—13

22

【典例5]己知椭圆?+方=1的弦所在直线过点E。』），求弦AB中点尸的轨迹方程.

%+%2=2尤

【解析】设4（%,%），以如力）,弦A8的中点网无,y）,则

X+%=2y，

3-+2=1

3

将A3代入椭圆方程得;2,

强+区=1

两式相减得（再+%）（。-％）+5+）=0,

43

所以也虫+至1=°,

23

当时，A*^=。十三"肛

因为程所以"^=得，则=。，

再一马兀一123x—1

整理得3f+4y2-3x-4y=0（x71）；

当西=々时，则直线A3方程为x=l,代入椭圆方程解得

所以*1,0）满足上述方程，故点F的轨迹方程3炉+4y2-3x-4y=0.

【题型训练-刷模拟】

一、单选题

1.平面直角坐标系中点M（x,y）满足J（x-l）2+y2+"（x+iy+y2=2,则点M的轨迹为（）

A.线段B.圆C.椭圆D.不存在

2.一动圆P过定点M（T,0）,且与已知圆N：（x-4）2+9=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）

A丁,2y2X1

A.——+—=1B.—+——=1

412412

C.《上二1D.匚《二1

412412

3.在平面内，A,3是两个定点，C是动点，若尼=2,则点。的轨迹为（）

A.椭圆B.射线C.圆D.直线

__.3__►1__.

4.已知面积为16的正方形ABCZ）的顶点48分别在x轴和y轴上滑动，。为坐标原点，OP=-OA+-OB,

则动点P的轨迹方程是（）

5.已知圆C:/+y2=3,直线/过点A（-2,0）.线段48的端点B在圆C上运动，则线段48的中点M的轨迹

方程为（）

A.（x-1）2+y2=-|B.（x+1）2+y2=-|

C.x2+（y-l）2=|D.（x+l）2+/=1

6.已知片,且分别为椭圆E:卷+产=1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形尸耳工的重心,

则点G的轨迹方程为（）

A.x2+9y2=1B.炉+9/=1（舛0）

C1一1D.JM=l(ywO)

819819

7.将尤?+v=16上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的得到曲线C,若直线/与曲线C交于48两

点，且42中点坐标为“（2,1）,那么直线/的方程为（）

A.x-2y-4=0B.x+2y-4=0C.2x+y-4=0D.2%+y+2=0

8.已知P是圆月：（x+3）2+/=16上的一动点，点月（3,0）,线段尸与的垂直平分线交直线尸片于点Q,则。

点的轨迹方程为（）

R/丁[

D.---------=1

'I}49

22

D.--^=l(x>0)

45v7

_____21,

9.已知A,B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线的垂线，垂足为N.若而『=-弓1k丽・丽，则

动点〃的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线

10'已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点尸是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q与

点p关于X轴对称，则直线PA与直线Q4的交点M所形成的轨迹为（）

A.双曲线B.抛物线

C.椭圆D.两条互相垂直的直线

11.已知点P是圆。：尤2+9=4上的动点，作PHJLy轴于点H,则线段PH的中点M的轨迹方程为（）

2222

A.—+/=1B.—+/=1C./+上=1D./+匕句

416164

22

12.已知双曲线为-二=1的两个焦点分别为小F2,离心率等于g,设双曲线的两条渐近线分别为直线

a2

卜4;若点A5分别在4、4上，且满足6|钻|=拒|片6|，则线段A5的中点用的轨迹。的方程为

A.—+/=1B.----Fy2=1

43

C.—+/=1D.—+/=1

62

13.已知A（0,7）,3（0,-7）,0（12,2）,以。为焦点的椭圆过A、5两点，则椭圆的另一个焦点方的轨迹方程

为()

A.y2--=l(y<-1)B.9啧=1(”D

48v7

22

C-小2=1(”一4码D-点"=1(”4⑹

二、填空题

14.如果点加（尤，y）在运动过程中，总满足关系式）无2+（＞；+3）2+,尤2+（,-3）2=4右,那么点M的轨迹

是.

15.平面上一动点C的坐标为（应cose,sin，），则点C的轨迹E的方程为.

16.曲线C上任意一点尸到点尸（2,0）的距离与它到直线尤=4的距离之比等于走，则C的方程为.

2

17.已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2,0）,且与x轴，＞轴分别相交于3（%,0）,。（0,门两个动点，则点

的轨迹方程为.

18.已知点分别在x轴、了轴上运动，|4?|=3,点尸在线段A3上，且忸升=2|酬.则点尸的轨迹E方

程是;

19.已知点A（-夜,0）,B（V2,0）,尸是平面内的一个动点，直线力与尸8的斜率之积是则动点P的

轨迹C的方程为.

20.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数左伏＞。,人力1）的点的

轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A（T,0）,8（2,0），点〃满足=2,

则点M的轨迹方程为.

21.已知圆M与圆C”（x+5『+y2=25和圆C2：（x-5y+y2=9一个内切一个外切，则点M的轨迹方程

为.

22.已知点尸是曲线y=Y+l上任意一点，4（2,0）,连接PA并延长至Q,使得而=2可，求动点。的轨

迹方程.

23.在椭圆上+必=1上任取一点过点尸作x轴的垂线段尸。，垂足为。，点加在。尸的延长线上，满

4

\DM\

足标=2,当点尸在椭圆上运动时，点M的轨迹方程为.

22_____1„

24.已知点尸为椭圆2+3=1上的任意一点，。为原点，M满足加=彳而，则点"的轨迹方程

25162

为.

25.设平面直角坐标系中，。为原点，N为动点，|。叫=6,ON=S/5OM,过点M作即弘_Ly轴于点Af1，

过点N作NN］，x轴于点N］,M与"i不重合，N与N］不重合，设讨=函*+凡"，则点T的轨迹方程

是.

26.自A（4,0）引圆d+y2=4的割线ABC,贝片玄8C中点P的轨迹方程.

27.已知A（2cos，,4sin。），B（2sin&-4cos。），当6eR时，线段AB的中点轨迹方程为.

22

28.已知是椭圆十+方二乂。〉人〉。）中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和

NB的交点P的轨迹方程为.

29.已知抛物线C:尤2=2py（p>0）的焦点F到准线的距离为2,直线/：y=%（x-4）与抛物线C交于尸，。两

点，过点P,Q作抛物线c的切线4,4,若/交于点M，则点/的轨迹方程为.

30.直线/在x轴上的截距为a（a>0）且交抛物线y2=2px（p>0）于A、B两点，点。为抛物线的顶点，过

点A、B分别作抛物线对称轴的平行线与直线x=-。交于C、D两点.分别过点A、B作抛物线的切线，则

两条切线的交点的轨迹方程为.

三、解答题

31.已知直线/平行于y轴，且/与无轴的交点为（4,0）,点A在直线/上，动点尸的纵坐标与A的纵坐标相

同，且两，无，求尸点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状.

32.在平面直角坐标系中，点A8的坐标分别为（T,。），（4,0）,点M（x,y）为坐标系内一点，若直线AM与

9

直线3M的斜率的乘积为一77.

⑴求点M的轨迹方程；

（2）说明点M的轨迹是何种几何图形.

22

33.已知椭圆土+匕=1,点A,8分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线/与椭圆相交于P,Q

42

两点，当直线/与椭圆相切于点A或点8时，看作尸，。两点重合于点A或点2,求直线相与直线BQ的交

点M的轨迹方程.

34.已知RtA^BC的斜边为42,且A（T,0）,3（3,0）.求:

（1）AABC外接圆的一般方程；

（2）直角边8C的中点M的轨迹方程.

35.已知直线/：x=〃zy+l,圆C:d+y2=4.

⑴证明:直线/与圆C相交；

（2）设/与C的两个交点分别为A、B,弦的中点为求点M的轨迹方程.

22

36.已知椭圆C:二+当=1（。>6>0）的右焦点为尸，点4（一2,0）在椭圆上且|AH=3.

a"b

⑴求椭圆C的方程；

（2）点尸、。分别在椭圆C和直线x=4上，OQ//AP,M为针的中点，若T为直线与直线。尸的交点.是

否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

37.已知过点“（8,0）的直线交抛物线氏y=8x于两点，。为坐标原点.

（1）证明：OA±OB；

（2）设尸为抛物线的焦点，直线AB与直线x=T交于点直线血尸交抛物线与C,D两点（A,C在x轴的

同侧），求直线AC与直线80交点的轨迹方程.

22

38.已知久,B分别是双曲线工-^=1（“>。8>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.若

ab

2

该双曲线与椭圆r工+丁=1有共同的焦点且过点2（2,1）,求△耳PA内切圆圆心的轨迹方程.

4

39.已知点A（2,0）是圆V