河南省许昌某中学2024-2025学年高二年级上册开学考试数学试卷

20242025学年高二上学期开学检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.若复数Z满足（2+3i）Z=i2024+8i2025,则复数力在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知正方体ABCD-A与GR的棱长为2,E,尸分别是棱AD,耳£上的动点，若正方体ABC。-的外接

球的球心是。1，三棱锥尸-的外接球的球心是。2，则的最大值是（）

A.V2B.—C.@D.逑

244

3.若(/+/=手,tantz=2,则一()

4cosya-p)~smasmp

A.1B.1C.2D.2

4.底面圆周长为2兀，母线长为4的圆锥内切球的体积为()

A而71B—C4岳兀D岳五

'5'25'25'25

5.已知函数〃力=诋。53（。*0,。＞0）,若将函数y=/（力的图象向左平移4个单位长度后得到函数＞=g（x）的

6。

图象，若关于X的方程g"）=0在0,—上有且仅有两个不相等的实根，则实数。的取值范围是（）

6.已知圆锥A。在正方体ABC。-A耳G2内，AB=2,且AC垂直于圆锥A。的底面，当该圆锥的底面积最大时,

圆锥的体积为（）

A.岛B.岳C.匝D.叵

22

7.在VABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,若tanB=-迅力=6忌，则=（）

ac

A.6B.4C.3D.2

8.三棱锥A—BCD满足5C+AC=SD+AT＞=4,二面角C—AB—O的大小为60。，CD1AB,AB=2®,CD=1,

则三棱锥A-BCD外接球的体积为（）

A70282801兀„287771

A.7兀B.——7iC.-----D.---

3273

二.多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部

分选对得3分，有选错的得0分。）

9.已知函数/（x）=tan（ox-"（o＞0）,则下列说法正确的是（）

A.若/（无）的最小正周期是2兀，则0=1

2

B.当/=1时，/（尤）的对称中心的坐标为（际+5，O,eZ）

C.当0=2时，/（-善）＜/（年）

D.若/（尤）在区间信,上单调递增，则0＜。＜|

10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示

的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生

成绩方差为12,成绩位于［90,100）内的同学成绩方差为10.则（）

A.67=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

11.如图所示，在直三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是等腰直角三角形，点。为侧棱B耳上

的动点，“为线段4旦中点.则下列说法正确的是（）

A.存在点。，使得平面

B.AWG周长的最小值为1+3+6

C.三棱锥G-ABC的外接球的体积为走兀

2

D.平面AOC与平面A3c的夹角正弦值的最小值为且

3

三.填空题（共3小题，每题5分，共15分。）

12.已知某圆锥的体积为3兀.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为

13.意大利画家达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这

就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为coshx=j二，相应的双

2

曲正弦函数的表达式为sinhx=^.设函数/（可=当二若实数机满足不等式“2根+3）+f（T/）＞o,则相

2coshx

的取值范围为.

14.在四棱锥尸-ABCD中，底面A8CD是平行四边形，E是棱研的中点，F在棱8C上，满足CF=2EB,G在棱

PB上,满足。，E,F,G四点共面，则器的值为.

四.解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

（14分）15.若函数“力和g（尤）的定义域相同，值域也相同，则称〃尤）和g（x）是"同域函数

⑴判断函数y=/-2x与＞=2'-1是否为“同域函数”，并说明理由;

⑵若函数〃x）=tanr卜e（-l,3）和8（%）=1080（-/+小+#3＞0,且"1）是"同域函数"，求。的值.

JT

（15分）16.如图，在直四棱柱A8CZ）-A4GA中，底面ABCD是边长为2虎的菱形，M=2,ZBAD=-,E,

产分别为AB,A4的中点.

⑵求四棱柱ABC。-44G2被平面CEF截得的截面周长;

（3）求直线DA与平面CEF所成角的正切值.

(14分)17.已知/'(x)=sin[x+(]cosx+]Sin[2x+(J--—.

⑴求了。)的单调递增区间；

⑵若g(x)=7以-工+/(x-£)-cosx,xe,求满足不等式g。)21的x的取值范围.

V267o44

（16分）18.某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷

调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照［50,60）,［60,70）,…，［90,100］分成5组，制成如

图所示频率分布直方图.

频率

而

0.035

0.030

0.010J..............-J-J.-J—

0.005—I

°506070809010°满意度评分值（分）

⑴求图中尤的值；

（2）求这组数据的中位数、平均数；

（3）已知满意度评分值在［80,90）内的男生数与女生数的比为3：2,若在满意度评分值为［80,90）的人中按照性别采用

分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.

（18分）19.《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两

堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵ABC-A4G中，ABYBC,BC=l,AB=0CQ=2,

P为棱AC的中点，。为棱aa的中点.

（1）证明：平面P2C"/平面AB©；

⑵求二面角。--4的正切值;

⑶求CG与平面PBC,所成角的正弦值.

数学答案

1.D【详解】因为(2+3山"2024+蜡您,

,024+82025

l+8i（l+8i）（2-3i）_

所以Z=----------=----------------------------=2+1

2+3i2+3i（2+3i）（2-3i）

所以三=2-i，所以复数)在复平面内对应的点为(2,T),位于第四象限.

2.C【详解】如下图所示:

设8c的中点为G,AR的中点为8，AEBC的外接圆圆心为M，AEBC的外接圆圆心为N,

易得MG_L3C,NG1BC,

过〃，N分别作平面BCG耳，平面ABC。的垂线，交点即为。2,

又。1为G8的中点，所以当MG和NG最小时，。。2取得最大值.

设MG=d,B[F=a,由MC=MF,可得屋+F=（2—1）?+（1-41,

1r3

整理得d=Z(Q-故当a=l,

3

即尸为与G的中点时，MG取得最小值;，

4

3

同理可得NG的最小值也是丁，

4

此时O1,o2,G三点共线，002=OQ-O2G=忘一乎=乎.

3兀

(2\tantana

3.B【详解】由题意得tan4=tan=—与------=3,

14/3兀

'7l+tan——tan。

4

则sin(a-/)sinacos/3—cosasin/3sinacos[3—cosasm/3tan,1

、cos(i-£)-sinasin尸cosacos分+sinasin4一sinasin/cosacos尸

4.C【详解】由题意可知，圆锥的母线/=4,底面半径〃=1,

根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：

A

根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆。，即为等腰VABC的内切圆，

即OE_LAC,ADJ.BC,OD=OE,CD=CE,

在RtAAZJC中，AD2+CD2=AC2,由AC=/=4,CD=r=l,贝！=

在RtZXAOE中，AE2+OE2=AO2,BP(AC-C£)2+OE1=(AD-OD^,

=(715-OE)2,解得0E=半，即内切球的半径氏=半

可得(4-1)2+OE2

34715

故内切球体积为小手

=-------71.

25

5.B【详解】将函数〃x)=acosg("0,o>0)向左平移三个单位长度后得到函数尸8⑴,

即g(x)=

LI6Ml6J

兀兀7兀71

Vxe0X+一£―,——co+—

吟66126

•••g(x)=O在0,—上有且仅有两个不相等的实根,

7兀713兀5兀

——。+一£解得了W(y<4,

126

即实数。的取值范围是—A

6.C【详解】如图所示，取48,42。2,£>6，£稣48的中点，分别记为M,N,E,F,P,G,

连接BQ,E尸,FP,PG,GM,MN,NE.

根据正方体的性质易知六边形MVEEPG为正六边形,

此时AC的中点。为该正六边形的中心，且AC，平面MNEFPG,

当圆锥底面内切于正六边形肱VEEPG时，该圆锥的底面积最大.

设此时圆锥的底面圆半径为r,因为4A=6万=2应，所以FP=gBQi=&,

所以r=1~FP=4~,圆锥的底面积S=+=gE,圆锥的高AO=；x/X2=5

所以圆锥的体积丫=工5・40=」义型、代=立兀.

3”322

7.B【详解】因为6=屈，所以〃=3ac，而"广=式±2«£±《=+2,

acacac

2兀i

在VABC中，tanB=—5/3,所以5=：-,故cosB=—

32

由余弦定理得cos八*LJ

代入6?=3ac得，

〃2+C2—3dCa2+/3__£故4=2,

2aclac2--2ac

it"+2cle+。2Cl2+<72,,--丁五

故-----------=------+2=2+2=4,故B正确.

acac

8.C【详解】AC=m,AD=n,则BC=4—m,B£)=4—〃，

因为①.而=（而•通=赤.旗-蔗.南

=|A5|-|AB|COSZBAD-|AC|.网COS/BAC

I2

|AC|2+|AB|2-|BC|2

AC-AB

住H码叫曙谭2|AC|-|AB|

_|AD|2+|BC|2-|BD|2-|AC|2

一2，

所以而.江小叫…一。解得:m=n,

即AC=AD,BC=BD,可知VABC41ABD,

过C作CE/AS,连接DE,则

可知CE=Z)E,且二面角C-Afi-D的平面角为NCED=60。,

则ACDE为等边三角形,即CE=DE=1,

设AE=x,HAC2-AE~=BC2-BE2,

可知点E与点A重合或与点8重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合，

则AC_LAB,ADJ,AB,由ACp|AD=A,AC,A。u平面AC。，则AB_L平面ACD,

且NGLD为二面C-AB-O的平面角，可知AC4D为等边三角形，

可将三棱锥B-C4D补充直棱柱，如图所示，

B

公、。1为底面正△ACD的外心，即AOX=%l=g,

A

7a

。为A—3CD的外接球球心，可知OQ//AB,且。。|=g43=0,

则三棱锥A-BCD的外接球半径R=+=g,

所以外接球的体积丫=3就3=竺叵.

327

9.AD

JT1

【详解】解:对于A选项,当了(X)的最小正周期是2兀，即：7=2=2万，则0=二，故A选项正确；

co2

“x)=tan(x—),所以令=解得：x=g+”，丘Z,所以函数的对称

对于B选项，当69=1时,

v76262

中心的坐标为符等,0)伏£Z),故B选项错误;

对于C选项，当0=2时，/(X)=tan(2x-",/^―=tan|^2x^-=tan^-yj=,

了修卜tan(2哼*)=tan嗡=tan'黑，由于y=tanx在单调递增，故/卜图＞/(第，故c选项错误;

对于D选项，令一三+k兀＜SX-j＜1+k兀,kwZ,解得：一二+且＜》＜?+且所以函数的单调递增区间为：

2623a)co3a)co

71kjl,71

----+——<—

nkn27rkn3co①3

一+——,一+一,keZ,因为/(%)在区间年兀上单调递增，所以,keZ,解得:

?ia)co?)a)o2万kjr、

——+——>71

、3。CD

2__jrTT27r3235

—1+3k<a)<—l•左，左eZ,另一"方面，T=—2万=—,,所以—F,即左4—,又因为<w>0,所以4=0,

3。332326

2

故故D选项正确.

10.BCD

【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

贝i](2a+3a+7a+6a+2a)xl0=200a=l,解得a=0.005,故A错误;

B项,前两个矩形的面积之和为(2a+3a)x10=50。=0.25＜0.5

前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)*10=120a=0.6＞0.5.

设该年级学生成绩的中位数为机，则机470,80),

根据中位数的定义可得。25+(〃L70)x0.035=0.5,解得相。77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,故B正确；

C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

6"X85+「“x95=87.5分,故C正确；

6a+2a6Q+2a

D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

；［12+(87.5-85)1+；［10+(87.5-95)1=30.25,故D正确.

11.ACD

【详解】A：由题意知，BC±BBt,BC1AB,又8旦。回=氏8环ABu平面A41A2,

所以8C_L平面人^耳台，由A£>u平面,得BCJ_AO；

当。为Bg的中点时，又四边形胡耳台为正方形，”为4周的中点，

所以BM_LAD,由=8Cu平面BCM,所以AD_L平面BCK,故A正确;

B：将平面9瓦台和平面B瓦GC沿B片铺成一个平面，如图，连接AG，交2月于。，

此时A、》、G三点共线，AO+CQ取得最小值，即△AG。的周长取得最小值，

又AG=5/万+/=y/3,AD+C,D>7AC2+C,C2=^5,

所以△AG。的周长的最小值为g+君，故B错误；

C：易知VABC中，AB±BC,取AC的中点E,过E作成，平面ABC,如图

则三棱锥G-A%的外接球的球心必在EF上,且OE==；,

所以球的半径为R=JOE?+CE=B,其体积为q兀&=a7tx(@)3=@兀，故C正确；

23322

D：易知24,BA,8c两两垂直，建立如图空间直角坐标系2-孙z,

则A(l,0,0),4(0,0,1),q(0,1,1),设D(0,0,a)(0<a<l),

所以西=(-1,1.1),而=(-1,0,0),而=(0.0,1),

易知函=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，设平面GAO的一个法向量为n=(x,y,z),

n-AC=—x+y+z=0一

则J___,，令z=l,得九=〃,y=a-l,所以元=(。,々一1,1),

n-AD=—x+az=0

।__.।\BBX-nli

—14近

所以小网小阿rv+g）』8xJ|3

当且仅当a=J时等号成立，设平面GA。与平面ABC所成角为6,

贝hosOW手，所以sin叫「(壬=*,故D正确.

设圆锥的底面半径为「，母线长为/,高为近

因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的扇形弧长为兀/=2"，则/=2r,

从而h=J/2—/=,则圆锥的体积V=gnr%=^^兀厂3=3兀，解得厂=J^.

作出圆锥的轴截面，如图所示，其中圆锥内切球的球心为。，半径为尺内.

贝IJS.PAB=)x2rx"==；(2/+2r)x4=3为，解得4=1，

44

则该圆锥的内切球的体积为］几用=-K.

13.(-1,3)

【详解】由题意可知，的定义域为R,

e+e

因为/(-司=£二=-/(力，所以〃尤)为奇函数.

e+e

xx_i7/、2

因为〃X)P=_"p-=M=1一后’且g(x)=H7在R上为减函数，

所以由复合函数的单调性可知/(切=1-苫W在R上为增函数.

又〃2租+3)+/(-＞)＞0,所以〃2根+3)＞外/),

所以＞-2加-3＜0,解得-1＜相＜3.

14.-/0.75

4

如图，延长。F,交A3的延长线于点。，连接E。，EQ与的交点即为G

理由如下：设。，E,尸共面。，因ABcDR=Q,则QeaQe平面上4B,

又因afl平面PAB=EG,故及G,Q三点共线，即EQcPB=G.

取AB的中点连接因CF=2FB,由AFBQSAFC。可得80=gc。，

因=gAB=gCD,则8M=8。,又E是棱出的中点，则EM〃依，则得EG=GQ,

111Q

故有8G=—EM,又EM=—PB,所以BG=一尸8,故上=3.

224PB4

15.⑴不是，理由见解析；(2)a=1.

4

【详解】(1)函数y=*2—2x与y=2*-l不是"同域函数”，理由如下：

函数y=/—2%与y=2r-l的定义域均为R,

由y=x2-2x=(x-l)2-l>-l,可知y=x2-2x的值域为［-1,+℃),

由y=2'-1>一1,可知y=2'-1的值域为(T,+功,

则y-x2-2x与y=2x-l的值域不相同,

所以函数y=/—2x与y=2「l不是洞域函数”.

(2)由xe(T,3),得⑶e［0,3),：闵-：，鼻，

因为函数》=121比在上单调递增，所以/(x)=tan(割［-1,+e),

得g(x)的值域为

由题意得一f+,71T+〃>0的解集为(-1,3),

则-1,3是关于x的方程一f+rwc+n=o的两个解，

得一1x3二一/得〃二3，所以g(x)=l°g，，(-x2+2x+3),(a>0,且

易得0<-Y+2x+3=-（*-1）2+444,

当。>1时，函数"10g0％是增函数，则g（尤）=log“（-/+2x+3）的值域为（-e,log.4],不符合题意.

当0<a<l时，函数y=log。%是减函数，贝!）8（彳）=1。8。（-*2+2》+3）的值域为口（峪114,+8）,

所以log“4=-l,得a=；

16.⑴证明见解析（2）3+30+排⑶叵

7

7T

【详解】（1）因为四边形ABCD是菱形，ZBAD=-,E为A3的中点，所以DE上AB,

在直四棱柱A8CZ）-44GA中，平面AB4A~L平面ABCZ）,

因为平面48与API平面ABCE>=AB,DEu平面ABCD,所以DE_L平面"片片，

因为u平面ABB^,所以DELBE，

因为四边形ABAA是矩形，AB=20，M=2,E,尸分别为A3,用的中点,

所以tan/AEF=tanZEB.B=等，所以/AEF=ZEBtB,

TTTT

因为NEB[B+NB]EB=万,所以NAE尸+/耳65=不，

所以/呻所以瓦E,

因为OEr|£F=E,且DE,E/u平面£>E尸，所以耳石，平面。跖.

（2）因为斯//平面CDRG，

所以平面CEF与平面CDD&的交线与跖平行，所以交线为CD、,

连接CR,DtF,CE,

则四棱柱ABCD-44c2被平面CEF截得的截面为四边形EFD\C,

CD\=Jcr>2+£>D；=优+4=2右,EF=^CD[=73,

DtF={ADj+AF?=屈T=3,

因为DESAB,所以DE=〃02_通=巫,

因为DE/CD,所以CE=Jdf+DE?=拒，

所以四边形屏AC的周长为3+3石+&W.

(3)过点。作OG^CE,垂足为G,连接RG,

因为。A_L平面ABC£>,CEu平面ABC£>,所以DR_LCE,

因为。GnDR=。，所以CEL平面。RG,

因为CEu平面CEF,所以平面。RG_L平面CEF,

所以点。在平面CEF上的射影必在2G上，所以直线。Q与平面CEF所成角为NDRG,

因为DEJ.CD,DE=&,CD=20,C£=A/14，

DECDA/6X2A/22742

所以OG=

所以tan/D〃G=—,即直线DD,与平面CEF所成角的正切值为叵.

DD177

5JLTTTT

17.(1)~—7i+kTi,—+k7t,keZ⑵臣刍

1212J42

fl^ifl也、乖)

【详解】(1)f(x)=cosx—sinx+-^—cosx+——sin2x+-^—cos2x------

\2272\22J4

1._A/31+cos2x1,_6_A/3

=­sin2xH-----x-------------1—sin2xH-----cos2x-------

422444

=—sin2xH-----cos2x=sin2x+—,

22I3)

717rjr)jrjr

令2kn—<2x+—<2fal+—,kGZ,角星得ku-----<x<kn-\-----,keZ

2321212

57T

所以单调递增区间为-丘•兀+左兀,在'+E,keZ.

(2)由(1)可得g(%)=sinx-cosx+sin2x,

令，=sin%—cosx=及sin(%一；),贝!=1-sin2龙，所以sin2x=l—/

4

所以不等式为-产+/+1N1,得04/<1,SP0<sin(x--)<—

42

由吗，解得£<彳4,所以解集为止止］.

L44J4242

18.(l)x=0.020；(2)中位数半平均数77(3)奈

【详解】(1)依题意，得(0.005+x+0.035+0.030+0.01)x10=1,解得x=0.020；

(2)因为(0.005+0.02)x10=0.25<0.5,0.25+0.035x10=0.6>0.5,

所以中位数在［70,80)间，

设为加，贝10.25+0—70)x0.035=0.5,解得小=5早40.

7

平均数55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77.

(3)依题意，因为满意度评分值在［80,90)的男生数与女生数的比为3：2,

按