2025年高考数学总复习：函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用

考试要求：1.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.

2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长

速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.

-------------必备知识落实“四基”-------------

自查自测

知识点指数函数、对数函数、幕函数模型性质比较

1.判断下列说法的正误，正确的画“，错误的画“义”.

⑴某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，

则每件还能获利.(X)

(2)函数丫=2工的函数值比y=r的函数值大.(X)

(3)不存在xo，使谈。<X0<logaXo(a>O,aWl).(X)

(4)“指数爆炸”是指数型函数y="+c(aH0,b>0,bWl)增长速度越来越快的形象比

喻.(X)

x

2.已知/(x)=f,g(x)=2,/z(x)=log2x,当xG(4,+8)时，对三个函数的增长速度进行

比较，下列选项中正确的是(B)

A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)

C.g(x)>/z(x)>/(x)D./(x)>/i(尤)>g(x)

核心回扣

三种函数模型的性质

函数

性质

y=ax(a>l)y=logd(a>l)y=xn{n>0)

在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现

图象的变化随”值变化各有不同

为与y轴平行为与X轴平行

值的比较存在一个配，当工>沏时，有log/VPV炉.

注意点：

“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快,其增长量成倍增加，常

用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢,其增长速度缓慢.

核心考点提升“四能”

考点一利用函数的图象刻画实际问题

1.（2024・泰安模拟）某工厂从2015年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产

量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y

与时间/的函数图象可能是（）

B解析：由题意可得图象的几何特征为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐减小，然后斜

率变为一个固定的值，符合此特征的只有选项B中的图象.故选B.

2.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA向点A运动.设点

产运动的路程为x,的面积为S,则函数S=/（x）的图象是（）

D解析：依题意，知当0WxW4时，/⑴=2无；当4aW8时，/（尤）=8;当8aW12时，/（x）

=24—2x.观察四个选项知D项符合要求.

3.（2022•北京卷）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界

直冷制冰技术，为实现绿色冬奥做出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与

T和坨尸的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是Mr.下列结论中正确的

是（）

A.当7=220,尸=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,尸=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,尸=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

D解析：当7=220,尸=1026时，lgP>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误;

当T=270,尸=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误；

当T=300,P=9987时，IgP与4非常接近，此时二氧化碳处于固态，故C错误；

当7=360,P=729时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选D.

A反思感悟

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻

合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.

考点二已知函数模型解决实际问题

1.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品，成本增加10万元.总

收入K是单位产品数Q的函数，K(0)=4O。一《02,则总利润工(°)的最大值是万

兀.

2500解析：由已知，得工(。)=风。)-100—2000=(400—《0)—100—2000=一《(。

—300)2+2500,因为一(V0,所以当。=300时，L(Q)max=2500(万元).

2.某市家庭煤气的用气量x(单位：n?)和煤气费/(x)(单位：元)满足关系f(x)=

(C，已知某家庭2024年前三个月的煤气费如表：

4),x>A.

月份用气量煤气费

1月4m34元

2月25m314元

3月35m319元

若4月该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为元.

11.5解析：根据题意，分析可得/(4)=C=4,/(25)=C+B(25—A)=14,/(35)=C+B(35

।(4,0cxW5,।

-4)=19,解得4=5,8=:C=4,所以/(x)=i,、所以420)=4+1X(20

2(4+/-5),x>5,2

-5)=11.5.

►■反思感悟

已知函数模型解决实际问题的解题关键

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

考点三构造函数模型解决实际问题

考向1指数(对数)函数模型

【例1】(2024.石家庄模拟)当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质.光线透

过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率为90%(即光线强度减

弱10%),若光线强度要减弱到原来的?以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是(参考数据：

1g2心0.30,1g3^0477)()

A.30块B.31块

C.32块D.33块

B解析：设原来的光线强度为a(a>0),则要想通过"块这样的玻璃之后的光线强度减弱到

原来的《以下，即aX(90%)"<(a,即0.9”<氐两边同时取以10为底的对数，得IgO.9yg5，

化简得心二=一2(1一32乜-2+2x0.30处304故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线

21g3-l21g3-l2x0.477-1

强度减弱到原来的(以下.故选B.

>反思感悟

指数函数与对数函数模型的应用技巧

(I)要先学会合理选择模型•指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，

与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.

⑵在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，

再借助函数的图象和性质求解最值问题.

考向2二次函数、分段函数模型

【例2】民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型

农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略做出了巨大的贡献.某农民

专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，

-x2+2x,0cxW10,

每代加工X万件该品牌的服装，需另投入了(无)万元，且/(尤)=表根

14x+--115,10<xW50.

IX

据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工

费.

(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工所获年利润M单位：万元)关于年代加工量

x(单位：万件)的函数解析式.

(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大？

并求出年利润的最大值.

解：⑴当0<xW10时，y=12x—0£+2x)—30=—*+10x—30;

当10<xW50时，j=12x-(14x+^-115)-30=-2x-^+85.

一!E+lOx—30,0<xW10,

故-450-

~2x-.......F85,10VxW50.

IX

(2)当0<xW10时，函数y=—*+10龙一30为开口向下的二次函数，且对称轴为直线x=10,

所以y=-¥+10x—30在（0,10]上单调递增，

故ymax=一；义102+10X10—30=20（万元）.

当10<xW50时，y=—2x—?+85=85—（2x+?）W85—2^2x—=25,

当且仅当2x=苦，即X=15时，等号成立，此时ymax=25（万元）.

因为20<25,所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工所

获年利润最大，最大值为25万元.

A反思感悟

应用函数解决实际问题的步骤

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的函数模型.

③解模：求解函数模型，得出数学结论.

④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.

多维训练

•••---------------------------------■

1.（2024.广东一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”

都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.

那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍.（参考数据：馆102-2.008

6,1g99®=1.9956,lg2«0.3010）（B）

A.23B.100

C.150D.232

2.某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知

1

400%--X2,0Wx<400,

总收入。（单位：元）与产量%（单位：个）满足函数。（X）=12

80000,x>400.

⑴将利润尸（单位：元）表示为产量x的函数（总收入=总成本+利润）.

⑵当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元（单位利润=利润:产量）?

解：（1）当0WxW400时，P（x）=400x-^-20000-100%=-^+300^-20000;

当x>400时，P（x）=80000-100x-20000=60000-100x.

-ix2+300x-20000,0WxW400,

故P（x）=[2

60000—lOOx,x>400.

（一.一出四+300,0<x<400,

（2）设零件的单位利润为g@）,由（1）可得g（x）={60短）'

-------100,x>400.

当0WxW400时，g（x）=300—《x+等）W300—2.等=100,

当且仅当工=出丝，即x=200时，等号成立；

2x

当x>400时，g（x）=丝詈-100<50.

故当产量为200个时，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.

课时质量评价（十四）

。考点巩固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

1.（2024.枣庄模拟）某种动物繁殖量y（单位：只）与时间x（单位：年）的关系为〉=41（电3@+1）,

设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（）

A.200只B.300只

C.400只D.500只

A解析：由题意，繁殖量y与时间尤的关系为y=alog3（x+l）.又这种动物第2年有100

只，即当x=2时，>=100,所以100=alog3（2+l）,解得。=100,故y=1001og3（尤+1）.所

以当x=8时，y=100Xlog3（8+l）=100X2=200.故选A.

2.如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过

3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间r

之间的函数关系的图象只可能是（）

B解析：由于所给的圆锥形漏斗上口径大于下口径，当时间取夕时，漏斗中液面下降的高

度不会达到漏斗高度的;，对比四个选项的图象可得结果.故选B.

3.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分

不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

全月应纳税所得额税率

不超过3000元的部分3%

超过3000元至12000元的部分10%

超过12000元至25000元的部分20%

有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）

A.2000元B.1500元

C.990元D.1590元

D解析：由题意，职工八月份收入为20000元，其中纳税部分为20000—5000=15000（元），

其中不超过3000元的部分，纳税额为3000X3%=90（元），超过3000元至12000元的部

分，纳税额为9000义10%=900（元），超过12000元至25000元的部分，纳税额为3000X20%

=600（元），所以该职工八月份应缴纳个税为90+900+600=1590（元）.故选D.

4.（新情境）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功.神舟十

七号是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第二次载人飞行任务.载人飞船进入

太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级4=20Xlg乙，其中大于0的常数po是听觉下限阈值，p是实际声压.声压级的单

P0

位为分贝32）,声压的单位为帕（Rz）.若人正常说话的声压约为0.02尸历且火箭发射时的声

压级比人正常说话时的声压级约大100匹，则火箭发射时的声压约为（）

A.2PaB.20Pa

C.200PtzD.2000Pa

D解析：设人正常说话时的声压级为£“，火箭发射时的声压级为乙，则乙-乙=100.又人

正常说话的声压pi=0.02Rz,火箭发射时的声压为p2,于是G=20xlg—,L}=20Xlg^,

120P2Po

两式相减得20（馆及一30.02）=100,解得p2=2000,所以火箭发射时的声压约为2000R?.

故选D.

5.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的

固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本co（x）万元，C9（x）=

x2+10x,0<xW40,

10000..若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则

7\x-\..........-945,x>40.

该企业每年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.875万元D.900万元

（70x-（x2+10x+25）,0<xW40,

C解析：由题意，设该企业每年利润为了（无）=Z000\当

70x-（7lx10+-945+25）,x>40.

0<xW40时，/（x）=—r+GOx—25=—（x—30尸+875,在x=30时，/（x）取得最大值875;当

尤>40时，/（x）=920—（x+呼，W920—2Jx•竺詈=720（当且仅当x=100时等号成立）,即在

尤=100时,/（x）取得最大值720.因为875>720,所以该企业每年利润的最大值为875万元.故

选C.

6.如图所示，学校要建造一面靠墙（墙足够长）的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造

围墙的材料总长是60要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为m.

X

10解析：设每个花圃的面积为y,则产x•丝9=一I£+30x=-|（X-10）2+150（0<X<20）,

所以当x=10时，y最大.

。高考培优

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

7.（2024•深圳模拟）某生物研究所于元旦在实验水域中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在水中

的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24根2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为

36加2,凤眼莲覆盖面积y（单位：疗）与月份》的关系有两个函数模型>=阮”左>0,”>1）与y

1

=px2+q（p>0f4>0）可供选择.

⑴试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

⑵求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.（参考数据：1g2处0.3010,1g

3七0.4771）

1

解：⑴函数y=fa/（fc>0,〃>1）与y=px，+如>0,9>0）在（0,+8）上都是单调递增的，

随着x的增加，函数>=%户（左>0,。>1）的值增长的越来越快，

1

而函数y=px2-\-q的值增长的越来越慢，

由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y