湖南省部分学校2024-2025学年高一年级上册10月入学考试数学试卷（含答案）

湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合4={—2,—1,0,5},8=xx+：>0卜则AB=（）

A.{0,5}B.{-1,0,5}匚⑸D.{-2,-l}

2.已知夕：\/%^11,卜+2024]>0处闫％<—3,（尤+3）2=1,则（）

A.p和q都是真命题B.p和r都是真命题

c.r7和q都是真命题D.-和r都是真命题

3.已知集合4=1，-3,0,6},3={xeZM<3卜则A3的非空真子集的个数为（）

A.lB.2C.3D.4

4."x,yeQ”是"孙6（2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知。力是非零实数，且a>b,c是任意实数，则（）

A-ac4>be4B."〉/i-^a+c>b-c

6.设集合A={〃|〃=3左，左eZ},6={T〃=4左，左eZ},C={”〃=6左，左eZ},则（）

A.AB=CB.BC=A

C.CUAPISD.^nC=AOB

7.时下,新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题.为了解学生在这方面的兴趣情况，某

校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣

的问卷调查，要求每位同学至少选择一项.经统计，有41人对人工智能感兴趣,27人对新

能源汽车感兴趣,20人对绿色能源感兴趣洞时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20

人,同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的

有14人,对三种都感兴趣的有4人.那么该班级学生的人数为（）

A.50B.51C.52D.53

8.在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[可，即

冈={4〃+用”eZ},左=0,1,2,3.下列结论正确的是（）

A.-3e[2]

B.Z=[1][2]l[3]

C.整数a,6属于同一“类”的充分不必要条件是“a-b^[O]

D.若ae[3],〃w[2],则abe[2]

二、多项选择题

9.下列对象能构成集合的有（）

A.接近于2025的所有正整数B.小于-3的实数

C.未来10年内的房价趋势D.点"（3,2）与点N（4,3）

10.已知正数。力满足。+4/?=4,则（）

A.abWlB.〃+4扬<5

「4ab+14ab+1、

C.--------+--------->8oDn.—1+—4>——25

a4bab4

11.已知对任意的％<o，不等式（ax-4）（x2+/?）>o（a,beZ）恒成立，则a,b的可能取值有

()

A—[a——\[a——4a=-2

A.<B.vC.vDJ

/?=-4[b=-16=-1b=-4

三、填空题

12.命题''VxN2024,±<VP'的否定为.

13.当0w%w2时，二次函数y=x2—2/7rr+m-l（m>0）的最小值为-7,则

14.已知关于x的不等式⑪2+（4a+4）x+8a+17>0（aeZ）只有有限个整数解，且0是

其中一个解，则a=.

四、解答题

15.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些

命题的否定的真假.

⑴对任意的实数x,都有必之国；

（2）存在实数%使得三+%一2W0；

(3)所有的素数都是奇数；

(4)方程式_3工+1=0的每一个根都是正数•

16.已知集合A={x|a<x<3a-l},B=^x2-3%-10>0j.

⑴当a=l时,求久町A；

⑵若A是怎8的子集，求a的取值范围.

17.已知关于x的一元二次方程依2_(2左—3卜+左-1=0.

⑴若上述方程的两个不同根都是负数，求k的取值范围.

⑵上述方程是否存在两根中恰有一个是正数,且左为整数？若存在，求出左的值;若不存

在，说明理由.

18.已知一矩形纸片ABCD(AB>AD)的周长为8cm,如图，将445。沿AC向△ADC折

叠，A5折过去后交。C于点P-

(2)若改变A3的长度(矩形的周长保持不变)，则△AOP的面积是否存在最大值？若存

在，求出其最大值;若不存在，说明理由.

19.若至少由两个元素构成的有限集合A=N*,且对于任意的x,yeA(x>y)，都有

2

上eA,则称A为“L-集合”.

⑴判断{1,2,4}是否为“L-集合”，说明理由；

(2)若双元素集M为“L-集合”，且4GM，求所有满足条件的集合M-,

(3)求所有满足条件的“L-集合”.

参考答案

1.答案:B

解析：因为5=111>—巳>,4={—2,—1,0,5},所以4B={-1,0,5).

、2

故选：B.

2.答案：C

解析：对于p,当％=—2024时，|2024-2024|=0,所以P是假命题,是真命题.

对于/当工=-4时,(-4+3)2=1，4是真命题，丑是假命题・

故选：C.

3.答案：B

解析：因为B={—3,—2,—1,0,1,2,3},

所以A8={—3,0},

故其非空真子集的个数为2?—2=2-

故选：B.

4.答案：A

解析：若x,yeQ,则孙eQ,

若孙eQ,当x=y=0时，尤,yeQ,

所以“x,yeQ”是“孙eQ”的充分不必要条件.

故选：A.

5.答案:C

解析：对于A,当c=0时，不等式不成立,错误.

对于B,当q=i2=—2时，满足a>ba2<b1，错误.

对于C因为=禁而所以鬻>。厕》>看正确

对于D,当Q=1,6=一2,c=-3时，满足a>b，不等式不成立,错误.

故选：C.

6.答案：D

解析：由题意可得AB=〃=12《％eZ},

A3口。,故人,(2均错误；

BC={”〃=12匕左eZ},5C=A\B,D正确；

3eA,3eB,3eC,B错误.

故选：D.

7.答案：A

解析：因为同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色

能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的

有4人，

所以同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有20-4=16人，

同时对人工智能和绿色能源感兴趣但对新能源汽车不感兴趣的有14-4=10人，

同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有8-4=4人，

因为有41人对人工智能感兴趣,27人对新能源汽车感兴趣,20人对绿色能源感兴趣，

所以只对人工智能感兴趣的有41-16-4-10=11人，

只对新能源汽车感兴趣27-16-4-4=3人，

只对绿色能源感兴趣20-10-4-4=2人，

所以所求该班级学生的人数为n+3+2+16+10+4+4=50.

故选：A.

8.答案：D

解析：对于A,因为-3=-1x4+1,所以-3G[1],A错误.

对于B,每个整数除以4所得的余数只有0,1,2,3,没有其他余数，所以

ZR[O][1][2][3],X[0][1][2][3仁Z,

所以Z=[0][1][2][3],B错误.

对于C,若卜7z],〃z=0,L2,3,则a=4%+m,nAeZ,b=4H2+m,n2eZ,

所以a-/?=4(“-«2)e[0]；

若a—/?e网,则a—b=4p,”eZ,不妨设ae[/],/=0,1,2,3,

则a=4〃3+7,%eZ，所以Z?=4(4_p)+/,〃3_peZ,

所以。力除以4所得的余数相同，即a力属于同一“类”.

故整数。力属于同一“类”的充要条件是“a-匹网”。错误.

对于D,由ae[3],Z?e[2],可设a=4匕+3,匕eZ,b-4k?+2,左?eZ

贝Iab=16左/2++12&+6=4（4^2+2^+3^2+1）+2,

因为4左芯+2匕+3&+leZ,所以"e[2],D正确.

故选：D.

9.答案：BD

解析：对于A,接近于2025所有正整数的标准不明确，不能构成集合.

对于B,小于-3的实数是确定的，能构成集合.

对于C,未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合.

对于D,点/（3,2）与点N（4,3）是两个不同的点，是确定的，能构成集合.

故选：BD

10.答案：ABD

解析：对于A,因为且a+4b=4,所以4=。+4624枚，

则当且仅当a=2,6=工时等号成立，正确.

-2

对于B,由〃+4/?=4，得〃=4一4/?,又〃>0,Z?>0,所以Ovbvl,则0<&<1,

所以。+4^历=4-46+4^/=-g]+5<5,当且仅当=；,即6=：时等号成立,

正确.

“工厂4ab+l4ab+l

对于C,--------+---------」+La+4/U+L4,

a4ba4ba4b

11If11Y1<4baV.

因为—I=——I----(a+4/7)=­2H--------1---->1,

a4b4144bl4(a4bJ

当且仅当竺=2,即a=2)=工时等号成立，所以也已+也已25,错误.

a4b2a4b

“工4If14Y1(,“4b4c4-b4a25

对于D,由—+—=一|—+—\(a+4b}=—\17+——+—

ab41ab「，4(ab)4abT

当且仅当竺="，即时等号成立,正确.

ab5

故选：ABD.

11.答案：BCD

解析：当620时，由(改-4乂炉+8)之0,可得4"对任意的％<0恒成立,

即a<±对任意的x<0恒成立，此时a不存在；

X

当/,<()时，由(公-4乂/+冲之0对任意的％<0恒成立，

作出丫二公-牝丁二月+沙的大致图象汝口图所示：

故选：BCD.

12.答案：3%>2024,^>Vx

X

解析：全称量词命题“VxN2024,±<«”的否定为

存在量词命题“引>2024,二2«

X

故答案为：3X>2024,^T>VX.

X

13.答案：—

3

解析：y=x2—2mx+m—l（m>0）图象的对称轴为直线x二机.

当0（根<2时，兀加=m?-2m2+m-1=-7,

解得加=3或m=-2,与0<相<2矛盾,舍去；

当机22时，>min=22—2根X2+根—1=—7,解得加=£.

综上可知，加=—.

3

故答案为：12.

3

14.答案：一2或-1

解析：因为0是at?+（4a+4）x+8a+17»0的解，所以a之一9.

因为加+（4a+4）x+8a+17NO（aeZ）只有有限个整数解，所以a<0，

因为aeZ,所以a=—2或a=—1.

故答案为：-2或-1.

15.答案：（1）答案见解析

⑵答案见解析

⑶答案见解析

（4）答案见解析

解析：（1）全称量词命题.

原命题的否定：存在一个实数X,使得/<|斗原命题的否定是真命题.

（2）存在量词命题.

原命题的否定：对任意的实数x,都有好+%_2>0.原命题的否定是假命题.

（3）全称量词命题.

原命题的否定：存在一个素数不是奇数.原命题的否定是真命题.

（4）全称量词命题.

原命题的否定：方程/_3x+l=0至少有一个根不是正数•原命题的否定是假命题•

16.答案：⑴&可A={x\L<x<2}

(2)｛臼a<2]

解析：(1)由1一3%—10>0,化简可得(x+2)(x—5)>0,解得x<—2或<>5,所以

B=｛x|x<-2或x>5｝；

当。=1时,4={划<%<2},05=3-2<；1<5},故（条3）A={x|l<%<2}.

（2）由于A是的子集，当4=0时，则q>3a-1,解得a<；,满足A是的子集;

3a-l>a

当皿时，则满足卜”"5,解得白力.

a>-2

综上所述,aW2,即。的取值范围为㈤a<2}.

17.答案：⑴[\<k<->

8

（2）不存在，理由见解析

解析：（1）因为依2-（2左-3）x+k-1=0的两个不同根都是负数,

设其根为X],与，则xt+x2="卜3,XjX2=~~

△=（2左一3）2—4左（左一1）〉0

所以kW0且竺过<0

解得1<女<2,即k的取值范围为<k1<k<—>.

8[8j

⑵由题意,上述方程的两根中恰有一个是正数，由⑴可知XR=匕,

k

k手。

若该方程有一正一负根，则左_1，解得0〈左<1代无整数解；

----<0

左w0

若该方程有一正根一零根，则L-1，解得左=1,此时一元二次方程为必+X=0,不满足

---二0

k

题意.

故满足条件的整数左不存在.

18.答案：（1）证明见解析

⑵存在,（12-

解析：（1）设△ABC折叠后点§变成片,

在八ADP与八CB[P中,eg=CB-AD,

因为NB]=N3=ZD=90°，又NB[PC=ZDPA,

所以△用PC^/\DPA，则？A=PC.

⑵由题意，矩形ABCD（AB>AD）的周长为8cm.

设AB=x，PC=a，则AZ）=4-x，DP=x-ayAP=a-

因为△ADP为直角三角形，所以/=（尤_J+（4-才解得a=x+§-4,从而DP=4-

所以SAD?=gAD.£>P=g（4—X）（4—§）=12—（2x+电）<12—2/2%•3=12—80，

当且仅当更=2x,即*=20时等号成立，

X

止匕时AB=2A/2MD=4-2A/2

故AB=2逝cm时,AADP的面积取得最大值，为（12-8应kn?.

19.答案：（1）不是，理由见解析

（2）{4,8},{2,4}

（3）{k,2左},其中左eN*

I21

解析：⑴因为——=T{1,2,4},所以{1,2,4}不是“L-集合”.

4-13

⑵设Af={4,m^{meN*,m04）.

22

若加<4,贝U——二加或——=4.