2025中考数学专项复习：一箭穿心与瓜豆原理（最值专题）含答案

2025中考数学专项复习一箭穿心与瓜豆原

理（最值专题）含答案

箭穿心与瓜豆原理（最值专题）

学校:姓名：班级：考号：

一、一箭穿心与最值

题目①如图，矩形中，AB=2,BC=3,以A为圆心，1为半径画是。A上一动点，P是BC

上一动点，则PE+PD最小值是（）

A.2B.3C.4D.2V3

题目区如图,在矩形ABCD中，AB=2,AD=J7,动点P在矩形的边上沿A运动.当点P

不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△ABT,连接CB',则在点P的运动过程中，线段的最

题目区如图，。河的半径为4,圆心河的坐标为（5,⑵，点P是。河上的任意一点，且P4PB

与多轴分别交于A、8两点，若点4、点口关于原点。对称，则的最小值为.

题目@如图，在/\ABC中，AD是5。边上的中线，8,AC=4V2.

（1）当AB=时，ACAD=°；

（2）当A4CD面积最大时，则AD=

题目回如图，。河的半径为4,圆心河的坐标为（6,8）,点P是。河上的任意一点，PALPB,且PA、PB

与多轴分别交于两点，若点入、点B关于原点。对称，则AB的最大值为（）

A.13B.14C.12D.28

题目回点A是半径为2的。。上一动点，点。到直线上W的距离为3.点P是上一个动点，在运动过

程中若=90°,则线段P4的最小值是.

［题目⑶如图所示，AB为。。的一条弦，点。为。。上一动点，且/BCA=30°,点分别是的

中点，直线ER与。。交于G,H两点，若。。的半径为7,求GE+的最大值.

二、瓜豆原理

1目切如图,在平面内，线段=6,P为线段上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线

段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点3,则点E运动的路径长为

［题目团如图，点A,B的坐标分别为4(4,0),B(0,4),。为坐标平面内一动点，且BC=2,点Af为线段AC

的中点，连接OM,当取最大值时，点河的纵坐标为

题目⑼如图，已知4(6,0),8(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的。B经过原点2轴

于点。，点。为⑷B上一动点，后为40的中点，则线段CE长度的最大值为.

［题目@如图,在平面直角坐标系中，。(0,4),4(3,0),。4半径为2,P为。A上任意一点，E是PC的中

点，则OE的最小值是.

题目回如图，在Rt/XABC中,ZABC=90°,AACB=30°,BC=2盗，/\ADC与△AB。关于AC对称，点

反厂分别是边。。、3。上的任意一点,且。豆=。干，跳；、。尸相交于点？,则。？的最小值为()

A.1B.V3C.D.2

［题目回在4ABC中,NACB=90°,AC=4,BC=3,点。是以点人为圆心,半径为1的圆上一点,连接BD

并取中点A1,则线段CM的长最大为，最小为

题目⑶如图，在等腰直角三角形ABC中，乙45。=90°,48=5。=4,_?是448。所在平面内一点,且满足

PA±PB,则PC的最大值为

三、新定义

〔题目〔1〕定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线设b的“冰雪

距离已知0(0,0),一(1,1),,C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点.

图I图2符用图

(1)根据上述定义，完成下面的问题：

①当m=2,九=1时，如图1,线段与线段04的“冰雪距离”是一

②当馆=2时，线段与线段OA的“冰雪距离”是1,则n的取值范围是_

⑵如图2,若点B落在圆心为4半径为1的圆上，当n>1时，线段BC与线段04的“冰雪距离”记为d,

结合图象，求d的最小值；

⑶当m的值变化时,动线段与线段OA的“冰雪距离”始终为1,线段的中点为M.求点M随线

段运动所走过的路径长，

一箭穿心与瓜豆原理（最值专题）

学校：姓名:班级:考号:

一、一箭穿心与最值

版目［］如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A为圆心，1为半径画O4E是。A上一动点，P是BC

上一动点，则PE+PD最小值是（）

C.4D.2V3

【答案】。

【详解】解:如图，作点。关于直线BC的对称点F,连接AF,交BC于点P,交©4于点E,此时PE+PD

最小，最小值等于AF—AE,

由轴对称的性质得：CF=CD,

•：四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=3,

：.AB=CD=2,AD=BC=3,AADF=9Q°,

：.DF=CD+CF=2CD=4,

：.AF=y/AD2+DF2=V32+42=5,

AE=1,

：.EF=AF-AE=4f

即PE+PD的最小值为4,

故选：C.

题目印如图,在矩形ABCD中，48=2,人。=，7,动点。在矩形的边上沿3一。一。一人运动.当点P

不与点力、B重合时，将/\ABP沿AP对折,得到△AFP,连接CB',则在点P的运动过程中，线段CF的最

小值为

1

AD

\

-...

【答案】，IT—2/-2+V1T

【详解】解:在矩形ABCD中，AB=2,AD=V7,

：.BC=AD=V7,AC=y/BC2+AB2=V7+4=Vil,

如图所示，当点P在BC上时，

,/AB=AB=2,

..•.吕在4为圆心，2为半径的弧上运动,

当A,3,。三点共线时，生最短，

此时生=AC—4F=41—2,

当点P在。。上时，如图所示，

此时—

当P在AD上时，如图所示，此时婚＞〃11一2,

综上所述，C&的最小值为VTT-2,

故答案为：V1T—2.

.

题目区如图，。M的半径为4，圆心”的坐标为（5,⑵，点P是。河上的任意一点，PA，且P4PB

与立轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为.

【详解】解:如图所示，连接OP,

：./APB=90°,

40=BO,

：.AB^2PO,

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接。河，交0M■于点P,当点P位于P位置时，OP取得最小值，

过点Af作MQ_L/轴于点Q,

则OQ=5,MQ—12,

在用人/阳口中，根据勾股定理，得

OM=^OQ^MQ2=V52+122=13,

又•・,MP,=4,

・・・OP=9,

・・・AB=2OP=18,

故答案为：18.

Ml④如图，在△4BC中，40是BC边上的中线，8,4。=472.

（1）当AB=AC时，2CAD=°；

（2）当AACD面积最大时，则AD=.

【答案】454V3

【详解】解：（1）当4B=A。时，

AD是BC边上的中线，

：.AD±BC,BD=CD=4：,

：.AD=^AC2-CD2=^,

：./XACD是等腰直角三角形，

/CAD=45°;

（2）在△ACD中，以CD为底，CD=^BC=4,

则当CD边上的高最大时，△力CD面积最大，

如图，点A在以点。为圆心，AC为半径的圆上,

故当时，高最大，即为AC,

此时AD=y/AC2+CD2=4V3,

故答案为：45,4V3.

［题目回如图，0M■的半径为4,圆心”的坐标为（6,8）,点P是。河上的任意一点，PALPB,且P4PB

与立轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点。对称，则AB的最大值为（）

A.13B.14C.12D.28

【答案】。

【详解】解:连接PO,

•：PA±PB,

：./APB=90°,

,・,点4点B关于原点O对称，

:.AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最大值,则PO需取得最大值，

连接。河,并延长交。刊于点P,当点P位于P位置时，OP取得最大值，

过点M作MQ_Lx轴于点。，

则OQ=6、7WQ=8,

OM=10,

又vMPr=r=4,

・•.OP=MO+MP=10+4=14,

・•.AB=2OP=2xl4=28;

故选：O.

题目回点人是半径为2的。。上一动点，点。到直线1W的距离为3.点P是小W上一个动点，在运动过

程中若/POA=90°,则线段P4的最小值是.

【答案】

【详解】解：；ZFOA=90°,

PA=VOA2+OP2=V4+OP2,

当0P最小时，P4取最小值，

由题意得：当OP_LMV时，QP最小，最小值为3,

PA的最小值为：V4+32=V13,

故答案为：63.

〔题目0如图所示，AB为。。的一条弦，点C为0O上一动点，且/BCA=30°,点E,F分别是AC,的

中点，直线ER与。。交于G,H两点，若。。的半径为7,求GE+FH的最大值.

【答案】GE+FH的最大值为号.

【详解】连结40,80,

ABCA=30°AABOA=60°

A/\AOB为等边三角形，AB=7•M

。:点、E,尸分别是AC,的中点

：.EF=^-AB=^-,'：GH为(DO的一条弦

••.GH最大值为直径14J.GE+EH的最大值为14-工=争.

二、瓜豆原理

题目工如图，在平面内，线段AB=6,P为线段上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线

段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点人运动到点B,则点E运动的路径长为

【答案】

【详解】解:如图，由题意可知点。运动的路径为线段AC,点、E运动的路径为EE',

由平移的性质可知AC'=EE',

在Rt^ABC中，：AB=BC'=6,AABC=90°,

EE'=AC=V62+62=6V2,

故答案为：6蓼.

E'

4C)

题目团如图，点A,B的坐标分别为4(4,0),8(0,4),。为坐标平面内一动点,且BC=2,点河为线段AC

的中点,连接OM,当AC取最大值时,点M的纵坐标为.

【答案】2+三

【详解】解:如图，•.•点C为坐标平面内一点，BC=2,

.•.c在。B上，且半径为2,

当。在AB的延长线上时，AC最大，

过点。作CD，/轴，

•.•点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),

.,.04=08=4,

/BOA=90°,

/XBOA是等腰直角三角形，

ZA=45°,AB=y/O^+OB2=472,

AC=BC+AB=2+4V2.

；CD_La;轴，

/\CDA是等腰直角三角形，

：.CD=AD,

•：CD2+AD-=AC'2,即2CE»2=(2+4V2)2,

解得：C»=V2+4,

.••C点的纵坐标为2十4,

•.•点M为线段的中点，

点M的纵坐标为+2.

故答案为：乎+2.

题目叵如图，已知46，0)，3(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点5圆心的。B经过原点O,BC，,轴

于点。，点。为。B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为.

【详解】试题解析:如图所示：取OC的中点F,则F(2,0).连接FB并延长与圆交于点O'.取⑷7的中点E'.

连接CE'.此时线段CE'的长度就是最大值.

BF=V22+32=V13.

圆的半径BD=V42+32=5.

W=V13+5.

CE'=杷F=咒+5.

故答案为卫胃土&.

题目⑷如图，在平面直角坐标系中，。（0,4）,A（3,0）,。A半径为2,P为。A上任意一点，E是PC的中

点，则OE的最小值是.

【答案】1.5.

【详解】解:如图，连接AC,取AC的中点H,连接EH,.

•：CE=EP,CH=AH,

：.EH=^-PA=1,

.•.点E的运动轨迹是以为圆心半径为1的圆，

H（1.5,2）,

.-.OH=V22+1.52=2.5,

OE的最小值=OH-EH=2.5—1=1.5,

故答案为：1.5.

题目回如图，在Rt/\ABC中，2ABC=90°,AACB=30°,BC=2A/3,△ADC与AABC关于AC对称，点

E、F分别是边。C、BC上的任意一点，且DE=CF,BE、DF相交于点P,则CP的最小值为（）

•M

D

A.1B.V3C.1-D.2

【答案】。

【详解】解:连接A。，因为/ACB=30°,所以ZBCD=60°,

因为CB=CD,所以△CBD是等边三角形，

所以BD=DC»

因为DE=CF,NEDB=ZFCD=60°,

所以/\EDB岂AFCD，所以NEBD=Z.FDC,/£

因为ZFDC+ABDF=60°,一JL\

所以NEBD+NBDF=60°，所以ABPD=120°,1X7V\\

所以点P在以人为圆心，AD为半径的弧BD上，

直角△ABC中，/人6©=30°,3。=2，,所以48=2,4。=4,玄/'

所以4P=2BFC

当点A,P,。在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故选D

题目封在△ABC中，/力CB=90°,AC=4,BC=3,点。是以点人为圆心,半径为1的圆上一点，连接BD

并取中点则线段CM的长最大为，最小为.

【答案】32

【详解】解:作AB的中点E,连接EM、CE.

在直角△48。中，48=乂了西瓦子=5,

E是直角△AB。斜边48上的中点，

.•.CE="B=2.5.

；M是BD的中点、，E是AB的中点，

.•.ME=]AD=0.5.

•/2.5-0.5WCM<2.5+0.5,即2WCM43.

：.最小值为2,最大值为3,

故答案为：3,2.

版目可如图，在等腰直角三角形ABC中，/ABC=900,AB=BC=4,P是AAB。所在平面内一点，且满足

PA±PB,则PC的最大值为.

【详解】解：•••PA_LPB,

/APB=90°,

.•.点P在以AB为直径的圆上，

取的中点，连接CV,如图，则OC=vW不=2斯,

•.•点P为。。的延长线于OO的交点时，CP最大，

.♦.PC的最大值为2瓶+2.

故答案为2函+2.

三、新定义

题目刀定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线设b的“冰雪

距离已知0(0,0),4(1,1),,C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点.

图I图2符用图

⑴根据上述定义，完成下面的问题：

①当m=2,九=1时，如图1,线段及7与线段04的“冰雪距离”是一

②当巾=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1,则n的取值范围是_

⑵如图2,若点B落在圆心为4半径为1的圆上，当九＞1