高中数学期末复习：任意角的三角函数（原卷版）

专题01任意角的三角函数期末复习【四大题型+过关检测卷】

目录

【题型一扇形弧长和面积的计算及最值问题】.....................................................1

【题型二三角函数的定义和单位圆、三角函数线］.................................................4

【题型三同角三角函数基本关系式的应用】.......................................................5

【题型四诱导公式的应用】.....................................................................7

【过关检测卷】.................................................................................9

【期末题型】

【题型一扇形弧长和面积的计算及最值问题】

例题：已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为

（1）若a=gR=10cm,求扇形的弧长

⑵若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大?

⑶若a=g,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

【变式训练】

一、单选题

1.半径为3cm,圆心角为210。的扇形的弧长为（）

A.630cmB.femC.色mD.gem

2.机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC,再分别

以点A,B,C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段长为1,则莱洛三角形的

周长是（）

A

BC

“2n_71r4n

A.ITB.—C.—D.—

333

3.已知某扇形的周长是24,则该扇形的面积的最大值是（）

A.28B.36C.42D.50

4.己知扇形的圆心角为2rad,所对的弦长为4,则扇形的面积为（）

r24

A.2sinlB.4sin1C.-：—D.-：——

sinlsinzl

5.已知有如下命题：

①锐角一定小于去

②若扇形的面积为2cm2,扇形圆心角8的弧度数是4,则扇形的周长为6cm；

③若a是第二象限角，那么2a和与都不是第二象限角；

④若a与£终边共线，则必有a—£=2Mr（fcGZ）

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

6.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单

位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位

二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成"0-07”,478密位写

成"4一78".1周角等于6000密位，记作1周角=60-00,1直角=15-00.如果一个半径为3的扇形，它

的面积为3m则其圆心角用密位制表示为（）

A.10-00B.20-00C.30-00D.40-00

7.若扇形的圆心角为全半径为6,则扇形的弧长为.

二、填空题

8.己知某扇形的圆心角为盘，半径为5,则该扇形的弧长为

9.立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点。为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点

。的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在

圆的半径为x米，圆心角为8（弧度），当8=1时，x=米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行

装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M

的最小值为_________元（M=）■

:花鬻坛思科面积

0

io.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画

可看成一个扇环，其示意图如图所示.若乙4。。=g,04=4,且该扇环的周长为4+4m则该扇环的面积

为.

三、解答题

11.已知扇形的圆心角是a,半径为r,弧长为I；

(1)若a=105。,r=8cm,求扇形的弧长/；

⑵若扇形的周长为10cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出

此时的半径r.

12.(1)一条弦力8的长等于它所在圆的半径R,求弦AB和劣弧48所组成的弓形的面积；

(2)一扇形的周长为10cm,那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大

值？

【题型二三角函数的定义和单位圆、三角函数线】

例题：若a的终边经过点（1,一曲），贝IJ（）

A.a是第四象限角B.tana=—V5

「.V30

C.sina=——D.cosa=

66

【变式训练】

一、单选题

1."角的终边在同一条直线上〃是"sin（a—/?）=0〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知a是第二象限的角，P（x,6）为其终边上的一点，且sina=|,则尤=（）.

A.-4B.±4C.-8D.±8

3.在△48C中，"sin/=sin6-B)〃是2:=针的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知角。满足sin。＜0,tan。＜0,且卜in\=sing,则角羡属于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.己知a为第三象限角，则（）

A.s呜>0B.cos->0C.sin2a>0D.cos2a>0

2

6.若a=sin2,b=cos2,则a,b的大小关系为（）

A.a<bb<aC.a=bD.不能确定

二、多选题

7.（多选）已知sina=亨，则角a所在的象限可以是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.下列选项中，结果为正数的有（）

A.sinlB.cos2C.sin3D.cos4

9.下列选项中，结果为正数的有()

A.sinl+coslB.sin2+cos2

C.sin3+cos3D.sin4+cos4

10.下列函数值中，符号为负的为()

A.sin(-2022°)B.cos(一§

C.sin—cos—D.tan2

33

三、填空题

11.角a的终边上有一点尸(3,-2),贝!Jsina=

四、解答题

12.利用单位圆写出符合下列条件的角a的取值集合.

r、1

(l)cosa=--；

(2)sina<苧；

(3)tana>l.

【题型三同角三角函数基本关系式的应用】

例题：已知sina—cosa=—，，n<a<g,求tana的值.

【变式训练】

一、单选题

1.已知sina=—g,且n<a<手，则tana=()

2.已知a为第四象限角，且tana=—5则cosa=()

c2V52V5

A.匹B.—匹C.—D.

5555

-i

3.已知6E(0,ir)/sin。+cos。=--则下列结论不正确的是()

3

B.cos0=——

A.5

37

C.tanb=——D.sin3—cos3=-

45

4.已知2sin6=cos。,则3sin2。—sin0cos0=()

44

A1BC.D.

-I55

[5sina+cosa/

5.已知tana=2,则mi2sina-cosa=(

5

AC.D.2

-1BU3

6.已知tana=则』=()

2sinzasina

A.-1B-iC.3D.7

二、填空题

7.已知向量2=(1—sin0,1),b=1+sin6>).若a〃b,则锐角6=

8.若sina及cosa是关于x的方程2/+4kx+3k=0的两个实根，则实数k的值为

9.设sin。-cos。=彳，贝!Jsin。,cos。=

三、解答题

10.已知关于x的方程25/—a光+12=0的两根为sin。和cos8,其中8e(%号)

(1)求a的值;

COS0

(2)求_ixsin0+的值;

l-tan0

1一G

⑶求sin?。—cos?。的值

11.已知sina和cosa是关于X方程2/+4kx+3k=0的两个实根.

⑴求实数A的值；

（2）若ae（Oji）,求cosa—sina的值.

12.已知sing+2cos。=0.

cos0-sin0

⑴求的值;

2sin0+cos0

(2)求3sin2。—2sin6cos8的值.

l-2sin0cos0cos20-sin20

13.求证:

cos20-sin2014-2sin0cos0

【题型四诱导公式的应用】

例题：已知aE且tan2a—tana—2=0

⑴求tana的值；

（2）求sin?（3兀—a）—2sin—a）cos（；+优）+1的值

【变式训练】

一、单选题

.7n3ir

1.给出下列各函数值：①sinllOO。；②cos（-2500。）；③tan9；④吧反等.其中符号为负的有（）

---tan—

A.①B.②C.③D.④

2.sin(-1050°)=()

3.已知a=tan等，Z?=siny,c=cos(—子)，贝!J()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.a>c>b

4.已知角a的终边上有一点P(sin2,—cos2),则角a的值为()

A.—2+2/CTC(k.GZ)B.------F2+2/CTT(kGZ)

22

C.-2+2/CTC(k.GZ)D.IT-2+2/CTT(k.GZ)

二、填空题

5.tan3150+V2cos765°=

6.计算cos300°—sin(—330°)+tan675°=

7.若角a满足tana=2,则华警肾R=

sin(--al-cos(-n-a)

三、解答题

8.化简求值:

sin(2n-a)cos(3n+a)cosC+a)

⑴sin(-7i+a)sin(3ii-a)cos(-a-iT)'

,7n,.19n

tan—+sin^—

⑵/ii\~15n

C0S^__J_tan__

9.计算求值：

2525/25'

(l)sin5ir+sin—n+cosyir+tan(一］弘

(2)sin2120°+cosl800+tan45°-cos2(-330°)+sin(-210°)

10.化简求值.

/1MJ/Vl-2sinl90°cosl90"

，Bcosl70°+V1-COS21700

(2)已矢口:tana=-计算:2sin2a+3sinacosa—cos2a.

4

11.已知a角的始边与x轴非负半轴重合，P(-2,3)是a角终边上一点.

⑴求sina,tana的值;

tan(-ir4-a)

⑵若cos(n-a)求的值.

f(a)=sinQ-a)sin(n+a)cos(：+a)'f(a)

【过关检测卷】

一、单选题

1.240。是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.与sin("》一定相等的是()

A.sin(^—0)B.cos(0+C.sin(0+D.cos(n—0)

3.若ae(-1,0),则点(cosa,tana)在第()象限.

A.一B.二C.三D.四

4.若a是第一象限角，则下列结论一定成立的是()

A.sin->0B.cos->0

22

.aa„

Utan"。D.sin-cos-<0

22

5.化简-2sin4cos4的结果是（）

A.sin4+cos4B.sin4—cos4C.cos4—sin4D.—sin4—cos4

6.若扇形周长为10,当其面积最大时,其内切圆的半径〃为（）

n5sinl

AB•

-