导数的概念与运算【6类题型】-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

专题3，导数的概念与运算

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年甲卷第6题，5分

2024年I卷第13题，5分高考对本节内容的考查相对稳

定，考查内容、频率、题型、难(1)导数的概念和定义

度均变化不大.重点考查导数的导数的运算

2023年甲卷第8题，5分(2)

计算、四则运算法则的应用和求(3)求过某点的切线方程

切线方程为主.

2021年I卷第7题，5分

2021年甲卷第13题，5分

模块一、热点题型解读(目录)

【题型1】平均速度(变化率)与瞬时速度(变化率)

【题型2】导数的定义中极限的简单计算

【题型4】导数的运算

【题型3】导数的几何意义初步

【题型5】复合函数求导

【题型6］导数的赋值运算

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】平均速度(变化率)与瞬时速度(变化率)

基础知识

L求平均变化率的主要步歌：

(1)先计算函数值的改变量^y=f(x2)-fixi).

(2)再计算自变量的改变量\X=X2~X\.

Ay于（%2）——（xi）

（3）得平均变化率Ax=xi—x\•

2.瞬时速度是当加―0时，运动物体在力到力+山这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平

均速度二者不可混淆.

1.函数/（%）=/在区间［〃，20上的平均变化率为15,则实数，的值为（）

A.-B.-C.1D.2

32

2.已知函数产/（力=2/+1在l=4处的瞬时变化率为-8,贝!］/（%）=.

【巩固练习1】某物体的运动方程为s«）=3/，若v=lin/（3+「）一$（3）=18加/s（位移单位：机，

△r->0t

时间单位：S）,则下列说法中正确的是（）

A.18m/5是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18而s是物体从3s到（3+△t）s这段时间内的速度

C.18根/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到（3+△t）s这段时间内的平均速度

【巩固练习2］若函数/（尤）=尤2在区间［%,%+Zkx］上的平均变化率为匕，在区间［与-△》，x0］

上的平均变化率为左2,贝N）

A.k、>k2

B.kx<k2

C.K=h

D.左与心的大小关系与毛的取值有关

【巩固练习3】如图1,现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器，以2cm?/s的速度向该容

器内注入溶液，随着时间/（单位：S）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示,

忽略容器的厚度，则当♦=兀时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

B.陋加/sC.返cm/sD.迺疝/s

6兀5713兀2兀

【题型2】导数的定义中极限的简单计算

基础知识

函数/（无）在X=x。处瞬时变化率是lim丝=lim/（%+―）-/（无。）,我们称它为函数y=/（x）在

彳=尤0处的导数，记作或>[4阳.

知识点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.-->0的意义：Av与0之间距离要多近

有多近，即|Ax-O|可以小于给定的任意小的正数；

②当AxfO时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

空/0+九）-/5）无限接近;

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一

时刻的瞬间变化率，即/（尤o）=lim—=lim+二）―.

°Ax-Ax

导数的物理意义

函数s=s«）在点灰处的导数s«o）是物体在时刻的瞬时速度V,即u=s，（％）；V=v（r）在点J的导

数M«o）是物体在,0时刻的瞬时加速度。，即1=1/«0）・

于(x0+h)—于—h)

3.若函数y=/（X）在区间（a，5）内可导，且Xo£（a,b）,则lim的值为（)

h

A./'(%)B.2厂(%)

C.—27'（九0）D.0

4.（2024•江苏南通二模）已知〃力=%3一炉，当〃30时，川+川->⑴-_____.

h

【巩固练习1】设函数可导，f（1）=1则lim/（1+A"）-AD=_.

△A。3AX

【巩固练习2】函数y=fS）在区间①/）内可导，且尤°e（a,加若lim幺包士々二色二々=2,则（）

2。h

A.广（%）=1B./'（%）=2C.广@）=4D.1（%）不确定

【巩固练习3】（多选题）已知/（x）,g（x）在R上连续且可导，且/'（%）70,下列关于导数与极

限的说法中正确的是（）

1"+的-/-叽

AB.

-蚂"弋T"小）A/z-02A/z一

x+3x

/(oM-/(o)g(%+Ax)-g(x。)=g，(xO)

C.lim=/r(xo)

r

心f03Ax^o/(x0+Ax)-/(x0)/(x0)

【题型4】导数的运算

基础知岂］

一、基本初等函数的导数公式

原函数导函数

fM=C（。为常数）rw=o

f{x}=xa(aeQ)f'{x}=axa~x

f(x)=ax(a>0,。w1)fr(x)=ax\na

f(x)=logax(a〉0,aw1)/‘(x)=4

x\na

/(x)=H/'(x)=e'

f(x)=]nx

r(x)=-

X

f(x)=sinx/'(%)=cosX

f(x)=cosx/r(x)=-sinx

二、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(x)±g(x)]=f\x)+g'(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(尤)；

[/(x)]=7'(x)g(x)-J(x)g'(x)

(3)函数商的求导法则：g(x)RO,

g(x)g2。)

特别地:

①丁二"了(无)，y,=ex[f(x)+f'(x)]

ee

5.求下列函数的导数.

Inx

(l)y=xex(2)y=――-；

x+1

6.设函数/(无)=尤@+1)(尤+2)…(尤+10),则广(0)的值为()

A.10B.59C.10x9x—x2xlD.0

【巩固练习1］求下列函数的导数.

(1)/(%)=-2x3+4x2

⑵“x)=xe"

(3)/(x)=xsinx+cosx

(4)/(x)=^1

x-1

【巩固练习2］求下列函数的导函数.

(l)/(x)=(x+l)lnx-Vx；

⑵“x)=¥

【巩固练习3］在等比数列｛%｝中，。1013=2,若函数/——…—〃2025)，

则/(。)=()

A.-22024B.22024C.-22025D,22025

【题型3】导数的几何意义初步

基础知识

导数的几何意义

导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的

大小，函数y=/(x)在x=x0处的导数尸(%)的几何意义即为函数y=/(x)在点尸(不，%)处的切线

的斜率.

7.函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是()

A.0<r(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0</,(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0</(3)</(3)-/(2)</\2)

D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)

8.(湖南省2024届高三数学模拟试题)曲线y=ln2x在点处的切线方程为()

A.2x-y+1=0B.2x-y-l=0C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0

9.(23-24高三上•福建福州•期中)已知直线/与曲线/(x)=lnx+x2相切，则下列直线中可能与/

平行的是()

A.3x-y-l=0B.2x-y+l=0C.4%-y+l=0D.5%-y+3=0

【巩固练习1】函数y=/(x)的图象如图所示，/(x)是函数Ax)的导函数，则下列数值排序正确的

是()

【巩固练习2】(2024•全国•高考真题)设函数〃x)=e：；；nx,则曲线＞=/(力在点(0,1)处的切

线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()

【巩固练习3X2024•福建厦门•一模)已知直线/与曲线,=丁-尤在原点处相切，则/的倾斜角为()

715兀

A.D.

~6-7~6

【巩固练习4】(2024・四川宜宾・模拟预测)若曲线丁=/+〃在％=0处的切线也是曲线，=1浜的切线,

贝IJ”()

A.-2B.1C.-1D.e

【题型5】复合函数求导

基础知识

简单复合函数的导数

(1)复合函数的概念

一般地，对于两个函数丁=/(〃)和M=g(x),如果通过中间变量〃，y可以表示成了的函数，那么称这

个函数为函数和〃=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x)).

(2)复合函数的求导法则正确地拆分复合函数是求导的前提

一般地，对于由函数＞="")和〃=g(x)复合而成的函数》=/(以%)),它的导数y=X〃)，〃=g(x)的导数

间的关系为yx'=yu'-ux',即y对x的导数等于y对a的导数与〃对x的导数的乘积.

10.求下列函数的导数.

(l)y=2sin(l-3x)；(2)y=--lnx+\ll+x2；