利用空间向量研究距离问题讲义-2025届高三数学一轮专题复习

第七节利用空间向量研究距离问题

【知识梳理・归纳】

1.两点距

即求空间中两个点连线的线段长.转化为向量的模求解.

2.点到直线的距离

设A是直线I上的定点,P是直线/外一点，若u是直线I的单位方向向量，而是而在I上的投影向量.设而口,

则点P到直线/的距离PQ=J研-砌2=卜.11)2.

【微点拨】►已知向量直线I的单位方向向量为e,则向量。在e方向上的投影向量为|a|cos<a,e>e.即

⑷格交詈6故其模为|a-e|.

\a\\e\\e\

3.点到平面的距离公式

如图，点P为平面a外一点点A为平面a内的定点，过点P作平面a的垂线/,交平面a于点Q,则n是直线/

的方向向量，且点P到平面a的距离就是都在直线I上的投影向量丽的长度，则P0=|族.引=|誓|=等.

4.异面直线间的距离

⑴定义:两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离.

⑵求解公式:如图.设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为〃，这时分别在a,b上任取A,B两点，则向量荏

在n上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则月荏2|=等.

即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公

垂线的方向向量模的比值.

【基础小题・自测】

类型辨析改编易错

题号12,34

1.（多维辨析）（多选题）下列结论正确的是（）

A.点到平面的距离是该点与平面上点距离的最小值

B.点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线长度的最小值

C.直线/平行于平面%则直线I上各点到平面a的距离相等

D.直线I上两点到平面a的距离相等，则/平行于平面a

【解析】选ABC.由距离的最小性可知AB正确;C中直线1上任意点到平面«的距离相等,正确;D中直线I

可能与平面a相交.

2.（选择性必修一P34例6•变形式）正方体ABCD-AiBiCiDj的棱长为2,则AiA到平面&DQB的距离为（）

A.V2B.2C.—D.—

22

【解析】选A.由正方体性质可知,4A〃平面B^DBAiA到平面B^DB的距离就是点Ai到平面BDDB

的距离，连接AC,交囱。1于。1（图略）AOi的长即为所求由题意可得AO=/iCi=Vl

3.（选择性必修一P35练习2.变形式）直线I的方向向量为机=（1,0,-1）,且/过点41,1,1）,则点尸（-1,2,1）到I的距

离为（）

A.V2B.V3C.V6D.2V2

【解析】选B.直线I的方向向量为山峰1,0”),且I过点又点P(-l,2,l),

则而=(-2,1,0),贝!!|A尸]=有，

又因为|^|=I-2XI+IXO+OX(-I)L^

所以点尸(-1,2,1)到/的距离为/7#(加=V3.

4.(不能正确使用公式)若两平行平面a,p分别经过坐标原点O和点A(2,1,1).且两平面的一个法向量为

n=(-lQ1),则两平面间的距离是________.

【解析】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面p的距离”

而布=(2,1,1),所以平行平面a/间的距离/噂』I；2+OXI+IX1|=M当

答案号

【巧记结论・速算】

1.空间中的距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值.

2.平行线间的距离可以转化为点到直线的距离.

3.平面的平行线到平面的距离以及两平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离.

【即时练】

如图正四棱柱ABCD-AiBiCiD,中,AB=BC=l,A4i=2动点P,Q分别在线段CXD,AC上.则线段PQ长度的最

小值是()

5Ci

4

C.lD.-

3

【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,0,0),0),C(0,1,0),

Ci(0,l,2),

\P/

由题意可知，线段PQ长度的最小值为异面直线GD与AC的公垂线的长度,

则前=(-1,1,0),0^=(0,1,2),01=(1,0,0),

设向量”=(x,y,z),满足«±XC,n±DC7,

贝［］］加左=-%+y=0(x=y

biDC；=y+2z=0，解得

令y=2,则x=2,z=-l,BPn=(2,2,-l),

故同岛传誓=|

I几IJ

【核心考点•分类突破】

考点一点线距及其应用

[例1]⑴空间中有三点尸(l,-2,-2),M(2,-3,l),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为()

A.2V2B.2V3C.3D.2V5

【解析】选A.因为标=(1,1,1),

所以丽的一个单位方向向量为M=y(l,l,l).

因为两=(1,-1,3),

故|丽=J12+(-1)2+32=VTT,

PM-H=yX(l-l+3)=V3,

所以点P到直线MN的距离为J团庐一(两.2

=VTI3=2&.

(2)如图，在棱长为1的正方体中，已知E为CC上一点，且2CE=EC：在平面内作EF〃

A氏交C。于点尸,则直线EF与A'B之间的距离为.

【解析】以A为坐标原点,A8,A2A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图，则

1

4(0,0,1),8(1,0,0),£(1,1卓，

直线EF与AB之间的距离等于E到直线A'B的距离,

----->----->1-------»------>1

BA'=(-1,0,1),BE=(0,l

I丽=71函=[+台票

cos<BA'^BE>=竺,竺=—.

\BA'\\BE\eX竿10

<B7,BE>e[0,7t],

所以sin<BX;,BE>=

所以直线EF与A，B之间的距离等于E到直线A3的距离为前|sin＜瓯前＞=手义警=等.

3106

口

6

【解题技法】

向量法求点到直线的距离的方法

方法一:(1)求直线的方向向量.

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.

(3)利用勾股定理求解.

方法二:在直线上设出垂线段的垂足的坐标，利用共线和垂直求出垂足坐标，再求向量的模.

方法三:⑴求直线的方向向量；

⑵计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值，进而求出正弦值；

(3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模.再乘以夹角的正弦值即为所求.

提醒:平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解.

【对点训练】

如图,ABCD-跖GH是棱长为1的正方体,若尸在正方体内部且满足布=|荏+|而+|族，则P到直线的

距离为()

【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系，

贝A(O,O,O),B(1,0,0),Z)(0,1,0),E(0,0,1),

所以说=(1,0,0),而=(0,1,0),荏=(0,0,1),

则方=|(1,0,0)+如1,0)+|(0,0,1)=(|静,因为说=(1,0,0),

所以而在直上的投影向量的长度为

APAB_3

~\A§\=5,

所以点尸到的距离J|XP|2-(|)2=2,

六;G

rc

考点二点面距及其应用

［例2］如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为2的菱形,/8AD=60。,

ZAPD=90°MPA=PD,AD=PB.

⑴求证:

（2）（一题多法）求点A到平面PBC的距离.

【解析】（1）取AD的中点0,连接OP,O8,8O,（图略）

因为底面ABCD为菱形,/54。=60。，

所以AD=AB^BD.

因为。为的中点.所以BOLAD.

在中,PA=PD,O为AD的中点，

所以POLAD.

因为80”。=。,所以A"平面POB.

因为P3u平面POB.^XADLPB.

（2）方法一:由题意及⑴易知。尸=1,80=百,PB=2,

所以。尸2+8O2=PB2,所以OP^_OB

所以OP,OA,OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),8(0,6,0)。28,0),(0,0,1),

所以标=(-1,0,D,PB=(O,V3,-1),

PC=(-2,V3,-1),

设平面PBC的法向量为〃=(x,y,z),

贝Upr丽=V3y-z=0

\n-PC=-2x+V3y-z=0

不妨取y=l,则n=(0,l,V3),

所以点A到平面PBC的距离上华工当

|n|2

方法二:因为PA=PD,ZAPD=9Q°,

所以尸。=/。=1,由题意及⑴知PB=2,

XADLPB,BC//AD,^XBCLPB,

记A到平面PBC的距离为ASAPBC与2乂2=2,

则由VA-PBC=VP-ABC^|/?=|x|x2x2sin120。、1,所以扪=*

即A到平面PBC的距离为冬

【解题技法】

求点面距的步骤

(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.

(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.

⑶求向量:求出相关向量的坐标(而,a内两不共线向量，平面a的法向量«).

(4)求距离d=粤.

I川

提醒:求线面距、面面距可转化为点面距求解.

【对点训练】

1.如图，在三棱柱ABC-AiSG中,A3,平面BCCiJBi,BC=|AB=|AAi=2,BCi=2V3,MAB上的动点.

⑴证明：BC」CM

⑵若E为4G的中点，求点Ai到平面BCE的距离.

【解析】(1)因为A3,平面8BiGC,G8u平面BBCC.所以A8_LGB,

在ABCG中,8C=2,BCi=2W,CCi=AAi=4,

所以8c2+8C/=CC/,所以CB±CiB.

因为A8n8C=8,A8,8Cu平面ABC,

所以G8L平面ABC.

又因为CMu平面ABC,

所以

(2)由(1)知小8_LCB,BC_LG5AB_LBC,

以B为原点.建立如图所示的空间直角坐标系.

则B(0,0,0),C(2,0,0),Ci(0,2V3,0),Ai(-2,2V3,4),E(-1,2V3,2),

说=(2,0,0),BE=(-1,2V3,2),

设平面BCE的法向量为"=(尤,y,z),

贝岬5二胪1f；；2by+2z=。，

令产旧厕n=(0,V3,-3).

又因为AiC=(4,-2V^,-4),

故点4到平面BCE的距离

,_}0><4+(-28)义6+(-4)><(-3)|_医

_2\[3_7•

2.如图.在四棱锥O-A8C£＞中底面ABCD是边长为2的正方形,。4_L底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是

OA,BC,AD的中点.求:

(1)直线MN与平面OCD的距离；

⑵平面MNR与平面OCD的距离.

【解析】⑴因为。4,平面ABC。,四边形ABCD为正方形，所以OA1AD,OALAB,AB±AD,

以点A为坐标原点,AB,A。,A。所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则。2,2,0),。(0,2,0),0(0,0,2),〃(0,0,1)第2,1,0),尺(0,1,0),因为〃,尺分别为。44)的中点,则必?〃。。,因为必?，

平面0cD,OZ)u平面OCD,所以〃平面OCD,

因为AO〃BC且AZ)=BC,R,N分别为的中点，则CN〃RD旦CN=RD,

所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN//CD,

因为RNC平面OCZZCOu平面OCR所以RN//平面OCZ）,因为MRnRN=R,MR,RNu平面MNR,所以平面MNR

〃平面OCD,

因为MNu平面MNR,所以〃平面OCD,

设平面OCD的法向量为n=(x,j,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),

则2;=0取户1,可得”=（0,1/）,枇=（o,i,o）,

所以，直线MN与平面OCD的距离为4=誓=寻手

⑵由⑴知平面MVR〃平面OCR则平面MNR与平面OCD的距离为公喂吃考

【加练备选】

如图，已知正方形A8CD的边长为平面ABC。,且Pr>=l,E］分别为的中点，直线AC到平

面PEF的距离为.

P

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系则。（0,0,0）,p（o,o,1）4（1,0,0）,C（o,1,0）,

设平面PEP的法向量为"=(x,y,z),

(1

x+-y-z=0

=Qn即12，，

=0-x+y-z=0

解得x/令得〃二（2,2,3）,

因为E,F分别为AB,BC的中点,

所以EF//AC.5LEEu平面平面PEF,所以AC〃平面PEF,

所以直线AC到平面PEF的距离为绑=*=誓

\n\V1717

答案弯

考点三异面直线之间的距离

[例3]⑴在长方体ABCD-AxBxCyDx中,A8=l,BC=2,44i=3厕异面直线AC与BCi之间的距离是()

A-fBTCTD?

【解析】选D.以D为原点建立空间直角坐标系如图所示,

X

则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),Q(0,1,3),

所以刀=(2,-1,0),西=(-2Q3),

设CA和BCi的公垂线的方向向量为〃=(xj,z),

则有卜•野°即『；30不妨取尸3,

所以"=(3,6,2),又屈=(0,1,0),

所以异面直线AC与BCi之间的距离

|ABn|6=6

I|n|I=2+62+227,

(2)长方体ABCD-AiBiCiDi^P,AB=AA1=2,AD=l,E为CCi的中点，则异面直线5G与AE之间的距离是()

A

-1B奈

C

-1D等

【解析】选D.如图.连接AA,由长方体的结构特征可知,A8〃GOi,A8=CiOi,

则四边形ABGOi为平行四边形，得BCi//ADi,

因为Adu平面ADiEIGC平面ADiE,

所以8G〃平面ADiE,

则异面直线BCi与AE之间的距离即为BCi到平面AD.E的距离，也就是B点到平面ADiE的距离,

以D为坐标原点,分别以OAQCQD所在直线为匹阴轴建立空间直角坐标系，则

A(l,0,0),£(0,2,1),01(0,0,2),B(l,2,0),

珂=(-1,0,2),届(-1,2,1),荏