高考数学专项复习：解析几何（新定义）（原卷版）

专题10解析几何专题（新定义）

一、单选题

1.（2023春・浙江•高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，

定义在平面直角坐标系xOy中（。为坐标原点），把到定点4（-c,0）和8（c,0）距离之积等于c2（c>0）的点的

轨迹称为双纽线，记为「，己知尸（飞,几）为双纽线「上任意一点，有下列命题：

222

①双纽线r的方程为（x+/=2c2（x-y）；

②△月尸入面积最大值为：02；

③一］4％《；

④|PO|的最大值为0c.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①②B.①②③

C.②③④D.①②③④

22

2.（2023春•四川达州•高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆.+当中长度为整数

ab

22

的焦点弦（过焦点的弦）为“好弦”.则椭圆二+乙=1中所有“好弦”的长度之和为（）

259

A.162B.166C.312D.364

3.（2023秋・湖南郴州•高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达

目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点

A（jq,y1）,B（x2,y2）,定义两点间“距离”为=,-々|+|%-%|，则平面内与x轴上两个不同的定点

的“距离”之和等于定值（大于外耳,用））的点的轨迹可以是（）

4.（2022.江苏.高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂

直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：

士+1=1（。>6>0）的蒙日圆方程为尤2+/=。2+氏耳，B分别为椭圆C的左、右焦点.离心率为当，M

ab5

为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P,。两点，若AMP。面积的最大

值为36,则椭圆C的长轴长为（）

A.2A/5B.4A/5C.2指D.4百

5.（2023・全国•高三专题练习）加斯帕尔・蒙日（图1）是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥

曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称

22

为“蒙日圆”（图2）.则椭圆C:土+匕=1的蒙日圆的半径为（)

54

D.6

6.（2021秋•四川成都・高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点

恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）

A//口/YCX2y2,

A.-----1---------=1B.------1--------=1C.-----1--------=1D.-----1--------=1

84356269

7.（2021春.上海闵行.高二闵行中学校考期末）若曲线“x,y）=0上存在两个不同点处的切线重合，则称这

条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）

A.x2+y-1=0B.国—J"：/+1=0

C.x2+y2-x-|x|-l=OD.3炉-孙+1=0

8.(2021•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测)在平面直角坐标系中，定义国+|y|称为点P(x,y)的“6和”，

其中。为坐标原点，对于下列结论：(1)“6和”为1的点尸(尤,y)的轨迹围成的图形面积为2；(2)设P是直

线2x-y-4=0上任意一点，则点P(x,y)的“5和”的最小值为2；(3)设尸是直线依-y+6=0上任意一点，

2

则使得“3和”最小的点有无数个”的充要条件是。=1；(4)设尸是椭圆/+2=1上任意一点，贝『"和”的最

2

大值为6•其中正确的结论序号为()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

9.(2022秋•四川成都•高二成都外国语学校校考期中)若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点片,乙

的距离之比为2:1,且存在△尸片耳，则称此椭圆或双曲线存在“O点”，下列曲线中存在“。点”的是()

A.—+^=1B.—+^=1C.--^=1D.x?-亡=1

363216155415

10.(2022秋.广西钦州•高二校考阶段练习)已知椭圆C:二+产=1的焦点为耳、工，若点尸在椭圆上，且

满足|PO「=|P凰归工|(其中。为坐标原点)，则称点尸为“★”点.下列结论正确的是()

A.椭圆C上的所有点都是“★”点

B.椭圆C上仅有有限个点是“★”点

C.椭圆C上的所有点都不是“★”点

D.椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★”点

11.(2019秋・北京•高二北京市第十三中学校考期中)已知两定点”(-1,0),N(LO),若直线上存在点尸，

使|PAf|+|PN|=4,则该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的是()

①)=%+1；②y=2；③y=_%+3；④y=-2x+3

A.①③B.①②C.③④D.①④

12.(2017春•吉林・高一统考期末)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点尸使PM。，则称该直线为“切

割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是()

A.①③B.①②C.②③D.③④

二、多选题

13.（2022秋・福建厦门•高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭

II22

圆”数学之美的新四。.设计师的灵感来源于曲线c：卜「+卜「=1.其中星形线及向+|声=1常用于超轻材

料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（）

A.E关于y轴对称

B.E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过!

O

c.E上的点到原点距离的最小值为:

4

D.曲线E所围成图形的面积小于2

14.（2022・全国•高三专题练习）已知曲线C的方程为尸（x,y）=0,集合T={（x,y）|F（x,j）=O},若对于任

意的（x”%）wT,都存在小,%）eT,使得玉超+%必=。成立，则称曲线C为E曲线.下列方程所表示的曲

线中，是Z曲线的有（）

22

A.?+q=lB.x2-y2=lC.y2=2xD.|y|=|x|+l

15.（2021秋•河北保定•高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线C上存在点P,使点尸到点4（3,0）,

3（-3,0）的距离之和为10,则称曲线C为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（）

A.x+y=5B.x2+y2=9

22

C.—+^=1D.x2=16y

259

16.（2021秋•辽宁•高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB长度为2°,动

点M满足MA•MB=",那么M的轨迹称为双纽线.已知曲线C:旧+（y-l）2■商+洒+以=1为双纽线，

下列选项判断正确的是（）

A.曲线C过点（0,。）

B.曲线C上的点的纵坐标的取值范围是卜虚,0]

C.曲线C关于x轴对称

D.P为曲线C上的动点，AB的坐标为（0,1）和（0,-1）,贝必的面积的最大值为2

17.（2021秋・江苏南通・高二江苏省包场高级中学校考期中）黄金分割比例避二1具有严格的比例性、艺术

2

性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例.我

们把离心率e=@匚的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（）

2

YV2

A.椭圆号+F:=1是“黄金椭圆”

2V5+1

22

B.若椭圆a+a=l（a>b>0）的右焦点为*c,。），且满足加=改，则该椭圆为“黄金椭圆”

22

C.设椭圆5+斗=1（。>b〉0）的左焦点为尸，上顶点为5,右顶点为A,若NAB/=90。，则该椭圆为“黄

ab

金椭圆”

D.设椭圆J+2=1（〃>6>0）的左、右顶点分别是42,左、右焦点分别是小工，若闺用2=体制.国用，

ab

则该椭圆为“黄金椭圆”

三、填空题

18.（2023春・北京•高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程

22

为：/一+匕=l（x>-2）,。为坐标原点，点41,0）,点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.

x+24'）

①卵圆C关于X轴对称

②卵圆上不存在两点关于直线尤=1对称

③线段尸。长度的取值范围是[1,2]

④4P的面积最大值为1

19.（2023・高二课时练习）在平面直角坐标系中，A（-l,0）,3（1,0）,若在曲线C上存在一点尸，使得/APB

为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为.（填序号）

22

（T）x2=4y；~+]=1；③％2-'2=1；④（元-2）2+（y—2）2=4；⑤3x+4y=4.

20.（2023秋・广东茂名•高二统考期末）法国数学家蒙日（肱加ge,1746-1818）发现：双曲线

22

「q-斗=1（。>6>0）的两条互相垂直切线的交点P的轨迹方程为：x2+y2=a2-b2,这个圆被称为蒙日

ab

圆.若某双曲线a-V=1S>。）对应的蒙日圆方程为/+V=3,贝IJ。=.

21.（2023・全国•高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含

有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是.（填写序号）

（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；

(2)与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖;

(3)射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；

(4)任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.

22.(2023•全国•高三专题练习)定义：点尸为曲线L外的一点，为乙上的两个动点，则取最大

值时，NAPfi叫点P对曲线L的张角.已知点尸为抛物线C：y2=4x上的动点，设尸对圆M:(x-3)2+y=1的

张角为。，贝Icos6的最小值为.

23.(2022.全国•高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，点加不与原点。重合，称射线0M与/+产=4

的交点N为点M的“中心投影点”，曲线好一［=1上所有点的“中心投影点，，构成的曲线长度是

24.(2020•浙江•高二期末)把椭圆C的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆C的长轴、短轴，

使椭圆C变换成椭圆C',称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆Cg=0,1,2,A)“压缩，，成椭圆C,“1,得

到一系列椭圆G，C。,C3,…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆C。经过n(n>3)次“压

缩”后能终止，则椭圆C-的离心率可能是①且，②叵,③叵,④逅中的.(填写所有正确结论

2533

的序号)

25.(2018•北京•高二统考期末)已知两定点M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点P,使得|PM\+\PN|=6,则该

直线为“T型直线”.给出下列直线,其中是“T型直线”的是.

①y=%+2②y=3③+3④y=；%+3

26.(2017・河南深河・潦河高中校考三模)平面直角坐标系中，4-1,0),3(1,0),若曲线。上存在一点尸，使

西.而<0,则称曲线C为“合作曲线”，有下列曲线①v+y、；；②y=/+i；③2y2一/=1；④3/+/=1；

⑤2尤+y=4,

其中“合作曲线”是.(填写所有满足条件的序号)

27.(2016•河北衡水•统考一模)如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点。顺时针旋转30。后，构成一个斜

坐标平面X。a在此斜坐标平面中，点p(x,y)的坐标定义如下：过点尸作两坐标轴的平分线，分别交两

轴于两点，则/在Ox轴上表示的数为x,N在Oy轴上表示的数为八那么以原点。为圆心的单位圆

在此斜坐标系下的方程为.

28.（2022•全国•高三专题练习）称离心率为e=避上的双曲线W-《=l（a>0,b>0）为黄金双曲线.如图是双

2ab2

22_________

曲线二-q=1（°>0,6>0,0=八2+尸）的图象,给出以下几个说法：

ab

①双曲线V-/g=l是黄金双曲线；

②若川=",则该双曲线是黄金双曲线；

③若B,B为左右焦点，Al,4为左右顶点，Bi（o,b）,B2（0,-b）^.ZFiBiA2=9Q°,则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN经过右焦点r且尸2,ZMON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.

其中正确命题的序号为

四、解答题

29.（2022・全国•高三专题练习）焦距为2c的椭圆「:与+宗=1（a>6>0）,如果满足"26=a+c”，则称此椭圆

ab

为“等差椭圆”.

（1）如果椭圆「二+2=1（。>6>0）是“等差椭圆”，求2的值；

aba

（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，。为尸关于原

点。的对称点（。也异于A）,直线AP、A。分别与x轴交于M、N两点，判断以线段为直径的圆是否

过定点？说明理由.

22

30.（2022.高二课时练习）已知椭圆一二+工=l（a>2）,点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点

a4

的任一点，若尸点到A点距离的最大值仅在尸点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆

（1）若（1=乖，判断椭圆r是否为“圆椭圆”；

（2）若椭圆「是“圆椭圆”，求”的取值范围.

31.（2021・四川.四川省绵阳南山中学校考模拟预测）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三

角形称为该椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并

将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆G：J+?=I,椭圆c?与G是“相似椭圆”，已知椭

圆c?的短半轴长为人

（1）写出椭圆c?的方程（用b表示）；

（2）若椭圆C?的焦点在x轴上，且C?上存在两点M,N关于直线>=2x+l对称，求实数b的取值范围.

32.（2020春・上海青浦•高三校考开学考试）我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C

的距离,记作d（P,C）.

（1）求点尸（3,0）到抛物线C:/=4x的距离d（P,C）；

（2）设/是长为2的线段，求点集D={p|d（P,/）41}所表示图形的面积.

33.（2020秋•上海杨浦・高二上海市控江中学校考期末）已知抛物线P