三角形中的角平分线模型（原卷版）-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题05三角形中的角平分线模型

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【模型1】如图，已知OP平分ZAOB,过点P作,尸£，08；可根据角平分线性质证得NODP

会NOEP,从而可得ZOPD=ZOPE,OD=OE;PD=PE。

【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法

【辅助线作法一】

如图，己知0P平分/Z08,点C是0A上的一点，通常情况下，在0B上取一点D,使得OD=OC,连接

PD,结合OP=OP,NPOC=APOD,可证得AOPCgMOPD。从而可得PC=PD,ZPCO=ZPDO,

ZCPO=NDPOo

【辅助线作法二】

如图，已知0P平分NZ08,CP，0尸，通常情况下，延长CP交0B于点D,结合OP=OP,ZPOC=ZPOD,

ZOPC=ZOPD=90°,可证得bOPC2bOPD。从而可得PC=PD,NPCO=ZPDO,OC=OD。

A

c

DB

【辅助线作法三】

如图，已知OP平分NZ08,通常情况下，过点P作PC〃OB,根据平行线性质：两直线平行内错角相等;

结合=从而可得OC=尸C,ZCOP=ZCPO0

【例1】如图，。。为/NO8的角平分线，点P是。C上的一点，尸于。，PELOB于E,尸为0c上

另一点，连接。REF,则下列结论：®OD=OE；②DF=FE；③NDF0=NEF0；@SADFP^SAEFP,

正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例2】如图，已知。C平分/MON,点/、3分别在射线（W,0N上，且。/=。3.

求证：△NOCgA80C.

A

【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1,在△Z8C中，ND平

ABBD

分NBAC,贝nlI—=一下面是这个定理的部分证明过程:

ACCD

图1图2图3

证明：如图2,过C作CE,交A4的延长线于…

任务:

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)如图3,已知放△N5C中，AB=3,BC=4,ZABC=90°,AD平分/BAC,求2。的长.(请按照本题题

干的定理进行解决)

一、单选题

1.如图，A/3C中，AB=5BC=6,C/=10,点。，E分别在BC,CA±,DE//AB,F为DE中点、,

4F平分NB/C,则HD的长为()

8

c.一D.2

5

2.如图，平行四边形/BCD中，/N的平分线/£交CD于£,若45=5,BC=3,则EC的长为（）

A.1B.2C.2.5D.4

3.如图，OP平分ZMON,于点A,点0是射线。河上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.PA=PQB.PA<PQPA<PQ

4.如图，CD,CE,CF分别是A/3C的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）

A.AB=2BFB.ZACE=-ZACBC.AE=BED.CDVBE

2

5.如图，在△4SC中，ZC=90°,4D平分N3/C,DELABE,则下列结论：①AD平分NCDE；

®ZBAC=ZBDE；③DE平分NADB；®BE+AC=AB,其中正确的有（）

A.1个B.2个

6.如图，N3/C=30。，40平分N8/C,DFL4B交AB于F,DE_LDF交4c于E,若/E=8,则D尸等

于（)

B

二、填空题

7.如图，已知是△/BC的角平分线，DE〃4c交AB于点、E,请你添加一个条件,使四边形

4BD尸是菱形.

8.如图，在平行四边形48CZ）中，DE平分/ADC,4D=8,BE=3,则的长为.

BE

9.如图，在A4BC中，4cB的平分线交48于点。，DELAC于点,E.歹为3C上一点，若DF=AD,

SAACD-S&CDF=6,则的面积为.

10.如图，AB=BE,ZDBC=-Z.ABE,BD±AC,则下列结论正确的是:.（填序号）

①BC平分/DCE；②N/BE+NECD=180。；③AC=2BE+CE；®AC=2CD-CE.

E

B

11.如图，在△NBC中，BD平分/ABC交AC于点、D,DE//AB,交BC于点、E,BE=2,则DE的长是

A

12.如图，△/BC中，AD.BD、CO分别平分△/BC的外角内角/48C、外角/NCRAD//BC.以

下结论：①NABC=NACB；®ZADC+ZABD=90°；③BD平分/4DC；®2ZBDC=ZBAC.其中正确的结

论有.（填序号）

13.如图，AC=BC,Z1=Z2,求证：OD平分N/08.

14.如图，在A/BC中，4E平分/BAC,BELAE于点、E,延长BE交/C于点。，点下是3c的中点.若

AB=3,AC=5,求环的长.

A

15.已知：如图，在△/3C中，AB=AC,ZA=100°,3D是/A8C的平分线，BD=BE.求证:

（l）4CED是等腰三角形;

(2)BD+AD=BC.

16.如图，40为△/BC的角平分线.

图3

⑴如图1,若CE_L4。于点R交N3于点£,AB=S,AC=5.贝U8E=

（2）如图2,若NC=2/3,点£在48上，S.AE=AC,AB=a,AC=b,求CO的长；（用含0、6的式子表示）

（3）如图3,8GLN。，点G在的延长线上，连接CG,若4/06的面积是7,求A/BC的面积.

17.已知：如图1,在火以48c中，ZACB=90°,ZB=60°,AD,CE是角平分线，NO与CE相交于点尸，

FMLAB,FNLBC,垂足分别为M,N.

【思考说理】

(1)求证：FE=FD.

【反思提升】

（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“乙4c3=90。”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结

论（即尸£=ED）仍成立.你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出

证明.

B

B

18.如图，NM4N是一个钝角，平分/M4N,点C在射线/N上，S.AB=BC,BD±AC,垂足为D

⑴求证：NB4M=NBCA；

(2)动点P,。同时从/点出发，其中点。以每秒3个单位长度的速度沿射线/N方向匀速运动；动点尸以

每秒