高考数学专项复习：立体几何（新定义）（原卷版）

专题12立体几何专题（新定义）

一、单选题

1.（2022秋•内蒙古赤峰•高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式丫=由3中的常数％称为，，立圆率，，.对于

等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式V=H>3求体积（在等边圆柱中，。表示底

面圆的直径；在正方体中，。表示棱长，在球中，。表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面

圆的直径为。），正方体（棱长为。），球（直径为。）的“立圆率”分别为尤，k2,白，则《：&：&=（）

2.（2022秋.江苏南京.高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个

平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，

过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为

6

（S+4So+S）其中S,S分别是上、下底面的面积，So是中截面的面积，/?为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的

建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下

底长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（）

（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）

A.63车B.65车C.67车D.69车

3.（2022・全国•高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰・泰勒（Johnlhylor,

1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例一」。L618

泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如

图，若h?=as,则由勾股定理，as^s2-a2,即-上-1=0,因此可求得士为黄金数，已知四棱锥底面

\aJaa

是边长约为856英尺的正方形（2〃=856）,顶点月的投影在底面中心。H为3C中点，根据以上信息，PH

的长度（单位：英尺）约为（）.

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4

4.（2023•辽宁沈阳•统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定:

多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧

度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则正八面体（八

个面均为正三角形）的总曲率为（）

5.（2023・全国•高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为。，S为此时太阳直

射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），。为该地的纬度值，如图.已知太阳每年直射范围在南北回

归线之间，即5目-23。26',23。26'].北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北

纬39。54,27〃，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）

太阳光

A.北纬5。5'27'B.南纬5。5'27"

C.北纬5。5'33〃D.南纬5。5'33〃

6.（2023秋.广东深圳.高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状

是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是

以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5,底

面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为（）

囹I!T2图3

A.1007TB.6007r

C.200兀D.300兀

7.（2023•全国•高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在尸处的离散曲率为

1-1（/。F。2+/。22。3+3+/以22）其中2，［=123..,左23）为多面体用的所有与点尸相邻的顶点，且

平面Q2PQ3,……，Q&PQ遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、

正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是。，b,c,d,则a,b,c,d的大小关系是

正四面体正八面体正十二面体正二十面体

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

9.（2021秋•江苏南通•高三统考阶段练习）碳60（Co）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形

似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面

体，共32个面，且满足：顶点数一棱数+面数=2,则其六元环的个数为（）.

A.12B.20C.32D.60

10.（2018春•四川成都•高三成都七中校考阶段练习）设定义区间口力）、（。,句、（a,b）、［a,句的长度均

为b—a.在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CA=2,ADJ.BD,则8长的取值区间的长度为

A.73B.2C.2币D.4

二、多选题

11.（2022.全国•高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，

则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为

斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的万倍，已知某圆柱

的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆

柱，下列选项正确的是（）

A.底面椭圆的离心率为比

2

B.侧面积为24夜口

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36万

D.底面积为4缶

12.（2022春•黑龙江哈尔滨•高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运

用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2万与多面体在该点的面角之和的差

（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲

率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是所以正四面

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体在每个顶点的曲率为2%-3xg=%,故其总曲率为4万.给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（）

A.正方体在每个顶点的曲率均为g

2

B.任意四棱锥的总曲率均为4万；

C.若一个多面体满足顶点数丫=6,棱数E=8,面数歹=12,则该类多面体的总曲率是3万；

D.若某类多面体的顶点数V,棱数E,面数/满足M-E+尸=2,则该类多面体的总曲率是常数

13.（2020秋•山东济南•高三统考期末）给定两个不共线的空间向量£与石，定义叉乘运算：axb.规定：

①axB为同时与a,B垂直的向量;②a,B,qxB三个向量构成右手系（如图1）;③石卜同同sin〈万，方〉.如

图2,在长方体ABCO-A4GA中，AB=AD=2,AAl=4,

图1图2

则下列结论正确的是（）

A.ABxAD=AAi

B.ABxAD=ADxAB

C.（AB+AD）xA^=ABxA\+ADxA^

D-x），CC]

14.（2022春・全国•高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一,

所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（）

A.长方体中含有两个相同的等腰四面体

B.“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形

C.“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到

D.三组对棱长度分别为“，b,c的“等腰四面体”的外接球直径为+C2

三、填空题

15.（2022.高二课时练习）连接空间几何体上的某两点的直线,如果把该几何体绕此直线旋转角a（（T<a<360。）,

使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形,

并且4个顶点A,B,C,。在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有条.

16.(2022秋•河北邢台•高二邢台市第二中学校考阶段练习)已知空间直角坐标系。-孙z中，过点尸伍,为,z°)

且一个法向量为元=(a,b,c)的平面a的方程为a(x-Xo)+b(y-%)+c(z-Zo)=O.用以上知识解决下面问题:

已知平面a的方程为尤+2y-2z+l=0,直线/是两个平面x-y+3=0与x-2z—1=0的交线，试写出直线/的

一个方向向量为,直线I与平面a所成角的余弦值为.

17.(2022秋•福建泉州•高二校联考期中)三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方

程.即过点尸伍,%/。)且一个法向量为乃=(a,b,c)的平面a的方程为-过

点尸伉，加z0)且方向向量为％(私力)(〃?加W0)的直线/的方程为三包=匕及=二^.三个“臭皮匠”利

mnt

用这一结论编了一道题：“已知平面a的方程为x-y+z+i=o,直线/是两个平面x-y+2=o与2x-z+l=o的

交线，则直线/与平面a所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了.谁知“诸葛亮”很快就算

出了答案.请问答案是.

18.(2022秋•湖南长沙•高三校考阶段练习)在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为

山+为+Cz+。=0(A,民C,DeR,4+笈+C?N0),点P(x0,%,z°)到平面«的距离d=

则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于.

19.(2022秋•山东潍坊.高二校考期中)两个非零向量b，定义|Zx司=|£|由sin坊历.若2=(1,0,1),

6=(0,2,2),贝巾x*.

20.(2023秋・福建福州•高二校联考期末)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到

另一条直线距离的最小值.在棱长为I的正方体ABCO-A4C。中，直线A2与AC之间的距离是

21.（2021秋•陕西西安・高一西安市第三中学校考期末）A,B,C,。为球面上四点，M,N分别是

的中点，以为直径的球称为。的“伴随球”，若三棱锥A-BCD的四个顶点在表面积为647r的

球面上，它的两条边AB,8的长度分别为2s■和46，则AB，8的伴随球的体积的取值范围是.

四、解答题

22.（2022・全国•高三专题练习）已知”（%,四,々）,方=（无2，%/2），c=（x3,y3,z3）,定义一种运算：

（ax5）-c=2z3++x3ytz2--x2ytz3,已知四棱锥尸—AB