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文档简介

14X中有裁号送嫉恁*莫侏(

一供1小)

22

颖目Q(2023-广州)已知关于c的方程/—(2k-2)X+k-l=0有两个实数根,则J(k—I)?一(V2^fc)的

化简结果是()

A.—1B.1C.—1—2kD.2k—3

【分析】首先根据关于①的方程(2%-2),+fc2-l=0有两个实数根,得判别式△=[一(2%—2)『一4x1x

(fc2-i)>o,由此可得kw1,据此可对7(fc-i)2-(代工I)?进行化简.

【解答】解::关于,的方程,2一(2卜一2)3;+/-1=0有两个实数根,

判别式△=[-(2k—2)『一4x1x(fc2-l)>0,

整理得:—8k+8)0,

fc<1,

k-1&0,2—k>0,

-I)?-(A/2—fc)2

=-(fc-l)-(2-fc)

故选:4

二供1小)

「题目区(2023-温州)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程

相等,②③两路段路程相等.

【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;

小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示,在2100米处,他到出口还要

走10分钟.

【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为(

A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米

【分析】设①④⑥各路段路程为重米,⑤⑦⑧各路段路程为沙米,②③各路段路程为z米,由题意及图象可知

三=,然后根据“游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线

4510

①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解.

【解答】解:由图象可知:小州游玩行走的时间为75+10—40=45(分钟),

小温游玩行走的时间为205-100=105(分钟),

设①④⑥各路段路程为,米,⑤⑦⑧各路段路程为9米,②③各路段路程为z米

由图象可得:°+"+z=*+"+z—210°

4510'

解得:c+?/+z=2700,

游玩行走的速度为:(2700—2100)+10=60(米/分),

由于游玩行走速度恒定,则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为:3工+3夕=105x60=6300,

.\x-\-y=2100,

路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为:2a;+2y+z=2;+v+z+a;+v=2700+2100=4800(米).

故选:B.

三.动点问题的函数图象(共1小题)

【题目回(2023•河南)如图1,点P从等边三角形的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该

点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为2,罢=9,图2是点P运动时V随土变化的关系图象,则等

【分析】如图,令点P从顶点力出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点B,结合

图象可知,当点P在人。上运动时,PB=PC,40=2述,易知ABAO=ACAO=30°,当点P在。B上运

动时,可知点P到达点B时的路程为4V3,可知AO=OB=2",过点。作OD,AB,解直角三角形可得

AD=4>cos30°,进而得出等边三南形ABC的边长.

【解答】解:如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点B,

结合图象可知,当点P在4。上运动时,,暮■=:!,

:.PB—PC,AO—2V3,

又「△ABC为等边三角形,

・・.ABAC=60°,AB=AC,

・・・/\APB空△APC(SSS),

:.ZBAO=ZCAO=30°f

当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为4V3,

:.OB=2V3,即AO=OB=2V3,

・・・/940=/ABO=30°,

过点。作,AB,垂足为D,

:.AD=BD,则AD=4O・cos30°=3,

AB=AD+BD=6,

即等边三角形48。的边长为6.

故选:A.

四.反比例函数系数A的几何意义(共1小题)

题目3(2023-宁波)如图,点4B分别在函数夕=*a>0)图象的两支上(A在第一象限),连结交2轴

于点。.点在函数9=之。<0,2<0)图象上,人£〃2:轴,80〃沙轴,连结。£;,跳;.若47=

X•••

2BC,A4BE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,则a—b的值为12,a的值为9

【分析】依据题意,设旦),再由AE〃x轴,BD〃y轴,AC=2BC,可'得-白),D(—2m,

m2m

一小一),E(—,旦),再结合△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,即可得解.

2mam

【解答】解:设4%卫),

m

AE〃立轴,且点E在函数■上,

:.E(吗&).

am

•:AC=2BC,且点B在函数v=马上,

X

••-8(—2m,

2m

・・・瓦?〃。轴,点。在函数"=之上,

x

•*«-0(—2m,—).

2m

•••△AB石的面积为9,

3(ai)

・・・s:=义(多+表)=—4一—仇

ZUElib/CLilL-哈号/+"C白L•—普

a-b=12.

•.•△ABE的面积为9,四边形4BDE的面积为14,

+2+

SABDE=《DB•(地+2m)=[(一上+(旺当皿=X(a一》•工•(-~)-m=3(-—)

2a22m2ma4maa

—5.

a=-3b.

又Q—b=12.

a=9.

故答案为:12,9.

五.反比例函数图象上点的坐标特征(共2小题)

:题目回(2023•德州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(6,3),。是。4的中

点,交于点E,函数夕=侬士《的图象过点B.E.且经过平移后可得到一个反比例函数的图象,

则该反比例函数的解析式()•••

n3

c.y=—D”3

X

【分析】先根据函数图象经过点B和点E,求出a和b,再由所得函数解析式即可解决问题.

【解答】解:由题知,

A(6,0),B(6,3),C(0,3),

令直线AC的函数表达式为yi=k1X+瓦,

6自十与=0

b尸3

解得

[bi—3

所以yi=―■力+3.

又因为点。为OA的中点,

所以。(3,0),

同理可得,直线的函数解析式为例=%—3,

由一-+3=力一3得,

力=4,

则g=4—3=1,

所以点E坐标为(4,1).

6a+6

=3

将石,石两点坐标代入函数解析式得,3

4a+b=1

Q=4

解得

b=—15

,二4力一15

所以g

x—3'

4(力一3)—33

贝4y=+4,

x—3x—3

将此函数图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,

所得图象的函数解析式为:y=—.

x

故选:D.

题瓦回如图,。是坐标原点,Rt/\OAB的直角顶点A在2轴的正半轴上,=2,AAOB:30°,反比例函

数9=总/>0)的图象经过斜边QB的中点C.

X

(l)fc=V3;

(2)。为该反比例函数图象上的一点,若DB//4。,则OZ—Blf的值为4.

•••

【分析】(1)根据直角三甫形的性质,求出A、B两点坐标,作出辅助线,证得/\OPC名AAPC(HL),利用勾股

定理及待定系数法求函数解析式即可解答.

⑵求出AC.BD的解析式,再联立方程组,求得点D的坐标,分两种情况讨论即可求解.

【解答】解:(1)在AtAOAB中,AB=2,乙408=30°,

OB=4,OA=2A/3,

.4(273,0),5(273,2),

。是OB的中点,

OC=BC=AC=2,

如图,过点。作CP_L04于P,

△OPCZ△APC(HL),

OP=AP=^-OA=V3,

在Rt^OPC中,PC=VOC2-OP2=74^3=1,

(7(73,1).

•/反比例函数y=—(fc>0)的图象经过斜边OB的中点。,

X

解得k

故答案为:,

(2)设直线AC的解析式为g=k.x+b(kW0),

.f2V3fci+6=0

则n

解得卜L君,

[b=2

:.AC的解析式为沙=一空2+2,

O

・・・AC//BD,

直线BD的解析式为y=—乎2+4,

•.•点D既在反比例函数图象上,又在直线BD上,

fV3

y二一

联立得一,

y=―-^-/+4

、O

[2:i=2A/3+3fa?2=2V3-3

=

Iyi2—A/3[y2=2+V3

当。的坐标为(2V3+3,2-V3)时,

B02=(2V3+3-2A/3)2+(2-V3-2)2=9+3=12,

.•.OB2-Bn2=16-12=4;•••

当。的坐标为(2V3-3,2+V3)时,

BZ52=(2V3-3-2V3)2+(2+A/3-2)2=9+3=12,

OB2-Bn2=16-12=4;

综上,032—B£»2=4.

故答案为:4.

六.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

>10(2023•湖州)已知在平面直角坐标系中,正比例函数y=卜他(鼠>0)的图象与反比例函数沙=佟(总>

0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点A(t,p)和点6(t+2,q)在函数?/=自①的图象上

。且t2),点C(t,m)和点。(1+2,n)在函数夕=&的图象上.当p—m与q—n的积为负数时,力的取

X

值范围是()

A.一~~VtV—3或~~VtV1B.-VtV—3或1V力V~~

C.——3VtV——2或i——1V力V0D.——3VtV——2或i0V力V1

【分析】将交点的横坐标1代入两个函数,令二者函数值相等,得fci=fc2.令看产自=k,代入两个函数表达式,

并分别将点的坐标和点。、。的坐标代入对应函数,进而分别求出p一小与q—n的表达式,代入解不

等式(p—m)(q—力V0并求出力的取值范围即可.

k

【解答】解::y=自力(自>0)的图象与反比例函数y=,(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标

x

为1,

•**ki--AZ2.

令ki=k2=k(k>0),则g=kxx=kx,y=

(0—kt

将点4力,P)和点B(力+2,q)代入g=for,得彳

[q=k(力+2)

将点C(大,m)和点_D(力+2,九)代入g="(,得<:.

x_/c

“1+2

・・・0—zn=就一((=—,q一九=k(±+2)-=k(±+2-,

(0—m)(Q—n)=fc2(t—十)(力+2—之)<。,

・9*+2-

1V,,1x_t2-l(i+2)2-l_(t+l)2(t-l)(«+3)

・"小+92-E=丁+2)

...(t—l)(t+3)(0

t(t+2)

t(t—1)(t+2)(t+3)C0.

①当力〈一3时,力(七—1)(±+2)«+3)>0,

.•.力<一3不符合要求,应舍去.

②当—3<t<—2时,t(t—1)(t+2)(t+3)<0,

.,.-3<力<-2符合要求.

③当-2VY0时,(t+2)(t+3)>0,

.•.一2〈1VO不符合要求,应舍去.•••

④当0VQV1时,力(t—l)(t+2)(t+3)V0,

.,.0VtVl符合要求.

⑤当±>1时,即一1)(±+2)(£+3)>0,

.•.方>1不符合要求,应舍去.

综上,土的取值范围是一3Vt<-2或OVtVl.

故选:D.

七.二次函数图象与系数的关系(共3小题)

[题目叵](2023・乐至县)如图,抛物线沙=&/+碗+“£1W0)的对称轴为直线,=—2,且过点(1,0).现有以下

结论:①abc<0;②5a+c=0;③对于任意实数?n,都有2b+bmW4a—am。④若点A{xx,%)、B(a;2,y2)是

图象上任意两点,且E+2|<E+2],则阴<%,其中正确的结论是()

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④

【分析】根据题意和函数图象,利用二次函数的性质,可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本

题.

【解答】解:由图象可得,

a>0,fe>0,c<0,

/.abc<0,故①正确,

抛物线y—ax2+bx+c(aW0)的对称轴为直线力=—2,且过点(1,0).

—~~——2,<z+fe+c—0,

2a

:.b=4a,

••・a+b+c=Q+4a+c=0,故5a+c=0,故②正确,

当x=—2时,g=4a—2b+c取得最小值,

/.a病+bm+c>4a—2b+c,即2b+bm>4a—am2(m为任意实数),故③错误,

・.•抛物线开口向上,对称轴为直线⑦=-2,

若点A(xlf.)、B(X2,7/2)是图象上任意两点,且|—+2|<|T2+2|,

・•・依〈统,故④正确;

故选:C.

〔题目回(2023-丹东)抛物线y=ax2+bx+c(a/0)与c轴的一个交点为A(-3,0),与9轴交于点。,点D是

抛物线的顶点,对称轴为直线c=—1,其部分图象如图所示,则以下4个结论:①abc>0;②E(X1,yi),F

2(

(电,V2)是抛物线y—ax-\-bx(aW0)上的两个点,若xx<x2,且xl-\-x2<—2,则yx<y2;③在x轴上有一动点

P,当PC+PD的值最小时,则点P的坐标为(-y,0);④若关于2的方程ax2+b(x-2)+c=-4(aW0)无

实数根,则b的取值范围是b<l.其中正确的结论有()

•••

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据所给函数图象可得出a,b,c的正负,再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题.

【解答】解:根据所给函数图象可知,

a>0,6>0,c<0,

所以abc<0,

故①错误.

因为抛物线y=的图象可由抛物线y=a^+bx+c的图象沿g轴向上平移\c\个单位长度得到,

所以抛物线g=Q/+6力的增减性与抛物线期=ai+bx+c的增减性一致.

则当x<—1时,g随力的增大而减小,

又力i<力2,且劣1+劣2<—2,

若x2<—1,

则E,尸两点都在对称轴的左侧,

此时yY>y2.

故②错误.

作点。关于力轴的对称点。,连接。。与力轴交于点P,连接P。,

此时PC+PO的值最小.

将4(—3,0)代入二次函数解析式得,

9。-3b+c=0,

b1

即b=2Q,

所以9Q—6Q+C=0,

则c=-3Q.

又抛物线与g轴的交点坐标为C(0,c),

则点。坐标为(0,-3a),

所以点。坐标为(0,3a).

又当x——\时,y——^a,

即D(-l,-4a).

设直线CD的函数表达式为y=kx+3a,

将点。坐标代入得,

—k+3a=-4a,

贝Uk=7a,

所以直线。。的函数表达式为U=7QI+3Q.

将g=0代入得,

所以点P的坐标为(-y,0).

故③正确.

将方程aa/'+Mrc—2)+c——4整理得,

ax2+bx+c=26—4,

因为方程没有实数根,

所以抛物线夕=ax2+bx+c与直线g=2b—4没有公共点,

所以26—4V—4a,

则26-4<-2fe,

解得6<1,

又90,

所以0<b<l.

故④错误.

所以正确的有③.

故选:A.

题目口口(2023-河北)已知二次函数y=—/+/712c和y=a;2-m2(m是常数)的图象与c轴都有两个交点,且

这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为()

A.2B.TTLC.4D.2m2

(分析】求出三个交点的坐标,再构建方程求解.

【解答]解:令g=0,则―/=0和T2—m2=0,

六%=0或a;=m或x=—m或6=m,

・・,这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,

若7n>0,则m2=2m,

m=2,

若7nV0时,则m2=-2m,

m=—2.

2

抛物线g=/2—vn?的对称轴为直线力=0,抛物线y=—x2+m2£C的对称轴为直线力二青-,

2

这两个函数图象对称轴之间的距离=~~2~=2,

故选:4

八.二次函数图象上点的坐标特征(共1小题)

「题目回(2023-广东)如图,抛物线夕=遍+c经过正方形0ABe的三个顶点A,B,。,点B在沙轴上,则ac

A.-1B.一2C.—3D.-4•••

【分析】过4作4H"_L)轴于旧;根据正方形的性质得到乙406=45°,得到4ff=OH,利用待定系数法求得

a、c的值,即可求得结论.

【解答】解:过A作Aff_L力轴于H,

・・・四边形ABCO是正方形,

・・・乙406=45°,

・・・45°,

・・.AH=OH,

设A(m,rn),则B(0,2m),

.(m=aw^-\-c

\2m=c'

解得am=-1,m=-y,

ac的值为—2,

故选:R

九.二次函数与不等式(组)(共1小题)

[题目]叵(2023-西宁)直线阴=ax+b和抛物线统=ax2+bx(a,b是常数,且a#0)在同一平面直角坐标系

中,直线y产ax+6经过点(-4,0).下列结论:①抛物线统=a^+bx的对称轴是直线c=—2;②抛物线y2

=aa?+bx与多轴一定有两个交点;③关于,的方程&/+皈=a,+b有两个根2尸―4,◎=1;④若a>0,当

力V—4或力>1时,%>例.其中正确的结论是()

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

2

【分析】根据直线y、=ax-\-b经过点(一4,0).得到6=4a,于是得到y2=ax+bx=Q/=4Q/,求得抛物线y2

22

=ax-\-bx的对称轴是直线x-=2;故①正确;根据A=16Q2>0,得到抛物线y2=ax-\-bx与⑦轴一定

22

有两个交点,故②正确;把b=4a,代入ax-\-bx—ax-\-b得到rc+3rc—4=0,求得g=-4,x2—1;故③正确;

21

根据a>0,得到抛物线y2—ax-\-bx的开口向上,直线yx—ax+b和抛物线y2—ax+bx交点横坐标为一4,

1,于是得到结论.

【解答】解::直线y、=ax+b经过点(一4,0).

4a+b=0,

b=4a,

2

y2=ax-\-bx=aa?+4ac,

1

抛物线y2—aa?-\-bx的对称轴是直线x=一半—=2;故①正确;

2a

2

*.*y2—aa?-\~bx—arc+4aT,

:.A=16a2>0,

抛物线纺=aa?-\-bx与力轴一定有两个交点,故②正确;

Vb=4a,

/,方程ax2+bx=are+b为ax2-{-4:ax=ar+4Q得,

整理得/+3力-4=0,

解得力i=-4,x2—1;故③正确;

2

丁a>0,抛物线例=ax+bx的开口向上,直线m=ax-\-b和抛物线y2—ax1-\-bx交点横坐标为一4,1,

当x<—4或力>1时,yi<y2.故④错误,

故选:

一十.三角形中位线定理(共1小题)•••

遮目H(2023•广州)如图,在Rt/\ABC中,AACB=90°,=10,AC=6,点M是边AC上一动点,点D,

E分别是AB,乂8的中点,当AM^2.4时,OE的长是1.2.若点N在边6。上,且CN=AM,点F,G

分别是MN,4V的中点,当2.4时,四边形。EFG面积S的取值范围是34SW4.

【分析】依据题意,根据三角形中位线定理可得=44W=L2;设w=*从而£>石=白,由。石〃4河,

且DE=^AM,入FG〃AM,FG=^AM,进而DE〃FG,DE=FG,从而四边形DEFG是平行四边形,

结合题意可得DE边上的高为(4——2),故四边形DEFG面积5=42—1小,进而利用二次函数的性质可

得S的取值范围.

【解答】解:由题意,点。,后分别是4B,MB的中点,

DE是三角形48Al的中位线.

DE=JAM=1.2.

如图,

设AM=x,

由题意得,DE〃AM,且DE=gAM,

又FG"AM,FG^^-AM,

:.DE//FG,DE=FG.

:.四边形DEFG是平行四边形.

由题意,GF到的距离是1,BC=“AB?—,

.♦.DE边上的高为(4—0力.

四边形DEFG面积S=2c—=小,=一二(,_4)2+4.

44

V2.4<x<6,

・・・3&S&4.

故答案为:1.2;3&S&4.

一十一.矩形的性质(共2小题)

逾百⑪(2023-宁波)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设

的面积分别为S,g,S2,若要求出S—Si—52的值,只需知道()

A.△ABE的面积B.A4CD的面积C.ZVIB。的面积D.矩形BODE的面积

【分析】作AG_LED于点G,交BC于点F,可证明四边形BFGE是矩形,4F_LBC,可推导出S—Sx-S2=

:。。,所以只需知道

、ED-AG-BE-EG-^-CD-DG=^-ED-AG--FG-ED=AF=SSAABC,

zzzzzz

就可求出S—Si—$2的值,于是得到问题的答案.

【解答】解:作AG_LED于点G,交B。于点F,

•.•四边形8CDE是矩形,

2FBE=4BEG=2FGE=90°,BC//ED,BC=ED,BE=CD,

:.四边形BFGE是矩形,NAFB=4FGE=90°,

:.FG=BE=CD,AF_LBC,

:.S-S1-S2=^-ED-AG--BE-EG-±CD-DG=^-ED-AG--FG-ED=^-BC-AF=S^c,

zzzzzz

.•.只需知道S△及sc,就可求出S—Si—52的值,

故选:C.

「题目即(2023•河南)矩形ABCD中,河为对角线BD的中点,点N在边A。上,且AN=4B=1.当以点

。,河,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为2或1+2.

【分析】以点。,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:如图1,当/AiND=90°时,如图2,当

NNMD=90°时,根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解:以点。,河,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:

①如图1,当乙MND=90°时,

则的V_L4D,

•.•四边形4BCD是矩形,

ZA=90°,

•.•Af为对角线RD的中点,

AN=DN,

•:AN=AB=1,

AO=2AN=2;

如图2,当乙MWD=90°时,

则MN_LBD,

•.•Af为对角线的中点,

:.BM=DM,

.♦.AW垂直平分BD,

:.BN=DN,

•:ZA=90°,AB=AN=1,

:.BN=®AB=®,

:.AD=AN+DN=1+V2,•••

综上所述,49的长为2或l+2.

故答案为:2或1+2.

一十二.正方形的性质(共2小题)

题目回如图,在边长为4的正方形ABCD中,点G是上的一点,且BG=3GC,DE_LAG于点、E,BF

〃。后,且交AG于点F,则tan/EDF的值为()

【分析】由正方形4BCD的边长为4及BG=3CG,可求出BG的长,进而求出AG的长,证△ADE〜

/XGAB,利用相似三角形对应边成比例可求得AE,DE的长,证△ABFW/\DAE,

得AF=DE,根据线段的和差求得EF的长即可.

【解答】解:•.•四边形ABCD是正方形,4B=4,

:.BC=CD=DA=AB=4:,ABAD=NABC=90°,AD//BC,

:.NDAE=AAGB,

•:BG=3CG,

:.BG=3,

:.在Rt^ABG中,AB2+BG2^AG2,

47=〃+3?=5,

•:DE±AG,

:.NDEA=ZDEF=ZABC=90°,

AADE〜&GAB,

:.AD:GA=AE-.GB=DE:AB,

.\4:5=AE:3=DE:4,

:.AE=^-,DE^^~,

55

又,:BF//DE,

:./AFB=/DEF=90°,

又•・・AB=ADf/DAE=/ABF(同角的余角相等),

△48斤空AZ14E,

AF=DE=单,

5

EF=AF—AB=单一孕=二,

555

EF1

:MEDF=榻*,

故选:A.

题目⑪(2023•湖州)如图,标号为①,②,③,④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的

四边形ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙,①和②分别是等腰Rt/\ABE和等腰Rt^BCF,③和④分

9

别是母/XCDG和9△D4H,⑤是正方形EFGH,直角顶点及F,G,H分别在边BF,CG,DH,AE上.

(1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,则的长是4cm.

⑵若弟=言,则tan/D4H的值是3.

Crl74-----------------

【分析】(1)将AE和FC用BE表示出来,再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的长;

(2)由已知条件可以证明ADAH=ACDG,从而得到tan/D4H=tanZCDG,设⑷7=c,OG=5%,GH=

4%,用2和%的式子表示出CG,再利用tan/D4H=tanZCDG列方程,解出。,从而求出tan/D4H的值.

【解答】解:(1)VRt^ABE和RtABCF都是等腰直角三角形,

AAE=BE,BF=CF,

•:AE+FC^llcm,

BE+BF=11cm,

即BE+BE+EF—11cm,

即2BE+M=llcm,

•:EF—3cm,

2BE+3cm=11cm,

/.BE=4cm,

故答案为:4;

⑵设Aff=;z:,

..DG_=5_

'GH4'

可设。G=5k,GH=4k,

•:四边形EFGH是正方形,

:.HE=EF=FG=GH=4k,

•:R心ABE和RtABCF都是等腰直角三角形,

AE=BE,BF=CF,NABE=NCBF=45°,

CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+Uk=x+12k,

Z.ABC=/LABE+ACBF=45°+45°=90°,

•/四边形ABCD对角互补,

ZADC=90°,

:./ADH+/CDG=90°,

四边形EFGH是正方形,

:./AHD=/CGD=90°,

AADH+NDAH=90°,

NDAH=ACDG,

tanZ.DAH=tan/CDG,

.DH=CG即5k+4k=c+12k

**AHDGfx5k,

整理得:x2+12kx-45fc2=0,

解得X1—3k,力2=—15k(舍去),

tan/DAH==3.

AH3fc

故答案为:3.

一十三.正多边形和圆(共1小题)

1目回(2023•河北)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各

有一个顶点在直线Z上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边

形的一边与直线/平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中:

⑴/&=30度;

(2)中间正六边形的中心到直线I的距离为2瓜(结果保留根号).

图1图2

【分析】(1)作图后,结合正多边形的外角的求法即可得到结论;

(2)把问题转化为图形问题,首先作出图形,标出相应的字母,把正六边形的中心到直线/的距离转化为求

ON=OM+BE,再根据正六边形的性质以及三角函数的定义,分别求出OM,跳;即可.

【解答】解:(1)作图如图所示,

­/多边形是正六边形,

AACB=6Q°,

•••BC〃直线Z,

/ABC=90°,

J.a—30°;

故答案为:30°;

(2)取中间正六边形的中心为O,

作图如图所示,由题意得,AG〃BF,AB〃GF,BF_LAB,

:.四边形ABFG为矩形,

AAB=GF,

•:ABAC=2FGH,ZABC=ZGFH=90°,

△ABCZ^GFH(SAS),

:.BC=FH,

在RtNPDE中,OE=1,PE^V3,

由图1知AG=BF=2PE=2g,OM=PE=A,

•:BC=^-{BF-CH)=V3-1,

BCV3-1

AB=3—通,图2

tanABAC£

3

BD—2—AB=A/3—1,

=.X2=l,

•••

BE=BD+DE—A/3,

ON=OM+BE=2V3.

二.中间正六边形的中心到直线Z的距离为2,S,

故答案为:2盗.

一十四.扇形面积的计算(共1小题)

[题目|19](2023・温州)图1是4x4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为血,现将它剪拼成一个“房

子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A,E,。,

B在圆上,点在AB上),形成一幅装饰画,则圆的半径为5,若点■在同一直线上,AB

〃PN,DE=,百EF,则题字区域的面积为然典.

【分析】根据不共线三点确定一个圆,根据对称性得出圆心的位置,进而垂径定理、勾股定理求得r,连接

OE,取矶)的中点T,连接OT,在Rt/^OET中,根据勾股定理即可求解.

【解答】解:如图所示,依题意,GH=2=GQ,

•.•过左侧的三个端点Q,K,L作圆,QH=HL=4,

文NK1QL,

.•.O在K2V上,连接OQ,则OQ为半径,

,:OH=T—KH=T—2,

在Rt/\OHQ中,OHlQ*QO2,

:.(『-2)2+42=r,

解得:r=5;

连接OE,取即的中点T,连接OT,交AB于点S,连接PB,⑷W,过点O作OU_L4河于点U.连接04

由△°UN〜△NPM,可得器=爵=线,

:.OU^^~.MN=24,

5

:.NU=^~,

5

AU=y/O^-OU2=,

5

・・.AN=AU—NU=2瓜

・・.AN=MN,

・・・AB//PN,

.・.AB±OTf

・・.AS=SB,

:.NS//BM,

:.NS//MP,

・・・加;尸,8共线,•••

叉NB=NA,

・・.AABM=90°,

•・,MN=NB,NP_LMP,

:・MP=PB=2,

:.NS=^MB=2,

•・・KH+HV=2+4=6,

ON—6—5=1,

・・.OS=3,图1

\'DE—4QEF,

设EF=ST=a,则政=^口£=乎(1,

在Rt/XOET中,OE'OT2+TE2,^52=(3+a/+(*,

整理得5a?+12a—32=0,

即(a+4)(5a—8)=0,

解得:a=或a=-4,

5

题字区域的面积为V6a2=-^76.

故答案为:5,黑份.

一十五.轴对称一最短路线问题(共1小题)

:题目远〕(2023•安徽)如图,E是线段AB上一点,△ADE和4BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形,

点P,F分别是CD,的中点.若4B=4,则下列结论错误的是()

A.PA+PB的最小值为B.PE+PF的最小值为2遍

C.△CDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为34

【分析】延长A。,BC交于河,过P作直线(〃4B,由△4DE和△BO£是等边三角形,可得四边形DECM是

平行四边形,而P为CD中点,知P为百中点,故P在直线/上运动,作A关于直线1的对称点Ar,连接

4B,当P运动到4B与直线1的交点,即4,P,B共线时,PA+PB=P4+PB最小,即可得P4+PB最

小值A'B=y/AA2+AB2=277,判断选项A错误;由PM=PE,即可得当M,P,F共线时,PE+PF最小,

最小值为MF的长度,此时PE+PF的最小值为2遍,判断选项B正确;过。作DK_LAB于K,过。作CT

_LAB于T,由△4DE和△BCE是等边三角形,得KT=KE+TE==2,有CD>2,故△CDE周长

的最小值为6,判断选项。正确;设AE=2w,可得S吗现曲ABCD=V3(m-1尸+30,即知四边形ABCD面积的

最小值为判断选项。正确.

【解答】解:延长AD,

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