531函数的单调性（精讲）-2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性）

5.3.1函数的单调性（精讲）1．函数的单调性与导数的关系函数在区间内可导，(1)若，则在区间内是单调递增函数；(2)若，则在区间内是单调递减函数；(3)若恒有，则在区间内是常数函数．注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则2.求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求导数（3）解不等式，（4）结合定义域下结论。3．已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数在区间D上单调递增，则在区间D上恒成立；(2)已知可导函数在区间D上单调递减，则在区间D上恒成立；(3)已知可导函数在区间D上存在增区间，则在区间D上有解；(4)已知可导函数在区间D上存在减区间，则在区间D上有解．考点一：求函数的单调区间（不含参）1．已知函数，则（）A．在上是增函数B．在和上是增函数C．在和上是减函数D．在上是增函数，在上是减函数【答案】B【详解】依题意，由得的定义域为，又，即在和上都单调递增，所以在和上是增函数.故选：B2．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】的定义域为，，所以在区间上递减.故选：C3．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，，所以在区间上，函数单调递增.故选：D4．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，定义域为，则，令，则，故选：B5．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：函数的定义域为，由，得，令，得，，解得或（舍去），所以函数的单调递增区间为，故选：C考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，，在上递增，，所以.所以的取值范围是.故选：B2．若函数是R上的单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】若函数是上的单调函数，只需或恒成立，显然，不可能恒成立，即只有恒成立，所以，∴.故选：C.3．函数是R上的单调增函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，由于，所以.故选：D4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由已知得，即,对于上恒成立，∴，故选：D.5．若函数的单调递减区间为，则（）A．－12 B．－10 C．8 D．10【答案】A【详解】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.故选：A．6．已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立，设，，函数在区间上单调递减，函数的值域是，所以或.故选：C考点三：存在单调区间问题1．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得，，因为函数在区间内存在单调递增区间，所以存在使得成立，即.故选:C2．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵函数在区间上存在单调增区间，∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，，设，则或，即或，得或，则；故选：A．3．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.故选：B.4．函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，由题意可知，存在，使得，即存在，使得，二次函数，当且仅当时，等号成立，则.故选：B.考点四：不单调问题1．函数在上不单调，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】求导可得，由，可得，所以的最小值为，若要函数在上不单调，则，解得，故选：A2．若函数在上的非单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】若函数是上非单调函数，又，则，.故选：B.3．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，在内不是单调函数，故在存在变号零点，即在存在零点，∴.故选：A.4．函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】，如果函数在区间[1，2]上单调，那么a1≥0或，即，解得a≥1或a≤3，所以当函数在区间[1，2]上不单调时，.故选：B5．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：B．6．若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（）A．或 B． C． D．【答案】A【详解】可得，在其定义域上不单调等价于方程有两个解，，解得或.故选：A.考点五：求函数的单调区间（含参）1．已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析.【详解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，＝－a，当a≤0时，>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，则当x∈时，>0；当x∈时，<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.2．已知函数.讨论的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】（1）且，∴当时，，递增；当时：若时，，递减；当时，，递增；∴时，在上递增；时，在上递减，在上递增；3．已知函数（为常数）,讨论函数的单调性；【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.【详解】（1）函数定义域是，，时，恒成立，在上是增函数；时，时，，递减，时，，递增．4．已知函数，.求的单调区间；【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】解：（1）（），①当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③当时，恒成立，所以在上单调递增；④当时，当或时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.5．已知函数，，讨论的单调性；【答案】当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．【详解】，，①当时，恒成立，在上单调递增，②当时，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．6．已知函数．若，求的单调区间．【答案】答案不唯一，具体见解析．【详解】解：，①当时，当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增．②当时，在恒成立，所以在上单调递增；③当时，当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增，综上所述，①当时，单调递增区间为，．单调递减区间为；②当时，单调增区间为，无减区间；③当时，单调递增区间为，，单调递减区间为．7．已知函数，其中，若函数，讨论的单调性．【答案】见解析【详解】，则，①当时，在上恒成立，在上单调递减；②当时，，令，即，解得；令，即，解得，在上单调递减，在上单调递增；③当时，，令，即，解得；令，即，解得，在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．8．已知函数，讨论的单调性；【答案】分类讨论，答案见解析【详解】，记，当时，，，所以在上单调递增；当时，，令，所以且，当时，，单调递增，当时，，单调