浙江省杭州市某中学2024年新高一分班考试数学试题

学军中学新高一分班考数学卷

一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.

1.下列四个命题：

①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；

③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.

其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理，分别判断即可.

【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故①错误；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故②错误；

③三角形有且只有一个外接圆，是真命题；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，是真命题，

所以③④是真命题.

故选：B.

2.如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差

依次是（）

A.28,28,1B.28,27.5,3C.28,28,3D.28,27.5,1

【答案】A

【解析】

【分析】根据统计图，列出这组数据，利用众数、中位数、方差的定义和计算公式即得.

28+28

【详解】由统计图可知，这组数据27,27,28,28,2830,显然众数为28,中位数为-------=28,

2

_11

平均数为：%=-（27+27+28+28+28+30）=28,则方差为：52=-（12+12+22）=1.

66

故选：A.

3x—2y=3〃-4

3.已知方程组I。。八.的解满足则〃的取值范围是（）

2x-3y=2a-l

A.a>lB.a<lC.a>5D.a<5

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，用。表示出九一y即可列出不等式求解得结果.

3%-2y=3。-4

【详解】由方程组4ccc1,得5x—5y=5〃—5,即%—y=a—1,而

2x-3y=2a-l

因此a—l>0,解得所以。的取值范围是々>1.

故选：A

4.如图，在直角ABAD中，延长斜边8。到点C,使BD=2DC,连接AC,tan3=』，贝han/C4O的值

3

是（）

A.昱B.走C.-D.-

3535

【答案】D

【解析】

【分析】过点。作交AO的延长线于点E，由tanB=*,即空=?,设AT>=5x,则

3AB3

35

AB=3x,可得△CDE~ABZM,进而求得CE=—x,DE=—x,则求得tanNC4D的值.

22

【详解】如图，过点C作CELAO交AD的延长线于点E,

因为tanB=3,即丝=*,

3AB3

设AD=5x,贝UAB=3x,

因为NCDE=ABDA,ZCED=ZBAD,

所以ACDE〜ABDA,

,CEDECD1

所以===—

ABADBD2

35

所以CE=—x,DE=—x,

22

FC1

所以tanNC4D=2=±.

AE5

故选：D.

5.如图，在RtAiABC中，AC,BC,ZACB=90°,四边形〃均为正方形，点E在AC上，点

/在3c上，J为边。G的中点，则G4的长为（）

60100

A.——B.1C.—D.-----

2177259

【答案】C

【解析】

32

【分析】设GH=x,由勾股定理可得A3=5,利用三角形相似可求得“B=—x,AF=-x,又

43

AB^AF+FG+GH+HB,可得x的方程，求解即可.

【详解】设GH=x,

因为RtZ\"C中，AC=4,3C=3,ZACB=90°,

所以AB=JAC2+BC2=打+42=5,

因为四边形DEFG,G〃"均为正方形，所以RSBHZ~RUEK4~RG5C4,

所以型=空BC3333

所以HB=3IH=3GH=±x,

IHAFAC4444

448

因为J为边。G的中点，所以EG=DG=2x,所以AF=—EF=—EG=—x,

333

o360

又所以A8=+FG+G^Z+HB,所以5=—x+2%+%H—x,解得％=—.

3477

故选：C.

6.如图，正方形O43C的一个顶点。是平面直角坐标系的原点，顶点A,C分别在y轴和x轴上，P为边

0c上的一个动点，且BPLPQ，BP=PQ,当点尸从点C运动到点。时，可知点。始终在某函数图象

上运动，则其函数图象是（）

C.抛物线的一部分D.不同于以上的不规则曲

【答案】A

【解析】

【分析】首先设正方形Q45c的边长是则点2的坐标是（。,。），设点。的坐标是（x,y）,点尸的坐标

是。,0）（0W6Wa）;然后根据BPLP。，BP=PQ,推得y=a—>，再根据OwbWa,可得。

所以其函数图象是线段.

【详解】设正方形Q46c的边长是。，则点3的坐标是

设点。的坐标是（工,丁），点尸的坐标是（b,Q）,（,O<b<a）,

PQ±BP,

上x入’一——L19

x-ba-b

a2y2

①,

・・・PQ=BP,

yl(x-b)2+y1=yj(a-b)2+O2，

22

/.(x-Z?)+y=(a-Z?)2+Q2②，

把①代入②，可得已+4（"4+心

整理，可得V=（0—6）2,

1.,y>0,b<a,

/.y=a-b,

*:G<b<a,

:.0<y<a,

・,•点。在某函数图象上运动，则其函数图象是线段.

故选:A.

7.如图，以点M（—5,0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A,2两点，尸是。M上异于A,8的一动点，直

【答案】C

【解析】

【分析】通过证明相似三角形的方法，结合圆的几何性质求得所.

【详解】连接NE,设圆N的半径为r，ON=x,则OD=r—x,OC=r+x,

依题意，04=9,03=1,ZAPB=ZBOD=ZCPD=ZAOC=90°,

对顶角ZPBA=ZOBD,所以ZPAB=ZODB,

匚…人匚…OCOAr+x92c

所以~△AOC4,所以=,----=-----J2—x—9,

OBOD1r-x

由垂径定理得OE?=OF2=NE2-ON2=r2-x2=9.OE=OF=3,

所以印=6.

故选：C

8.已知二次函数图象的对称轴为九=1,且过点A(3,0)与3(0,1.5),则下列说法中正确的是()

①当0«兀＜2应+1时，函数有最大值2；

②当0KxK2j5+l时，函数有最小值一2；

3

③尸是第一象限内抛物线上的一个动点，则APAB面积的最大值为万；

④对于非零实数相，当兀〉1+工时，y都随着x的增大而减小.

m

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象、性质逐一判断即可.

【详解】由二次函数图象的对称轴为九=1,且过点A(3,0),得该图象还过点(-1,0),

设二次函数的解析式为y=a(x+l)(x—3),由图象过点3(0,L5),得—3a=L5,解得a=—1，

2

11

因此二次函数的解析式为y=—5(x+l)(x—3)=—Q(x—1y9+2,

对于①，当0«%＜2应+1时，x=l,V取得最大值2,①正确；

对于②，当OWxW20+l时，x=2^2+1,V取得最小值-2,②正确；

3113

对于③，设直线AB方程为y=丘+—,由％=3,y=。，得左二—一,即直线AB：y=——X+—,

2222

3

过点P作直线PQ//y轴交A3于。，设P(x0,%)(0＜与＜3),取/=5，

11391Q273

则尸。二—彳(%—+2—(―彳/+彳)=G,此时△以□&面积为彳X[x3=—^＞彳，③错误；

22282o162

对于④，当机＜0时，1当1+工＜%＜1时，y随着X的增大而增大，④错误，

mm

因此说法中正确的是①②.

故选：A

二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分

9.已知。是实数，且满足(a-3)万工=0,则代数式2a2—4a+1的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】由根式有意义，求出。的范围，结合等式特点求出。的值，代入所求式计算即得.

详解】由(a—3)万工=0有意义，可得2—即aW2,故a—3#0,

依题意，须使2—。=0,即。=2,

此时，2«2-4«+l=2x22-4x2+1=1-

故答案为：1.

33

10.已知函数y=Z(x+l)(x—：),下列说法：①方程左(x+l)(x——)=—3必有实数根；②若移动函数图象

kk

使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当左＞3时，抛物线顶点在第三象限；④若左＜0,则

当尤＜-1时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是.

【答案】①③

【解析】

【分析】利用二次函数与工轴的交点及二次函数的性质，逐一判断各个选项即得.

33

【详解】二次函数y=上口+1)(%——)与x轴交于点(-1,0),(-,0),

kk

333

对于①，方程左(x+l)(x——)=—3化为依(x+1——)=0,解得％=0或X=——1,①正确；

kkk

3

对于②，将函数y=k(x+l)(x—-)图象向右移动1个单位或向右(左＜0)、

k

向左(左〉o)平移1个单位，所得函数图象都过原点，②错误；

3

32-1

对于③，当左＞3时，一＜1,抛物线开口向上，对称轴k又与x轴有两个交点，

kX=27Q

则抛物线顶点在第三象限，③正确；

对于④，取左=—1,抛物线y=—(x+D(x+3)的开口向下，对称轴为无=—2,

当—24＜—1时，y随着尤的增大而减小，④错误，

所以正确的序号是①③.

故答案为：①③

1L如图，△COD是AAOB绕点。顺时针旋转40。后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且NA。。的度

数为90。，则的度数是.

【答案】60°

【解析】

【分析】根据等腰三角形、直角三角形的知识求得正确答案.

【详解】依题意得ZBOC=90°-40°-40°=10°,

1800-40°

而Q4=OC,所以NOAC=-----------=70°

2

由于NAO3=40°+10°=50°，

所以ZB=180°—70°—50。=60。.

故答案为：60°

12.如图，在5x5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△A8C相似的最小

的三角形与最大的三角形的面积比值为.

10

【解析】

【分析】根据相似三角形的知识求的正确答案.

【详解】不妨设小正方形的边长为1,则BC=0,AB=2,AC=1再，

则最小的三角形（最短的边长为1）边长分别为也

如下图所示三角形DEF,

最大的三角形（最长的边长为5虚）的边长分另!J为1乂痴=&5,0*痴=26,&\何=5忘,

如下图所示三角形/GH.

1

最小的三角形与最大的三角形的相似比为砺，

所以面积比为2.

10

故答案为：—

13.如图，边长为2的等边VA3C的顶点A、B分别在NMON的两边上滑动，当NMQV=45。时，点。与

【答案】1+0+6

【解析】

【分析】取A3中点E,确定OC取得最大值的条件，再结合直角三角形求解即得.

【详解】取中点E，连接CE,OE,

由7ABe是等边三角形，得CE，AB,CE=2sin60。=6，

显然OC<OE+CE,当且O,E,C三点共线时取等号，此时

在OE上取点尸，使石尸=石4=1,连接AF,则AR=J5,NAEE=45°,

在等腰△OA5中，由OELAB,得NAOF=22.5°，则/。4R=45°—22.5°=NAO/，

于是OF=AF=及，所以点。与点C的最大距离是l+0+6.

故答案为：1+J^+G

M,

BA

OAN

14.如图，正方形ABC。的边长为4,点。是对角线AC,5。的交点，点E为边CD的中点，连接3E,过

点。作。尸，3区垂足为忆连结0死则。尸的长为.

AD

BC

【答案】工而##3®

55

【解析】

【分析】在BE上截取56=5,连接0G,证明△OBGgaOb，从而推出。GLOE,继而求出相

关线段长，在等腰直角三角形。GF中即可求得答案.

【详解】在8E上截取BGuCF,连接。G,

AD

K

BC

四边形ABCD为边长为4的正方形，即

AB=BC=CD=AD=4,ZBCD=ZABC=ZBAD=ZADC=90°,

在RIABCE中，CF_LBE,ZEBC=ZECF,

则NO3G=NOGF,

在AOBG^OCF中，OB=OC,ZOBG=ZOCF,BG=CF,

故△OBG丝AOCF,：OG=OF,ZBOG=ZCOF,

故ZGOF=ZGOC+ZCOF=ZGOC+ZBOG=90°，故。G，OE,

又BC=DC=4,DE=CE=2,故BE7BC?+CE?=2⑥

由射影定理得BC2=BFBE，即42=275,BF=半，

EF=BE-BF=^-

5

又；CF'=BF•EF，故。/=勺5，则GF=BF-BG=BF-CF=囚"

55

在等腰直角三角形。GF中，OF=^GF=^^~，

25

故答案为：友。

5

15.如图，矩形ABC。为。。的内接矩形，AB=y[3,BC=3,点E为弧BC上一动点，把弓形沿AE折叠,

使点。恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为.

【答案】电—走

42

【解析】

【分析】根据题意推出AABO为等边三角形，可得点B为弧AE所在圆的圆心，进而求出加'的长，结合扇

形面积公式，即可求得答案.

【详解】连接AC,加，则ACM交于。点,

=J(6『+32=2

得AC=5。

AO=BO=AB=6

故AABO为等边三角形，点B为弧AE所在圆的圆心；

结合题意把弓形沿AE折叠，使点。恰好落在弧AE上，可知

../山石=NOAE=30°=>3尸=ABtan30°=1，

故阴影部分面积为90[‘3)\后〉<1=3兀6,

360242

故答案为：里一立

42

16.己知A是双曲线y=2在第一象限上的一动点，连接A。并延长交另一分支于点2,以AB为边作等边

X

三角形A3C,点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是.

【答案】y=--(x>0)

X

【解析】

【分析】设根据已知条件求得羽y的关系式,从而求得正确答案.

【详解】依题意，三角形ABC是等边三角形，连接OC,

则OC是线段垂直平分线，AB±OC,

设A]。,一],贝！—,oc|=VsOA|,

而+[2],所以10cl=川==[P+7,

过C作CDLx轴于点。，则NAOD=NOCD,设。(羽y),

22

则tanZAOD=tanN。。。,2=二'整理得'=一(％'

a-y

12

在直角三角形COD中，CD2+OD1=OC2即£+y2=3a2+

2<2A2

将y=—幺》代入上式得/+-—X=36+g,整理得

2I2,aa

C在第四象限，得x=2叵，则y=—£xZ@=—Ga

a2a

所以孙=-6,则y=_g（x>0）,

所以这函数的解析式是y=--（x>0）.

X

故答案为：y=—（x>0）

x

三、解答题：本大题有5个小题，共56分.

17.如图，己知/A,请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）:

--------------

（1）选取适当的边长，在所给的/A图形上画一个含NA的直角三角形A3C,并标上字母，其中点C为直

角顶点，点8为另一锐角顶点；

（2）以AC为一边作等边△AC£）；

（3）若设/A=30。，8C边长为a,则8。的长为.

【答案】（1）见解析（2）见解析

(3)币a或a

【解析】

【分析】（1）在一边上任取一点C,然后过点C作AC的垂线与另一边相交于点8,则VA3C即为所求作

的三角形；

（2）分别以A、C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点。，连接A。、C。则AACZ）即为所求作等边

三角形；

（3）根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出A2的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分

两种情况①点。在AC的下方时，作。交BC的延长线于点E,求出。E、CE的长度，然后求出

8E的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解，②点。在AC的上方时，求出44。=30°,根据等边

三角形的性质可得AB,CD，再根据对称性可得△A8D与VA3C关于AB成轴对称，根据轴对称的性

质可得BD=BC.

【小问1详解】

如图所示，VA3C为所求作的直角三角形（答案不唯一）；

小问2详解】

如图所示，AACD为所求作的等边三角形，有点。在AC的上方与下方两种情况；

【小问3详解】

ZA=30°>3c边长为.•.AB=28C=2a,

根据勾股定理，AC=^AB2-BC2=7（2a）2-a2=也a,

①点。在AC的下方时，作。E1.5C交3C的延长线于点E，

贝,CE=73a.sin60°=4ia^—=-a,

2222

一35

所以，BE—BC=CE=a-\—a=—a,

22

在RtABDE中，BD=飞DE2+BE2=，（亭tz）2+（|a）2=y/la;

②点。在AC的上方时，-.-ZBAC^30°,

,-.zaAD=60°-30°=30°,:.NBAC=NBAD,

:.AB±CD,.•&45£）与丫48。关于48成轴对称，..%>=3。，

,/BC=a,:.BD=a；

综上所述，BD的长度为缶或a.

DE

18.如图，P8为。。的切线，8为切点，过8做0P的垂线BA,垂足为C,交0。于点A,连接以、AO,

并延长A。交。。于点E,与尸8的延长线交于点D

D

OC2

（2）若——=—,且OC=4,求朋的长和tanD的值.

AC3

【答案】（1）证明见解析；

（2）AP—3^3，—.

12

【解析】

【分析】（1）连接08,利用圆的性质及全等三角形性质证得。4,K4即可推理得证.

（2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性质求出上4；连接BE,可得OC/ABE,再利用平行线

推比例式求出3D,进而求出tan。.

【小问1详解】

连接08,由得。是弦的中点，即0P垂直平分线段

于是9=必，而Q4=OB,OP=OP,则△0Q4丝△0P5,

因此NQ4尸=NOBP,又PB切0。于点3,

则NOA尸=NO6P=90°，即

所以必是。。的切线.

【小问2详解】

由界=与'OC=4>得AC=6,40=J。。?+3=2屈,

21（-Z3

由（1）知，ZOAP=ZOCA^90°）又ZAOP=NCCM,则

「„PAAC3

因此——所以PA=3jF；

AO~OC2

由（1）得尸5=尸4=3而，OP=y/A（f+AP-=13-连接盛，

由AE为的直径，得ZEBA=90°=ZOCA，则BEHOC,BE=2OC=8,

<bBDBEm8即解BD得8皿=卷2受4J13

于是——=——

PD0P

ta3%=#=»

在RtZkOBD中,BD24而12.

5

19.已知：如图,菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，且AC=12cm,16cm.点尸从点8出

发，方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点。出发，沿。B方向匀速运动，速度为lcm/s,

EFLBD,且与ADBD,CD分别交于点E,Q,F；当直线所停止运动时，点尸也停止运动.连接PR

设运动时间为f(s)(0</<8).解答下列问题:

(1)当f为何值时，四边形APED是平行四边形？

(2)设四边形APFE的面积为y(cm2).求出y与/之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻f,使S四边彩APFE：S菱形ABCD=17：40?若存在，求出f的值，若不存在，请说明理

由.

40

【答案】(1)当/=—s时，四边形APFO是平行四边形

9

3,6

(2)y=——厂+T+48

■45

(3)存在，t=4

【解析】

【分析】(1)当AP=D尸时，四边形APED为平行四边形，用/表示出AP=10-乙DF=-t,列等式

4

计算；

(2)作高CM,利用面积相等求出。0的长，由图可知：四边形APEE的面积=四边形APED的面积

—△灰D的面积；代入求出V与1之间的函数关系式;

(3)先计算菱形ABC。的面积，再将(2)得到的丁代入到式子S四边形位FE：S菱形ABS=17:40中，解出

即可.

【小问1详解】

四边形A3CD为菱形,

:.BO=-BD^-X16=8,AO=-AC=-xl2=6,AC1BD,

2222

AB-\/62+82=10，

由题意可知：BP=t,DQ=t,则AP=10-r,

.理=吗FQ.3

-,-FQ//OC=Lt

OCOD684

;EF_LBD，由勾股定理得:

•：AB//CD,:.AP//DF,

当/时，四边形APED为平行四边形，

54040

贝1]10-=乙t=--；所以当f=一时，四边形APED是平行四边形;

499

【小问2详解】

过C作。/14?于“，则S〃BC=LACBO=LABCM,

ZA/iQL22

:.AC.BO=AB.CM,/.12x8=10CM,CM=9.6,

133

贝Uy-S四边形4尸—%皿=/x9.6x(10-)+1—x—fx2xf=—产+1.2/+48•

244

【小问3详解】

存在，

S菱形ABCD=gxACx5£)=gxl2xl6=96,

32

,S四边形AP五E:S菱形A5CO—17:40,贝|4]J_，

96-40

19

5»—8/—48=0,解得：％=4,t2=——(舍去)，

<8,/1=4符合题意，

当，=4时，S四边形4P庄：S菱形A5CD=17:40.

C

20.为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱

销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润yi（百元）与销售数量x（箱）的关系为

\x+5,(0<x<20)

M=<,在乡镇销售平均每箱的利润为（百元）与销售数量/（箱）的关系为

-----x+7.5,(20<x<

[401

6,(0<Z<30)

%=11

--Z+8,(30<Z<60)

（1）f与尤的关系是：将为转化为以尤为自变量的函数，则%等于？

（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元）当在城市销售量x（箱）的范围是0〈尤<20时，求

W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）

（3）经测算，在20<x430的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时尤的值.

—x+4,（0<x430）

【答案】（1）Z=60-x,%=卜5''；

6,（30<x<60）

1,

（2）W=-—+5X+240；

30

（3）x=30,最大382.5

【解析】

【分析】（1）将"60—X代入解析式为可得;

（2）根据自变量范围，选择相应解析式计算最大利润即可;

（3）根据自变量范围，选择相应解析式表示出W,然后由二次函数性质可得.

【小问1详解】

6,(0<60-%<30)6,(30<x<60)

由题知，t=6Q-x,则1/、/、1.、，即

-(60-%)+8,(30<60-%<60)+4,(0<x<30)

+4,(0<xK30)

%=1

6,(30<x<60)

【小问2详解】

当在城市销售量x（箱）的范围是0〈尤<20时，在乡镇销售量为60—xe（40,60）,

、1,

所以W=+5x)——x+5%+240.

)30

【小问3详解】

卬=［，x+7.5卜+代工+4］（60—x）=—需/+小+240,

当20<x430时,

由二次函数性质知，函数开口向下且对称轴为x=——>30,

11

1,3

当x=30时，最大值^一一X302+-X30+360=382.5（百元）.

402

21.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2,2）,点2的坐标为（6,6）,抛物线经过A、0、B三

点，连接。4、OB、AB,线段AB交y轴于点E.

（1）求点E的坐标；求抛物线的函数解析式；

（2）点尸为线段。2上的一个动点（不与点。、B重合），直线跖与抛物线交于M、N两点（点N在y轴

右侧），连结ON、BN,当点厂在线段。3上运动时，求A30N的面积的最大值，并求出此时点N的坐

标；

（3）连结⑷V,当ABON面积最大时，在坐标平