人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：§1 2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第2课时空间向量基本定理的初步应用学习目标1.会用基底法表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．知识点一证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？〖答案〗平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．知识点二求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？〖答案〗几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围．知识点三求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？〖答案〗几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．1．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(×)2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线．(×)3．已知两个向量eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的夹角为60°，则∠NMP＝60°.(×)4．如果eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，则四点O，P，M，N一定共面．(√)一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．求证：BF∥ED′.证明eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(ED′,\s\up6(→))＝eq\o(EA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(ED′,\s\up6(→))，∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求证：A，E，C1，F四点共面．证明因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，所以A，E，C1，F四点共面．二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．(1)证明：AE⊥BC；(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．(1)证明因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))·(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))2－eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))，又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，故AE⊥BC.(2)解eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))2－eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))2＝2，由eq\o(AE,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))2＝eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))2＋eq\o(DA,\s\up6(→))2＝6，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))))＝eq\r(6).所以cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AE,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DC,\s\up6(→)))))＝eq\f(2,\r(6)×2)＝eq\f(\r(6),6).故直线AE与DC的夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．解eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(DA,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(DA,\s\up6(→))＋\o(DD1,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(\r(5),2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up6(→))))＝eq\r(2)，所以cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(MN,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MN,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up6(→)))))＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2))＝eq\f(\r(10),10)，故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).三、求距离(长度)问题例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.〖答案〗26〖解析〗∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＝64＋36＋576＝676，∴CD＝26.反思感悟求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．跟踪训练3正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，点N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|等于()A.eq\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a〖答案〗A〖解析〗∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(4,9)|\o(AB,\s\up6(→))|2＋\f(1,36)|\o(AA1,\s\up6(→))|2＋\f(1,9)|\o(AD,\s\up6(→))|2)＝eq\f(\r(21),6)a.1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))〖答案〗BD〖解析〗根据“eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，若x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C共面”，因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(11,6)≠1，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，由上可知，BD满足要求．2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定〖答案〗B〖解析〗在△BCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＞0，∴B为锐角，同理，C，D均为锐角．3．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq\r(2)，则SC与AB所成角的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°〖答案〗B〖解析〗因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以eq\o(AS,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2eq\r(2).因此eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))cos45°＝2×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝4，所以eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AS,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，又SA＝2eq\r(2)，所以SC＝eq\r(SA2＋AC2)＝4，因此cos〈eq\o(SC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(SC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(SC,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2)，所以SC与AB所成