2024-2025学年人教版九年级数学上册重难点专练：一元二次方程（60题）（原卷版）

一元二次方程易错必刷题型专训

（60题20个考点）

【易错必刷——元二次方程的定义】（共3小题）

1.（23-24八年级下•安徽六安•阶段练习）若关于x的方程（加+1）^^+4》-5=0是一元二次方程，则机的

值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

5x

2.（23-24八年级下•全国•假期作业）下列式子：①2/+X-3;②k匚=2；©t2-m=l-4t-m;④

X+1J

（x+1）2=2（x+l）；⑤办2+bx+c=0；（6）x2+2x=x2-1;⑦（矿+。+1*=0；⑧Jx+1=x-1.其中一定是

一元二次方程的有（把所有正确选项的序号都填上）

3.（2022七年级上•浙江•专题练习）已知（加2一1）/-（加+Dx+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式

199（m+x）（x-2m）+m的值.

【易错必刷二一元二次方程的一般形式】（共3小题）

1.（23-24九年级上•四川遂宁•期末）将一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系

数和常数项分别为（）

A.5、—1、4B.5、4、—1C.5、一4、一1D.5、一1、一4

2.（23-24九年级上•江苏扬州•期中）把方程（3x-2）（x+1）=8化为ax2+bx+c=0（a>0）的形式为.

3.（22-23九年级上•广东惠州•阶段练习）把方程（2/+3）2-2（f-5）2=-41先化成一元二次方程的一般形式,

再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

【易错必刷三一元二次方程的解】（共3小题）

1.（23-24八年级下•浙江温州•期中）若。是关于x的方程3x2_x-l=0的一个根，贝U2024-6/+2。的值是

A.2026B.2025C.2023D.2022

2.（23-24八年级下•吉林长春•期中）已知X=〃是方程Y+%_1=o的根，则式子3"+3〃+2021的值

为_____________

3.（23-24九年级上•北京海淀•期中）已知加是方程％2_工_2=0的根，求代数式加（加-1）+5的值.

J【易错必刷四一元二次方程的解的估算】（共3小题）

1.（23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习）已知/一3》+1=0,依据下表，它的一个解的范围是（）

X2.52.62.72.8

-3x+1-0.25-0.040.190.44

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7C.2.7<x<2.8D.不确定

2.（23-24八年级下•江苏苏州•期中）观察表格，一元二次方程一一2x-1.1=0的一个解的取值范围

是.

X1.31.41.51.61.71.81.9

%22x—1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

3.（23-24九年级上•山西吕梁•阶段练习）阅读与思考：

下面是小华求一元二次方程的近似解的过程.

如图，这是一张长8cm、宽6cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底

面积是12cm2的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为xcm,列出关于x的方程

（8-2x）（6-2x）=12,整理得/一7x+9=0.

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程.

探索方程的解:

第一步：

X-1012

x2-7x+9179

因此：<X<,

第二步：

X1.51.61.71.8

x2-7x+90.750.36-0.01-0.36

因此：<X<.

（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出X的范围；

（2）通过以上探索，请直接估计出x的值.（结果保留一位小数）

j【易错必刷五直接开平方法】（共3小题）

1.（23-24八年级下•广西梧州•期中）已知方程（x-2）2=0的解也是方程x?-2加x+l=O的一个解，则优的值

是（）

54

A.2B.-2C.-D.-

45

2.（23-24八年级下•安徽淮北•阶段练习）方程（x+5）2-16=0的解是.

3.（23-24八年级下•全国•假期作业）用直接开平方法解下列方程：

（"-9=0

（2）3/-54=0.

3【易错必刷六配方法】（共3小题）

1.（2024•山东聊城•二模）用配方法解一元二次方程无2+6才+3=0时，将它化为（无+加”的形式，则加-"

的值为（）

A.3B.0C.-1D.-3

2.（23-24八年级下•山东烟台•期中）把关于x的一元二次方程K-8x+c=0配方，得（x-加尸=11,贝。

c+m=.

3.（23・24八年级下•安徽亳州•期中）解方程：X2-2X-3=1.

3【易错必刷七配方法的应用】（共3小题）

1.（23-24八年级上•福建泉州•期中）阅读材料：数学课上，老师在求代数式/一4》+5的最小值时，利用公

式/+2M+62=5+6）2,对式子作这样的变形：/+4x+5=》2+4x+4+l=（x+2）2+1,H^j（x+2）2>0,

所以（x+2『+121,当x=-2时，（x+2『+l=l,因此/+4x+5的最小值是1.类似地，代数式一f+6x+4

有（）

A.最小值为-9B.最小值为-5

C.最大值为5D.最大值为13

2.（23-24九年级上•山东青岛•期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重

要应用.

例如：求代数式-+4X+5的最小值？解答过程如下：

解：X2+4X+5=X2+4X+4+1=（X+2）2+1.

v(x+2)2>0,

.•.当x=-2时，(龙+2)2的值最小，最小值是0,

.-.(X+2)2+1>1,

.•.当(x+2)2=0时，(x+2y+l的值最小，最小值是1,

.­.x2+4x+5的最小值为1.

根据上述方法，可求代数式/一6苫+12当苫=时有最(填“大”或“小”)值，为.

3.(21-22八年级上•内蒙古赤峰•期末)仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式

222

a±2ab+b=(a±b)以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用.比如：已知孤丁满足

x2-2x+y2+6y+]0=0,求与、的值.我们可以这样处理：

解：•.・10=9+1(拆项)，

_2x+1)+(y2+6y+9)=0,

••.(x-1)2+(>>+3)2=0(配方)，

Xv(x-l)2>0,(y+3)2>0,

x-1=0,y+3=0,

———3

上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性

质来解决问题.

请利用拆项配方解题思路，解答下列问题：

(1)若x2+4x++5=0,则x=,y~；

(2)已知x,_V满足5x2-49+/一6工+9=0,求状，y的值；

(3)直接写出4+2x-J的最大值.

劣【易错必刷八根据判别式判断一元二次方程根的情况】(共3小题)

1.(23-24九年级下•云南昆明•阶段练习)已知关于x的一元二次方程，-5x+5=O的根的情况，下列说法

正确的是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

2.(23-24九年级上•西藏林芝・期末)一元二次方程，+2工-1=0根的判别式的值为.

3.（2023•贵州黔东南•一模）已知：关于x的一元二次方程/+〃7x=2-7〃,

（1）把这个方程化成一元二次方程的一般形式；

（2）求证：无论"2取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.

$【易错必刷九根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题）

1.（2024・安徽六安•一模）关于x的一元二次方程一一2》-后=0有两个不相等实数根，则左的取值范围是

（）

A.k<-lB.k>-lC.k>\D.左>-1且左20

2.（2024•江苏南京•三模）若关于x的方程近2-6x-9=0有实数根，则上的取值范围是.

3.（2024・四川南充一模）关于x的一元二次方程无2-（2左-1）》+/_2=0有实数根.

（1）求左的取值范围;

（2）如果后是符合条件的最大整数，且一元二次方程（小-1）无2+工+加-3=0与方程/_（2"1卜+公_2=0有

一个相同的根，求此时〃?的值.

/【易错必刷十公式法】（共3小题）

1.（23-24八年级下•安徽安庆・期中）若关于x的一元二次方程的根为尤=4±J（-4）2-4x1x（-2）,则这个方

2x1

程是（）

A.f+4x-3=0B.f-4x-l=0C.x2+4x-5=0D.x2—4x—2=0

2.（23-24七年级下•安徽马鞍山•期中）如果关于x的一元二次方程办2+乐+。=（）（02（））有两个实数根，且

其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程/+x=0的两个根是

再=0,x2=-l,则方程/+x=o是“邻根方程”.若关于X的方程办2+6x+1=0（。>0）是“邻根方程”，令

t=\Qa-b2,贝l|f的最大值是.

a3b-ab3（a>b）

3.（23-24八年级下•安徽阜阳•期中）对于实数a,b,定义新运算"#"：a#b=\}i,例如：

—+—（a<b）

[ab''

4#2,因为4>2,所以4#2=43*2-4x23=96.

（1）求（-2）#（-5）的值;

（2）若占，%是一元次方程/-5尤-6=0的两个根，求国#工2的值.

今【易错必刷十一因式分解法】

1.（23-24八年级下•安徽亳州•期中）关于x的一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）

A.-1B.0C.1和2D.-1和2

2.（2024•江西萍乡•二模）已知-2是关于x的一元二次方程x'+fcc-6=0的一个根，则这个方程的另一个根

为.

3.（2024八年级下•浙江•专题练习）有一个直角三角形，它的两边长是方程/_（2左+3勿+左2+3后+2=0的

两根，且第三条边长为5,求左的值？

j【易错必刷十二换元法】（共3小题）

1.（23-24八年级下•浙江金华•阶段练习）已知关于x的方程“（无+加『+6=0的解是否=-2,x2=\（a,m,

b均为常数，QW0）,那么方程a（2x+冽+1）2+6=0的解是（）

。13

A.石=-2,%=1B.再=0,9=~~

C.玉=-3,9=3D.无法求解

2.（2024・上海徐汇•三模）如果实数x满足一+乙一21了+4]-1=0,那么x+工的值是______.

XXJX

3.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：

解方程/一5/+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是:

设那么无4=必，于是原方程可变为必一5了+4=0①，解得乂=1,%=4.

当＞=1时，/=1,x=±l；

当y=4时，x2=4,x=±2；

;■原方程有四个根：％=1,x2=—I,x3=2,x4=—2.

这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想.

⑴方程X4-X2-6=0的解为.

⑵仿照材料中的方法，尝试解方程（/+4-4（/+x）-12=0.

31易错必刷十三一元二次方程根与系数的关系】

1.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）若abwl,且有5/+2024。+9=0,及96?+20246+5=0,贝的值是

b

（）

2.（23-24八年级下•浙江嘉兴・期末）已知关于x的一元二次方程办2+（a+2）x+l=0有两个不相等的实数根

西,三，且西＜1＜%,则实数a的取值范围为.

3.（2024•山东潍坊•二模）已知X],々是关于x的一元二次方程Y+2x-左=0的两根.

（1）求人的取值范围；

⑵若再+3x2=0,求左的值.

$【易错必刷十四构造一元二次方程解决问题】（共3小题）

1.（2024・内蒙古呼和浩特二模）若加1,且有5/+2。240+9=。，及胡+2。2咏5=。，则狮值是

（）

2.（2024•四川内江•二模）已知实数。，6满足=^+1=56,则白+:=______

ab

3.（23-24八年级下•广西贺州•期中）阅读材料：

材料：关于x的一元二次方程办2+区+。=0伍/0）的两个实数根%1,々和系数。，b,c有如下关系:

bc

Xy+%2=----，再％=一；

aa

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

⑴类比：1元二次方程2#+3尤-1=0的两个实数根为勿，n,则m+〃=_；mn=_.

（2）应用：己知一元二次方程2x2+3x-l=0的两个实数根为小，"，求/+〃2的值；

（3）提升:已知实数s,，满足2s2+3s-1=0,2»+3/—1=0且sW,求---的值.

st

【易错必刷十五传播问题】（共3小题）

1.（23-24八年级下•浙江杭州•期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患

病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（）

A.(x+1)2=100B.l+(x+l)2=100

C.x+x(l+x)=100D.1+x+x2=100

2.（2024•重庆大渡口•二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892

张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为—.

3.（22-23九年级下•吉林长春•阶段练习）有两人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，每轮传

染中平均一个人传染了几个人？

劣【易错必刷十六增长率问题】（共3小题）

1.（2024年黑龙江省龙东地区部分学校中考四模数学试题）2024龙年春晚主题为“龙行矗雕（da）,欣欣家

国”，“篇”这个字引发一波热门关注.据记载，“醯”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行矗矗”形容龙腾飞的

样子，昂扬而热烈.某服装店购进一款印有“■”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150

件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（）

A.20%B.22%C.25%D.26%

2.（23-24九年级下•重庆•期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，

2021、2022年投入资金一共为3440万元.设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为

x,根据题意，可列方程为.

3.（2024八年级下•浙江•专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统

计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件.

（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，

售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售

该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？

【易错必刷十七营销问题】（共3小题）

1.（23-24九年级下•山东淄博・期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的

售价为49元时，每天可售出150盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加20盒，要使该款大礼包每天

的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为（）

A.（49-x）1150+型］=6000B.（49+x）1150+型］=6000

C.（49+x）（150+20x）=6000D.（49一x）（l50+20x）=6000

2.（2024・广东佛山•一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用

纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件,

每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售

出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价元.

3.（23-24八年级下•安徽安庆•期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每

千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适

当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽

快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

A【易错必刷十八与图形有关的问题】（共3小题）

I.（23-24八年级下•浙江温州•期中）如图，一张长宽比为5:3的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的正方

形，用它做一个无盖的长方体包装盒.要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形

纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（）

_王5cm

A.5（5x+10）（3x+10）=200B.5（5x-5）（3x-5）=200

c.5（5x+10）（3x-10）=200D.5（5x-10）（3x-10）=200

2.（23-24八年级下•浙江•期中）如图是一块长方形菜地4BCD,AB=am,AD=bm,面积为Sn?.现将边

N8增加1m,边AD增加2m,若有且只有一个。的值，使得到的长方形面积为2sm?,则S的值是.

3.（23-24八年级下•山东济宁•期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其

余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙.

墙

（1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米?

（2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由.

J【易错必刷十八动态几何问题】（共3小题）

1.（23-24九年级上•河北廊坊・期末）如图，在中，AC=50m,BC=40m,/C=90。，点尸从点/

开始沿NC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点。由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移

动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.当△PC0的面积等于300m2时，运动时间为（）

C.5秒或20秒D.不确定

2.（23-24九年级上•河南南阳•阶段练习）如图，在AABC中，ZC=90°,NC=8cm,BC=6cm,点尸从点/

出发沿NC边向点C以lcm/s的速度移动，点。从C点出发沿C8边向点8以2cm/