人教版九年级数学上册二次函数复习讲义

二次函数复习讲义

舔知讲续

知识点1:二次函数的定义

一般地，如果y="x2+历•+■%瓦c■是常数，aW。），那么V叫做才的

细节剖析

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aWO）,那么y叫做x的二次函数.这里，当2=2_时就不是二次函数了,

但b、c可分别为,也可以同时都为.a的绝对值-抛物线的开口

知识点2：二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①.y=aM；®y=az3+k；③y=—及尸；④¥=”（工一及丫+比，

其中〃=一2,k=~:（§）'="/+力才+£1.（以上式子£1/0）

2a4a

几种特殊的二次函数的图象特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

才=°（丁轴）(0,0)

2

y-ax当。＞0时r=o轴)(0,乃

y=a(x一期r开口向上齐二力心，0）

当a〈°时

y=以（大一力y十比x=A(缸k)

开口向下

bb4ac-b2

y-dzx4-AxA-eA-

2a（7.a）

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

⑴依的符号决定抛物线的：当时，开口；当avO时，开口；同相等,

抛物线的相同.

(2)平行于沙轴(或重合)的直线记作x=k.特别地，尸轴记作直线K=0.

3.抛物线y=ox2+〃x+c(aW0)中，a,Z>,c的作用：

(1)&决定,这与中的」完全一样.

⑵办和a共同决定抛物线.由于抛物线y=4户+bx+e的对称轴是直线汗=,

故：①占=0时，对称轴为V轴；②2>0(即4、占同号)时，对称轴在尸轴左侧；③2<0(即仪、

S异号)时，对称轴在尸轴右侧.

(3)。的大小决定抛物线y=a#+bx+e与丁轴交点的位置.

当工=0时，T=c,.•.抛物线yuaf+bx+e与V轴有且只有一个交点-

①。=0,抛物线经过原点；②e>0,与尸轴交于；③c<0,与V轴交于,

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在沙轴右侧，则-<0.

a

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：y=ax2+bx+e(a#0).已知图象上三点或三对x、>的值，通常选择

(2)顶点式：y=a(x-期y+4(a#0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择

(可以看成y=的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与x轴的交点坐标马、叼，通常选用

y=0(l一5)(兀一"2)(a#0).(由此得根与系数的关系：西+句=一勺，再叼=£)♦

fia

细节剖析

求抛物线y=ax2+bx+c(aWO)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：二这三种方

法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.

知识点3：二次函数与一元二次方程的关系

函数V="/+bx+c(aH0),当y=Q时，得到一元二次方程a/+bx+c=0(aH0),那么一元二

次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的,因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二

次方程根的情况.

⑴当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时入=炉-4公>。，则方程有两个

⑵当二次函数的图象与X轴有且只有一个交点，这时A=产-4讹=0,则方程有L

⑶当二次函数的图象与x轴没有交点，这时A=V_4加(0,则方程

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:

细节剖析

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时入＞0,则方程有两个；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时八=/-4a。=0,则方程有-

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时&=$2-4加〈0,则方程

知识点4：利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的

公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时

要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的_______________________一

(2)把实际问题中的一些数据与点的联系起来；

(3)用待定系数法求出________________________一

(4)利用二次函数的图象及其性质去

细节剖析

常见的问题：求最大(小)值(如求、最大、最小等)、涵洞、桥梁、抛物体、

抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的

争点典例分格

考点1:二次函数的图象

【例题1】(2020•青岛模拟)如图，a<0,b>Q,c<0,那么二次函数y="2+bx+c的图象可能是(

【变式1T】(2019•海曙区一模)在坐标平面内，以x轴上的1个单位长为底边按一定规律向上画矩形条.现

已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表

单位底—3〜—2—2〜—1—1-00-11〜22〜33〜4

位置

矩形条13.515

高

若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上.

(1)根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标.

(2)求这个函数解析式；

(3)若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积.

考点2：二次函数的性质

【例题2】(2020秋•福清市期中)抛物线>=(%-4)2_3的顶点坐标是()

A.(-4,3)B.(-4,-3)C.(4,3)D.(4,-3)

【变式2-1](2019秋•邺城县期末)已知：二次函数为>=非-x+机，

(1)写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；

(2)，"为何值时，顶点在x轴上方；

(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB//x轴交抛物线于另一点3,当S=4时，求此二次函数的解析

式.

考点3：二次函数图象与系数的关系

【例题3](2020•田家庵区校级自主招生)二次函数y=。冗2+bx+c的图象如图所示，下列结论：(1)b<2a;

(2)a+c-b>0;(3)b>c>a;(4)+2ac<3ab.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【变式3-1）（2017秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=4X2+4办+4。-4（。NO）

的顶点为A.

（1）求顶点A的坐标;

（2）过点（0,5）且平行于龙轴的直线/,与抛物线y=ax2+4ax+4-4（a/0）交于8、。两点.

①当。=1时，求线段5C的长；

②当线段8c的长不小于8时，直接写出。的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1-

IIIII,

-5-4-3-2-10-12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

考点4：二次函数图象上点的坐标特征

【例题4]（2020•河北）如图，现要在抛物线y=x（4-尤）上找点尸（。淮），针对6的不同取值，所找点P的

个数，三人的说法如下，

甲：若方=5,则点尸的个数为0；

乙：若6=4,则点尸的个数为1；

丙：若b=3,则点尸的个数为1.

下列判断正确的是（）

A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对

【变式4-1](2020•周村区一模)如图，过函数〉="2(°>0)图象上的点8,分别向两条坐标轴引垂线，垂

足分别为A,C,线段AC与抛物线的交点为少则等的值为

【变式4-2](2020•温州)已知抛物线y=皿+fee+1经过点(1,-2),(-2,13).

(1)求0,6的值.

(2)若(5,y),(nt,y)是抛物线上不同的两点，且y=12-y)求机的值.

1221

考点5：二次函数图象与几何变换

【例题5】(2020•陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-l)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单

位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式5-1](2020秋•广陵区校级期中)把二次函数>=办2的图象向左平移1个单位后经过点(0,2),所得

到的抛物线解析式是.

考点6：二次函数的最值

【例题6】（2020•泉州模拟）二次函数y=x2+px+q,当0无1时，此函数最大值与最小值的差（）

A.与p、q的值都有关B.与p无关，但与q有关

C.与p、q的值都无关D.与p有关，但与q无关

【变式6-1］（2020•碑林区校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为8,点E、尸分别在边4）、8c上,

AE=CF=3,点G、H在正方形ABCD的内部或边上，若四边形EG阳是菱形，则菱形的最大面

积为.

考点7:待定系数法求二次函数解析式

【例题7】（2020•昌图县校级一模）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（）

A.y=X2-2x+3B.y=X2-2x-3C.y=X2+2x+3D.y=X2+2x-3

【变式7T】（2020•浙江自主招生）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点8,C在x轴上,

04=8,AB=AC=10,点。在AB上，CD与y轴交于点E,且满足S=S，则过点5,C,E的

ACOEAAOE

抛物线的函数解析式为.

考点8：二次函数的三种形式

【例题8】（2020秋•西林县期中）将二次函数y=2x2+3x-1化为y=（x+/i）2+Z的形式为（）

A〜3、11n〜3、13

A.y=2(xH—)2---------B.y=2(xH—)2------------------

2244

八C/3、17n_3、11

C.y=2(XH—)2---------D.y=2(XH—z)2------------------

4848

考点9：抛物线与x轴的交点

【例题9】（2020秋•丰南区期中）如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0x3）,记为C,它与x轴交于点O,

1

A;将C绕点A旋转180。得C，交x轴于点A;将C绕点A旋转180。得C,交x轴于点A;…，如此

1I1222233

进行下去，直至得C.若尸（32,7”）在第11段抛物线C上，则加值为（）

1311

A.2B.1.5C.-2D.-2.25

【变式9-1](2020秋•思明区校级期中)老师给出了二次函数y=ox2+bx+c(a/0)的部分对应值如表:

X-3-20135

y70-8-9-57

下列结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当-2Vx<4时，y<0；④x=3是方

程办2+for+c+5=0的一个根；⑤若4(x，5)，B{x,6)是抛物线上两点，则无<x.其中正确的是(只

1212

填写序号).

【变式9-2](2020•温州二模)如图，抛物线>="2-3ax+4(a<0)与x轴交于A、8两点，与y轴交于点

C,直线y=m,交抛物线于。、E两点.

(1)当〃=-一时，求A,5两点的坐标；

5

(2)当机=2,。石=4时，求抛物线的解析式；

(3)当〃=-1时，方程on-3"+4二机在-6x<4的范围内有实数解，请直接写出租的取值范围：.

考点10：图象法求一元二次方程的近似根

【例题10】（2018秋•平度市期末）如表给出了二次函数y=x2+2尤-10中x,y的一些对应值，则可以估计

一元二次方程尤2+2x-10=0的一个近似解为（）

X2.12.22.32.42.5

y-1.39-0.76-0.110.561.25

A.2.2B.2.3C.2.4D.2.5

【变式10TH2019秋•灌云县期末）已知二次函数y=62+fec+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表,

则方程ax^+bx+c=0的一个解的范围是

X6.176.186.196.20

y-0.03-0.010.020.04

【变式10-2】（2017秋•郑城县月考）已知二次函数'=-整一2x+2.

（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

X-4-3-2-1012

y

（2）结合函数图象，直接写出方程-心-2x+2=0的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）.

考点11:二次函数与不等式（组）

【例题11】（2020秋•东城区校级期中）如图,直线y=2%和抛物线y=-X2+4%