2025年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（新高考）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第04练基本不等式及其应用（精练）

明课标要求知练题方向

1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用.

真题风向标

一、单选题

1.（2022•全国・高考真题）已知9"=10,。=10"-11涉=8加-9,则（）

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

二、多选题

2.（2022・全国•高考真题）若x,y满足炉+/-孙=晨则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x*1234+y2<2D.x2+y2>l

三、填空题

3.（2023・天津・高考真题）在“IBC中，BC=l,ZA=600,而砺，屈=；而，记衣=色/=5,用扇石

表示须=;若BF=gBC,则荏.正的最大值为.

四、解答题

4.（2022•全国•高考真题）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2,

1+sinA1+cos25

⑴若c=手，求应

（2）求匚乏的最小值.

【A级基础巩固练】

一、单选题

2

1.（23-24高二下•福建三明•阶段练习）若%>0,则y=2x+—的最小值是（）

x

A.2A/2B.72C.4D.2

2.（2024高二下.湖南株洲•学业考试）已知0v元<4,则Jx（6-x）的最大值为（）

A.1B.1C.73D.3

3.（23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习）已知0<x<2,则3x（2-尤）的最大值是（）

A.-3B.3C.1D.6

4.（23-24高一下•河南周口•阶段练习）己知正数满足必=1,则T=（a+l）2+（6+l）2的最小值为（）

A.4B.6C.8D.16

5.（2023•湖南岳阳•模拟预测）若。且。+桢=1,若的最大值为:，则正常数根=（）

8

A.1B.2C.3D.4

6.（23-24高一下•云南丽江•开学考试）己知a,b为正数，4a+b=l,则;+；的最小值为（）

4ab

A.1B.2C.4D.8

7.⑵-24高一下•福建南平•期中）已知2*-3=。，则击+《的最小值为（）

33

A.2B.1C.-D.一

24

8.（23-24高一下糊南衡阳•阶段练习）已知向量〃=（八疗+1）,5=（n,12）,若向量Z,方共线且相>0,则

"的最大值为（）

A.6B.4C.8D.3

9.（23-24高一下•浙江•期中）已知实数。，b,满足3融+1=。则一!一+6的取值范围是（）

3（7+1

A.(^x),0)u(4,+oo)B.(4,+co)C.(-oo,0]U[4,+oo)D.[4,+oo)

10.(2024•辽宁葫芦岛•一模)已知a>0,b>0,a+b=2,贝U()

A.0<a<lB.0<ab<lC.a2+b2>2D.l<b<2

11.（2024・山东枣庄・一模）己知。>0力>0,贝『2+6>2”是“/+62>2，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

12.（23-24高一下•辽宁抚顺•阶段练习）已知匕均为正实数，a-/?+4<0,则空?的最小值为（）

a+b

二、多选题

13.（2024高三・全国・专题练习）已知史1,则下列函数的最小值为2的有（)

2x

A.y=l+2

C.y=3x—

x

14.（23-24高三上•云南楚雄・期末）已知正数m人满足a+5b=而，则（）

A151

A.—\--=1B.q与人可能相等

ab

C.y[ab>6D.〃+/?的最小值为6+2石

15.（23-24高二下•浙江•期中）已知正数〃力满足1）=1,则下列选项正确的是（）

A.-+-=1B.-+2b75

abb

C.a+b>4D.a2+b2<8

三、填空题

Q

16.（23-24高一上.北京•期中）已知y=2x+-（x>3）,则当x=时，y取最小值为.

17.（2024•上海徐汇・二模）若正数a、b满足；=则2a+6的最小值为____.

ab

18.（2024・河南商丘•模拟预测）若正数a,6满足026=/+/，贝匹的最小值是.

19.（23-24高二下•云南•阶段练习）设根>0,”>0,若直线/：，研+]>=2过曲线>=。1+1（。>0,且。中1）

的定点，则,+工的最小值为.

mn

20.（23-24高一上.广西百色.期末）若x>l,则『-x+16的最小值为________.

X—1

21.（2023•湖南岳阳•模拟预测）如图，某人沿围墙8修建一个直角梯形花坛ABCD,设直角边AD=x米,

BC=2x米，若AD+AB+3C=12米，问当尤=米时，直角梯形花坛ABCD的面积最大.

c

。厂2x米

卜米

AB

21

22.（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）已知则:一+—的最小值为

四、解答题

23.（23-24高二下.全国.期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔

热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能

源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度X（单位；cm）满足关系：C（x）=W（lV尤V10）,设为

x+2

隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和.

⑴求的表达式;

（2）隔热层修建多厚时，总费用了（X）达到最小，并求最小值.

24.(23-24高一上.陕西渭南.阶段练习)已知a>0,b>0,c>0,求证:

一、b+ca+ca+b/

(1)——+——+------26；

abc

(2)"W+(?)+6(。2+c2)+c(/+b2^>6abc.

25.（23-24高一上.浙江.期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运

动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x（单位：千只）手表，需

2x2+80x+20,0<无<50

另投入可变成本R（x）万元，且我（另=6400，由市场调研知，每部手机售价02万元,

201尤H----------5200,x>50

且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）

（1）求2024年的利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：千只）的函数关系式.

（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

26.（23-24高一上.黑龙江哈尔滨•阶段练习）完成下列不等式的证明:

（1）对任意的正实数〃，b,c,证明：Q+b+cZ++

（2）设。，b,c为正实数，且a+b+c=l,证明：ab+ac+bc<^.

【B级能力提升练】

一、单选题

2

1.（23-24高一下•辽宁葫芦岛•开学考试）已知尤>0,y>0,且4x+y=l,则上上日的最小值为（）

xy

A.5B.40C.4D.2A/2

2.（2023•河南信阳•模拟预测）若-5c<-1,则函数/（司=尤2；二;2有（）

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-I

3.（23-24高三下•浙江•阶段练习）已知实数x,y满足x>3,且孙+2x-3y=12,则x+y的最小值为（）

A.1+2瓜B.8C.6夜D.1+2出

4.（2024•辽宁・一模）已知加>2〃>0,贝|-----+—的最小值为（）

m—2nn

A.3+20B.3-272C.2+30D.372-2

5.（2024•全国•模拟预测）已知。=lg2,6=lg5,则下列不等式中不感至的是（）

A.0<ab<1B.2a~b>—C.y/a+\[b>\/2D.-i—>4

2ab

6.(2024.辽宁大连.一模)若〃x)=ln产二("?>0,〃>0)奇函数，则丁二+1的最小值为(

).

\-n-x4m+ln

69

A.-B.-C.4D.5

55

7.（23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约176cm,

横约95cm,挂在墙上最低点B离地面194cm，小兰身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm）.为使观测视角6

最大，小兰离墙距离S应为（）

A

A.40V2cmB.94cmC.446cmD.76cm

8.（2024・全国•模拟预测）已知x>0,、>。且…则占+号的最小值为C

9.（23-24高二下•江苏苏州•阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一

个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中A5CD区域是

休闲健身区，以8为底边的等腰三角形区域PCD是儿童活动区，P,C,。三点在圆弧上，中点恰好在

圆心。，则当健身广场的面积最大时，。8的长度为（）

C.100亚米D.100百米

二、多选题

10.(2023・浙江绍兴•二模)已知a>0,b>G,a+b=ab,贝！I()

A.且6>1B.ab>4

61

D+>1

C.a+4b<9---1

。

14

11.（2024•全国•模拟预测）已知a>0,力>0且—十7=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.仍有最小值4B.a+b有最小值］

C.2必+。有最小值26D.也6a2+廿的最小值为4立

12.（23-24高二下•江西宜春•期中）已知a>6>0,。+》=1.则下列结论正确的有（）

3

A.a+疡的最大值为5B.22"+22"|的最小值为40

14

C.---+—^的最小值为3D.a+sinZ?<l

2a+ba+2b

三、填空题

22

13.（23-24高一下•河北保定•开学考试）若正数%〃满足式+2=1,贝的最大值为_______.

2516

14.（23-24高一上・江苏扬州・期末）若x>l,y>l,冲=10,则坨尤Igy的最大值为.

21

15.（2024•全国•模拟预测）已知%>1,y>。，且X_1=2,则--的最小值是____________.

yx-1

16.（2024・陕西西安・三模）已知1>0,y>。，xy-^-2x-y=10,则％的最小值为.

17.（2024•上海普陀二模）若实数。，6满足。-2/0,则2。+好的最小值为.

18.（23-24高一上・浙江•期末）已知/一3孙+2/=l（x,ywR）,贝12犬+;/的最小值为

四、解答题

19.（2024・全国•二模）已知实数。>0力>0,满足a+6=4石.

⑴求证：a2+Z?2>24；

⑵求（/+川方+1）的最小值.

ab

20.（23-24高一上•湖北武汉•阶段练习）已知〃〉0,b>0,且〃+b=2.

114

⑴求证:——I-------->—

ab+13

(2)求证：-+->272+2.

abb

21.（23-24高一下.甘肃白银•期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市

场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖.如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼

塘（记为菱形ABC。）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米.某养鱼

户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成4冷，DEFB,

CEF三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边。C上（点E与，C均不重

合），尸在鱼塘岸边BC.上（点P与8,C均不重合）.其中△ECP的面积与四边形。EFB的面积相等，△

为等边三角形.

DEC

(1)若测得EC的长为80米，求CP的长.

(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E,F应如何设置，才能使得购买不锈钢

网所需的花费最少？最少约为多少元？(安装费忽略不计，取0=1.414)

22.(2023•贵州黔西•一模)设6,c均为正数,且证明:

(l)a2+b2+c2>^；

(2)a3c+b3a+c3b>abc-

23.(23-24高一上•山东•阶段练习)已知a>0,b>0.

4

⑴若。一6=4,证明：a+——>7.

b+\

(2)若a+b+ab=8,求a+b的最小值.

⑶若/+9)2+3H=27,求a+3%的最大值.

【C级拓广探索练】

一、单选题

1.(22-23高一上•江苏徐州•阶段练习)设正实数x,y,z满足/_3对+4y2/=0,则当型取得最大值时，-+---

zxyZ

的最大值为()

9

A.9B.1C.-D.3

4

r2+12v2

2.(23-24高三上•浙江绍兴•期末)已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2,则上士^+名■的最小值

、、xy+1

为()

3239

A.Rc

4422

3.（2024.全国•模拟预测）设max{x,y,z}为龙,y,z中最大的数.已知正实数记M=max18a,26,

则用■的最小值为（）

A.1B.72C.2D.4

4.（22-23高一上•河南•阶段练习）已知尤2-3盯+2『=l（x,yeR）,则f+y2的最小