浙江省两校2024-2025学年高三第一模拟考试数学试题（含解析）

浙江省两校2024-2025学年高三第一模拟考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等比数列{4}的前几项和为S”，且满足2s"=2""+4,则X的值是()

A.4B.2C.-2D.-4

2.复数Zj在复平面内对应的点为(2,3)0=-2+z；则五=()

Z2

18.18,18.18.

A.------\--iB.------------1C.-1+—zD.-1——I

555555

3.若复数z满足2z—Z=3+12i,其中i为虚数单位，N是z的共朝复数，则复数忖=()

A.3#>B.2A/5C.4D.5

4.设集合A={1,2,3},B=[^-2x+m=6\,若AcB={3},则3=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

5.点以在曲线G:y=31nx上，过以作x轴垂线/,设/与曲线y=,交于点N,OP^OM+ON,且P点的纵坐

x3

标始终为0,则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()

A.0B.1C.2D.3

x

6.已知函数/(%)=%—«(x>0),g(x)=x+e9=%+的零点分别为玉，/，W，则()

A.x1<x2<x3B.x2<xr<x3

C.x2<x3<xrD.x3<Xj<x2

7.设等差数列｛a“｝的前”项和为S“，若2+%=4+%,贝!J$7=()

A.28B.14C.7D.2

8.集合{2,0,1,9}的真子集的个数是()

A.13B.14C.15D.16

9.函数/(x)=sin@c(o>0)的图象向右平移二个单位得到函数y=g(x)的图象，并且函数g(x)在区间［工，工］上

1263

单调递增，在区间［］,(］上单调递减，则实数。的值为()

735

A.-B.-C.2D.-

424

10.已知a为锐角，且6sin2a=2sintz,则cos2戊等于()

2214

A.—B.-C.—D.----

3939

x+y>-l

1L若实数MV满足不等式组卜―2yV—1，则2x—3y+4的最大值为()

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

12.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递增，则()

066

A./(-3)</(-log313)</(2-)B./(-3)</(2°-)</(-log313)

66

C./(2°-)</(-log313)</(-3)D./(2°-)</(-3)</(-log313)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在长方体ABCD—4片£。］中，AD=DD［=1,AB=BE,F,G分别为的中点，点尸在

平面A5CZ>内，若直线2尸//平面E/G,则线段长度的最小值是.

14.已知函数/(x)=lnx+x2,则曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为

15.已知函数/(九)是定义在R上的奇函数，且周期为2,当时，/(x)=x+［,则〃a)的值为

21,〜

16.已知x>0,y>0,且一H—=1,则x+2y的最小值是

冗y

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知5=3,c=8,角4为锐角，AABC的面

积为6^3.

(1)求角A的大小；

(2)求。的值.

22

18.(12分)已知椭圆石：上+上=1,过Q(-4,0)的直线/与椭圆E相交于A,3两点，且与y轴相交于尸点.

62

—.3—.

(1)若求直线/的方程；

(2)设A关于x轴的对称点为C,证明：直线8C过x轴上的定点.

19.(12分)在AA8C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,V3sin(A+B)=4sin2.

(1)求cosC；

(2)若b=7,。是5c边上的点，且AAC。的面积为66,求sin/AOB.

20.(12分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(。，c)，(c>0)关于直线l:x-y-2=0的对称点为M,且|FM|=3&.

若点P为。的准线上的任意一点，过点尸作C的两条切线K4,PB,其中4B为切点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证：直线恒过定点，并求△243面积的最小值.

21.(12分)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为4(0,1)、8(0,-1),焦距为2百.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线了=根与椭圆C有两个不同的交点"、N,设。为直线AN上一点，且直线班)、的斜率的积

为-证明：点。在x轴上.

4

22.(10分)在平面直角坐标系X0V中，已知椭圆C的中心为坐标原点。焦点在x轴上，右顶点4(2,0)到右焦点的

距离与它到右准线的距离之比为工.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(-4,0),连接PM交椭圆C于另一点E.求证：直线NE过

定点8,并求出点3的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点3的直线交椭圆C于S,T两点，求丽•丽的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用先求出。“，然后计算出结果.

【详解】

4+2

根据题意，当〃=1时，2S]=2〃]=4+X,4=—-—,

故当〃22时，氏=S，—

・•・数列｛aJ是等比数列，

则q=1,故・~4=1,

解得4=—2,

故选C.

本题主要考查了等比数列前几项和S“的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.

2.B

【解析】

z.

求得复数Z1,结合复数除法运算，求得」的值.

Z2

【详解】

Zl_2+3i_(2+3/)(-2-0_(2+3/)(-2-0-l-8z18.

易知12+3,,则，=Wr(-2+')(一2一1—5—=『=一丁『

故选：B

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

3.D

【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.

【详解】

解：复数z=a+6i,“、6GR；

・23=3+12"

.,.2(a+bi)-(a-bi)—3+12z,

2a-a=3

即4,

2b+b=12

解得。=3,6=4,

•*.z=3+4/,

,,lzl=y)3~+42=5•

故选D

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

4.A

【解析】

根据交集的结果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，从而可求3.

【详解】

依题意可知3是集合3的元素，即32—2x3+〃z=0,解得机=—3,由V—2光—3=0,解得x=—l,3.

本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.

5.C

【解析】

设M«,31nt),则则成=+即可得ln/+J=0,设g⑺=+\利用导函数判断g(7)的零

\t)I33tj3t3t

点的个数，即为所求.

【详解】

设M«,31n/),则N、［，所以屈+—)

依题意可得ln/+'=0,

3t

设g⑺1，则g'⑺=；-5=

当0</<g时,g'«)<。，则g(t)单调递减；当/〉；吐g'Q)>。，则g«)单调递增,

所以g(f)mm=gm=l—ln3<0,且=-2+：〉0,g(l)=g〉0,

g(/)=In/+g=0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.

故选:C

本题考查利用导函数处理零点问题，考查向量的坐标运算，考查零点存在性定理的应用.

6.C

【解析】

转化函数/(%)=x-y/x(x>0),g(x)=x+eJ,/7(x)=x+lnx(x>0)的零点为丁=%与y=Vx(x>0),y=-ex,

y=—lnx(x>0)的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数/(x)=>0),g(x)=x+e',"(x)=x+lnx(x>0)的零点，即为y=x与>=&(x〉0),>=-/,,

y=—In尤(x>0)的交点，

作出V=%与y=«(X〉0),y=—e*,y=—lnx(x>0)的图象，

故选：C

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

7.B

【解析】

根据等差数列的性质4+。3=%+。5并结合已知可求出为，再利用等差数列性质可得§7=7"%)=7%,即可求

出结果.

【详解】

因为。6+%=。4+。5，所以2+%=。4+。5，所以。4=2,

所以S7=7(4；%)=7%=]4,

故选：B

本题主要考查等差数列的性质及前几项和公式，属于基础题.

8.C

【解析】

根据含有“个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子集，计算可得；

【详解】

解:集合｛2,0,1,9｝含有4个元素，则集合｛2,0,1,9｝的真子集有元—1=15(个)，

故选：C

考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有〃个元素的集合，有2〃个子集，有2"-4个真子

集，属于基础题.

9.C

【解析】

由函数/(x)=sina>x(o>>0)的图象向右平移个单位得到g(x)=sz力、■)]=sin(,函数g(x)在

jrITJrjr

区间上单调递增，在区间

_63J|_32_

上单调递减，可得x=0时，g(x)取得最大值，即—爸)=春+2丘，ZeZ,口>0,当k=0时，解得69=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减可得x=g时，g(x)取

得最大值，求解可得实数。的值.

10.C

【解析】

由Gsin2a=2sina可得cosa=~^~‘再利用cos2。=2cos2a—1计算即可.

【详解】

因为2A/^sinacosa=2sina，sinawO,所以cosa=

221

所以cos2o=2cosa-l=——1=——.

33

故选：C.

本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.

11.C

【解析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线/,平移该直线可得最优解.

【详解】

作出可行域，如图由射线AB，线段AC,射线CD围成的阴影部分(含边界)，作直线/:2尤-3y+4=0,平移直线

I,当/过点C(LD时，z=2x—3y+4取得最大值1.

故选：C.

本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形.

12.C

【解析】

06

根据题意，由函数的奇偶性可得/(—3)=〃3),/(-log313)=/(log313),Xi2-<2<log313<log327=3,

结合函数的单调性分析可得答案.

【详解】

根据题意，函数/(%)是定义在R上的偶函数，则/(—3)=/⑶，/(-log313)=/(log313),

有2°6<2<log313<log327=3,

又由/(%)在(0,+8)上单调递增，则有/(2°6)</(—log313)</(—3),故选C.

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.叵

2

【解析】

如图，连接2AAe证明平面AC。//平面EPG因为直线2尸//平面EFG,所以点尸在直线AC上.当

AC时.线段2P的长度最小，再求此时的2P得解.

【详解】

如图，连接2AAe，

因为E,F,G分别为AB,BC,G01的中点，

所以AC//EF,跖a平面AC。1，

则EE//平面ACA.因为EG//AD],

所以同理得EG//平面ACR,又EFCiEG=E.

所以平面ACDJ/平面EFG.

因为直线2尸//平面EFG,所以点尸在直线AC上.

在"3中，9="数=2,3="-；x&x

也

故当RPJ.AC时.线段DXP的长度最小，最小值为-2-=也.

1x22

2

故答案为：立

2

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14.3x-y-2=0

【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.

【详解】

因为/(X)=-+2%,

x

所以左=/g)=3,

又/'⑴=1,

故切线方程为y—1=3(尤—1),

整理为3%—y_2=0,

故答案为：3x-y-2=Q

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.

15.0

【解析】

x+—,0<^<1

3

由题意可得:/(%)=<0,x=0,周期为2,可得=可求出。=0,最后再求/(a)的值即可.

%--,-l<x<0

3

【详解】

解：•.•函数/(%)是定义在H上的奇函数,

x+—,0<%<1

3

〃x)=<0,大=0

x—,—1«尤<0

3

由周期为2,可知=二1+1=1—I，,。=0.

/(«)=/(o)=o.

故答案为：0.

本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.

16.8

【解析】

由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】

x+2y=(x+2y)—+—=2+—+—+2>4+2I---=8,

(x切yx\yx

x4y

当且仅当一=一时等号成立.

yx

故x+2y的最小值为8,

故答案为：8.

本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

兀

17.(1)-；(2)7.

3

【解析】

分析：(1)由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求

得a.

详解：⑴

VSMflC=^csinA=—x3x8xsinA=6^3,

•・•A为锐角,

(2)由余弦定理得:

=,9+64-2x3x8xg=7.

a=y/b2+c2-2bccosA

点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两

7,22_2

种形式：(1)a2^b2+c2-2bccosA；(2)cosA="^一土，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解

2bc

与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30°,45。,60°等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

18.(1)>=走了+走或y=—正X—正；(2)见解析

■82■82

【解析】

一3—.

(1)由已知条件利用点斜式设出直线/的方程，则可表示出点尸的坐标，再由=的关系表示出点A的坐标,

而点A在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率;

(2)设出A,3两点的坐标，则点C的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关

于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.

【详解】

(1)由条件可知直线/的斜率存在，则

可设直线/的方程为y=©%-4),则尸(0,4k),

__3__3

由PA=-AQ,有（xA,yA-4k）=~（-4-xA,-yA）,

128k

所以与

由一"’,二)在椭圆E上，则，解得左=±立，此时P0,+

在椭圆E内部，所以满足

+——=181

2、

直线/与椭圆相交,

故所求直线I方程为y=£x+?或yV2V2

----x------

82

(也可联立直线/与椭圆方程，由/〉0验证)

（2）设4（和％）,5（々，%）,则C（X|,-%）,

直线8C的方程为（%+为）%+（%-々）丁一（々%+石％）=。・

y=k（x+4）,.,,,

由〈，,得（1+3左2）12+2442%+48左2—6=0,

x2+3y2=6

22

由△=（24/）-4（1+3k）（48左2—6）〉0,

1

解得左29<j，

24k24842—6

X,1+X,=---------7，%1%2=--------7

-1+3421+342

当y=0时,

_xy+xy2_%2%(石+4)+%/(%2+4)_2kxx+4%(药+x)

x——211————r22

%+，2+%2+%2

k(x1+8)k(x1+8)

48左2—6-24k2

2k-+4k-

1+3公1+3公2(48左2—6)—96汰23

(-24左282

'11+342+8

/

「3、

故直线BC恒过定点一二,0.

I2)

此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题，计算过程较复杂，属于难题.

19.(1)-；(2)其羽.

713

【解析】

(1)根据诱导公式和二倍角公式，将己知等式化为角W关系式，求出tan©,再由二倍角余弦公式，即可求解;

22

(2)在△ACD中，根据面积公式求出。长，根据余弦定理求出AO，由正弦定理求出

sinZADC,即可求出结论.

【详解】

(1)5/3sin(A+B)=4sm2^-,2^sinyCOSy=4sin2y,

oC.C

厂厂cos-----sin2——in2mj_

「2C.C22

cosC=cos-----sin2—=-------3---------W

2J.2。l+t"7；

22cos——I-sin——

222

(2)在AACD中，由(1)得sinC=±正，

7

S,rn=-x7xCDx^=6A--.CD=3.

△Ac。27，

由余弦定理得

AD2=Z?2+CD2-2Z?-CD-COSC=49+9-2X7X3X-=52,

7

.•.AD=2而，在AACD中，

74#)

ADAC

sinCsinZADC

2、丽

sinZADB=sinZADC=——

13

本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.

20.(1)%2=4y(2)见解析，最小值为4

【解析】

(1)根据焦点产到直线/的距离列方程，求得c的值，由此求得抛物线的方程.

(2)设出A,B,P的坐标，利用导数求得切线PA,PB的方程，由此判断出直线恒过抛物线焦点F.求得三角形？

面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】

(1)依题意d-°一二2|=乎,解得c=l(负根舍去)

2

抛物线。的方程为必=4y

(2)设点A&，M),B(X2，%)，P"，T),由兀2=4、，

即y=得y

42

A抛物线C在点A处的切线PA的方程为y—%=5(x-玉)，

1X

•••乂•••'%：点尸CT)在切线上，

-1=?/-%①，同理，-1=^%②

综合①、②得，点的坐标都满足方程T=，-%

即直线A8：y=$+1恒过抛物线焦点F（O,1）

当f=0时，此时P（O,—1）,可知：PF±AB

2

当，。0,此时直线p尸直线的斜率为左"=-7,得PFLAB

于是刊4|AB|,而|。尸|=^«-0）2+（-1一1）2牧2+4

把直线y=；x+l代入犬=今中消去x得y2—Q+/）y+i=o

AB="]+%+2卜4+/，即：S=g（4+〃）J'4+1。=g（4+产）5

当方=0时，S/4B最小，且最小值为4

本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题,

考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.

21.（1）—+y2=1；（2）见解析.

4

【解析】

（1）由已知条件得出力、c的值，进而可得出a的值，由此可求得椭圆。的方程；

（2）设点”（而,m），可得N（—%,加），且求出直线物/的斜率，进而可求得直线3D与AN的

方程，将直线直线3。与AN的方程联立，求出点。的坐标，即可证得结论.

【详解】

b—\

故椭圆。的方程为三+>2=1；

4'

（2）设加（石,相），则N（-石,加），石。0,-l<m<l.

机一（―1）771+1

所以直线的斜率为一一二——，

石一0xx

因为直线、8M的斜率的积为-工，所以直线的斜率为一

44“（加“+1一）・

l-m.再1

直线AN的方程为y=——％+1,直线3。的方程为y=一%—1.

石4（m+nlJ

1-m1

>=丁'+1一苏+i

%]A1

联立《

,解得点D的纵坐标为yD=—：-----------

y=7^~—xi+-1

4（m+1）4

因为点M在椭圆。上，所以互+m2=1,则”,=0,所以点。在x轴上.

4

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

22__2

22.(1)亍+1_=1；⑵证明详见解析，8(—1,0)；⑶4

，4

【解析】

⑴根据题意列出关于口力,C的等式求解即可.

(2)先根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上，再设直线PM的方程为y