湖南省衡阳市衡阳县四中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(创新实验班)_第1页
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文档简介

衡阳县四中2024年下期期中考试高二数学试卷(创新实验班)满分150分,时量120分钟,命题人刘孝军一、选择题1.已知向量,,且,那么实数等于()A.3 B.-3 C.9 D.-92.已知方程表示圆的方程,则c的取值范围为()A. B. C. D.3.已知数列满足,则,则()A.3 B. C. D.4.如图,在斜棱柱中,与的交点为点M,,,,则()A. B. C. D.5.已知直线过定点P,则点P到直线距离的最大值是()A.1 B.2 C. D.6.已知双曲线的离心率是2,则其渐近线方程为()A. B. C. D.已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,若关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.如图,在正方体中,,,则下列结论中正确的是()A.平面 B.平面平面C.平面D.平面内存在与EF平行的直线二、多项选择题9.已知直线,下列说法正确的是()A.若,则直线l的倾斜角为B.若直线l的在两坐标轴的截距相等,则C.直线l与直线垂直,则D.若直线l不过第二象限,则10.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题中正确的是()A.两条异面直线和所成的角为B.直线与平面所成的角等于C.点C到面的距离为D.四面体的体积是11.某学习小组用函数图象:,和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”,过焦点F的直线l交(包含边界点)于A,B两点,P是或上的动点,下列说法正确的是()A.抛物线的方程为B.的最小值为4C.的最大值为D.若P在上,则的最小值为三、填空题12.已知双曲线的标准方程为,则该双曲线的焦距是_________.13.已知的顶点,,且周长为16,求顶点C的轨迹方程________.14.在正三棱锥中,O是的中心,,则__________.四、解答题15.已知数列的前n项和为,且满足,.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式.16.如图所示,在四棱锥中,侧面是等边三角形,且平面平面.E为的中点,,,,.(1)求证:平面;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.17.已知双曲线C的焦点在坐标轴上,且过点,其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.18.已知四棱锥中,四边形ABCD为等腰梯形,,,,,为等边三角形.(1)求证:平面平面ABCD;(2)是否存在一点F,满足,使直线AF与平面BDE所成的角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.19.已知椭圆的离心率为,右顶点Q与C的上,下顶点所围成的三角形面积为.(1)求C的方程.(2)不过点Q的动直线l与C交于A,B两点,直线QA与QB的斜率之积恒为.(i)证明:直线l过定点;(ii)求面积的最大值.

参考答案1.答案:D2.答案:A3.答案:C4.答案:B解析:由题意,.5.答案:D解析:由题意知,直线恒过定点,直线恒过定点,如图所示,过作的垂线段PH,垂足为H,那么必有,当且仅当Q与H重合时取等号,从而PH的最大值为,即点P到直线距离的最大值是.6.答案:A解析:依题意,,所以渐近线方程为,即.7.答案:B解析:设关于平分线的对称点为M,则P,,M三点共线,设,则,又,所以为等边三角形,所以,又,所以,,在中,由余弦定理可得:,即,所以,所以.8.答案:C解析:因为为正方体,设正方体边长为2,以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的法向量为,则,,令,则,同理解得平面的法向量,,,故A不正确;,故B不正确;,,,,,所以,,又,所以平面,C正确;平面的一个法向量为,,故D不正确;9.答案:AC解析:对于选项A,当时,直线l可化为,故直线的斜率为-1,所以倾斜角为,故选项A正确;对于选项B,由题意,令,得,令,得,若截距相等,则有,解得或,故选项B错误;对于选项C,由直线垂直的充要条件得,解得,故选项C正确;对于选项D,直线l可化为,因为l不过第二象限,所以,解得,所以,故选项D错误.10.答案:BCD解析:建立如图所示空间直角坐标系,对A:、、、,则、,故,故,即异面直线和所成的角为,故A错误;对B:,由z轴平面,故平面法向量可为,则,故直线与平面所成的角为,故B正确;对C:,,,设平面的法向量为,则有,令,则,故,故C正确;对D:易得四面体为正四面体,则,故D正确.11.答案:ACD解析:可变形为,表示以为圆心,2为半径的圆的上半部分;可变形为,表示以为圆心,2为半径的圆的上半部分.对于A选项,抛物线过点,解得,,故A选项正确;对于B选项,抛物线的准线为,过点B作,垂足为,则,则,故B选项不正确;对于C选项,不妨设,显然离l最远的点在上,且,联立,消去y整理得,,则,,则,由对称性只考虑情况,B在E点时,,所以,所以,设,易得在上单调递增,所以的最大值为,故C选项正确;对于D选项,设AB的中点为M,联立,消去y整理得,则,,,,,所以,,,最小,即最大,也即最小,又AB的中点M位于圆心的左侧,故当P在位置时,最小,最小,所以,故D选项正确.12.答案:213.答案:14.答案:16解析:如图,首先:,又所以.15.解析:(1)当时,由,得,所以.又,故数列是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1),可得,所以.当时,.当时,,显然不符合上式.故16.解析:(1)取的中点F,连接,,因为E,F分别为,的中点,所以,,因为,,所以,又因为,所以,,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面;(2)取的中点O,连接,,因为是等边三角形,所以,又因为平面平面,平面平面,面PAD,所以平面.因为,,所以四边形为平行四边形,所以,因为,所以.以O为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,即,取,则.同理可得平面的法向量为.设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.17.解析:(1)双曲线C的标准方程为.(2)假设存在被点平分的弦,记弦所在的直线为l.设是弦的中点,设,,则.因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,即两式相减得,所以,所以直线l的斜率,所以直线l的方程为,即.联立直线l与双曲线方程得消去y,得,显然,所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在,故不存在被点平分的弦.18.解析:(1)等腰梯形ABCD中,,,得到,.由,得到,且,因此平面ADE,又因为平面ABCD,故平面平面ABCD(2)方法一:由(1)知面ADE,得到面面ADE.作于H点,有面BDE.即为直线AF与面BDE所成角,在直角三角形AHF中,由和,得到,由,得,又,所以存在.方法二:以点D为坐标原点,DA为x轴,DB为y轴,建立如图所示空间直角坐标系.其中,,,得到,,设平面BDE的法向量为由,得,不妨设,则取又,则,(舍去)或所以,19.解析:(1)令椭圆的半焦距为c,由离心率为,得,

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