2021年高考三轮圆锥曲线专项突破：椭圆（解析版）

专题02：椭圆-2021年高考三轮圆锥曲线专题突破(全国通用)

一、单选题

22

1.己知椭圆C：\+:=1(。〉人〉0)的左、右焦点分别为£(-。，0),耳(c,o),若椭圆C上存在一点尸，

ab

sin/PFFc

使得=一，则椭圆C的离心率的取值范围为()

s；m/D：」a

APFXF2

A.jo,jB.^0,A/2—ijC.—1,1)D.

【答案】C

【分析】在△尸片场中，由正弦定理可得,结合已知条件得到同尸耳|=°忸阊，设

smP耳smPF,F[

点尸(七,%)，得至1]|尸好=。+勿0，|。月|=。一次0,整理得到/=半—4="e,根据椭圆的几何性

1111e(c+a)e{e-1)

质可得%>-。，化简得到e?+2e—1>0，即可求解.

【详解】在工中，由正弦定理可得「尸[1=,

sinP耳与smPF2Fx

sinZPF^Ecac....

又由./D/=一,即•/pg=•，即。附=CPM,

二/灰芍1111

sm/P耳工asinAPFXF2sm/P鸟耳

设点尸Oo，%),可得|珍|=a+气,|尸鸟|=a—ex(),

/、、a(c-a)a(e-l)

则”(a+e%0)=c(za—e/),解得-----=-~~—,

e(c+a)e(e-1)

a(e—1)

由椭圆的几何性质可得%>—〃，即——W>—a,

e(e-l)

整理得e?+2e—1>0，解得e〈-夜-1或e>0-1，

又由ee(0,l),所以椭圆的离心率的取值范围是

故选：C.

【点评】在心中，由正弦定理和结合己知条件得到。归娟=。归耳],设点尸(%,%),结合椭圆的焦

a(c-a)a(e-Y)

半径公式，得到%=———7=4—E，根据椭圆的几何性质可得玉)>-〃，列出关于离心率e的不等式

e(c+a)e(e-1)

是解答的关键.

2.椭圆C的焦点分别为£（—1,0）,乙（1,0）,直线/与。交于A,3两点，若丽=2耶，离・记=0,

则C的方程为（）

2222222

.%21nxy1rxy_1nxy

A.---1-y=]B.----1--------=1C.---1---------1D.----1—1

2324354

【答案】D

【分析】根据所给条件可得出点A,B的坐标间的关系，代入椭圆方程求出。即可的解.

【详解】因为而•祗=0,所以Ag,大名，过3作于C,

由丽=2用知，过点耳，且46=256，如图，

所以

设则5(—2,一

代入椭圆方程可得，〈年,解得.=5,

又c=l，所以廿=4,

所以椭圆的方程为土+乙=1，

54

故选：D

【点评】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数量关系，考查

了转化思想，有一定的计算量，属于基础题.

22

3.已知点可、B是椭圆二+y=1(。〉6〉0)的左、右焦点，点尸是椭圆上位于第一象限内的一点，经

a

过点尸与鸟的内切圆圆心/的直线交x轴于点Q,且百=2匝，则该椭圆的离心率为()

1112

A.—B.-C.一D.-

2343

【答案】A

s=四=也必—比

【分析】由题意可知为/耳的角平分线，推导出《"

PQ明|四'可得出阕闺Q'

^APF2Q

\PI_\PF\PIa—.―.

2利用比例关系可得出一，再结合尸/=2/Q可求得椭圆的离心率的值.

\iQ一阳0'IQC

【详解】如图，连接阳、IF2,/是心的内心，可得有、心分别是NP£鸟和NP6片的角平分

线，

由于经过点P与APg的内切圆圆心/的直线交了轴于点Q,

则PQ为/耳尸鸟的角平分线，则。到直线「耳、尸丛的距离相等,

尾竺2=四=也因.丝色.四

n7J

S°|P6|\QF2\''\IQ\KQ'IQ\F2Q\

由比例关系性质可知■\PI\=就\PFX+身\PF2\-IP^I+IP^I—2aa

\FA\2cc

一一c\IQ\1

又因为尸/=2/Q,所以椭圆的离心率e=一=局=彳，

a\PI\2

故选：A.

【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、。的值，根据离心率的定义求解离心率e的值;

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

4.已知椭圆C：二+4=1（。>匕>0）的左、右焦点分别为用，工，直线/过椭圆。的左顶点且与椭圆C

ab

TT

相切，P为直线/上任意一点.若的最大值为一，则椭圆。的离心率是（）

6

A.—B.-C.—D.立

2322

【答案】A

【分析】由椭圆对称性不妨设P为第二象限的点，即尸（―。/）,/>0,设直线「耳，「鸟的倾斜角分别为

a,/3,则g=，-a,得出tan/^PK关于/的表达式，利用基本不等式结合已知条件可得关于〃,

c的关系，进一步得出椭圆的离心率.

由题意可知，/（-。,0）,月（G。），C>0,直线/的方程为x=-a,

设直线「与，尸工的倾斜角分别为a,B,

由椭圆的对称性不妨设尸为第二象限的点，即尸（-a/）,/〉0,

则tana=---,tanQ=--—：：公寸&=/3-a,

C—QC+〃

(c\tan/?-tandz

tanZFPFtan(/?-6Z)=-----------------

l21+tandztan0

当且仅当t=—,即/=6时取等号.又tanNRPF2的最大值为£=tan-=^；

tb63

c11

•••b=&，即°2=3C2,整理得一=三，故椭圆C的离心率是7.

a22

故选：A.

【点评】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到。、氏c的关系，消去b,构造离心

率e的方程或（不等式）即可求出离心率.

2

5.己知椭圆£：=+[=1（。〉6〉0）的右焦点尸与抛物线C2-.y=2px（p＞0）的焦点重合,P为椭圆G

ab

与抛物线G的公共点，且P尸，1轴，那么椭圆G的离心率为（）

A.72-1B.3C.也D.73-1

32

【答案】A

2

C4c2

【分析】利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到P（c,2c）,将其代入椭圆方程得到二+—L卞=1,

aa-c

根据离心率公式得到/+2e-1=0，解方程可得结果.

【详解】由丁=2内得e（§0）,

不妨设P在第一象限，因为PFLx轴，F或,0）,所以P（^,p）,

22

又在椭圆G：=+二=l（a〉6〉0）中，/9,。），

ab

所以C=g,即p=2c,所以尸（G2C）,

4c24c2

所以J+咚=1，所以=+^^=1,

abaa-c

c244

---1------=1e2H------=1

所以//,，所以11,

--1

ce

整理得e?+2e—1=0,解得e=0—1或e=—/―1（舍），

故选：A

【点评】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于“,瓦c的等量关系.利用椭圆的右焦点与抛物线

2

C4c2

的交点重合得到P（C,2c）,将其代入椭圆方程得到二+—L方=1,根据离心率公式可得关于的等

aa-c

量关系.

二、多选题

22

6.已知点A（—1,—3）,3（2,0）和2（苍丁）（—1＜兀＜2,丁＜0）在椭圆。：土+匕=1（〃2〉0,〃〉0）上，

mn

则（

A.c的焦点为(土2"0)B.C的离心率为逅

3

C.直线K4的斜率小于1D.△243的面积最大值为3

【答案】BCD

【分析】将A,3的坐标代入椭圆的方程可求出牡〃的值，从而可得椭圆方程，进而可求出a/,c的值，

于是对A,B选项可进行判断；对于C,由题意可知，P点在曲线段之间，从而可求出直线K4的斜率

的范围；对于D,求出与A5平行且与椭圆相切的直线，从而可得点尸的坐标，进而可求出△Z43的面积

的最大值

194

【详解】解：将A,3的坐标代入椭圆的方程得一+—=1且一=1,得772=4,〃=12,所以椭圆的方

mnm

22

程为土+匕=1,其焦点为(0,±2四)，故A错误.

412

离心率为坐=46,故8项正确.

2V33

根据题意，可知尸点在曲线段A3之间，因为直线A3的斜率为1,所以直线E4的斜率小于1,故C项正

确.

,0-(-3),

由于直线48的斜率为左=1所以设与A6平行且与椭圆相切的直线为y=x+L将其代入椭

2;—二(一1)

圆方程整理得4炉+2比+产—12=0，由A=4产—16(产—12)=0得/=4或方=又，当/=4时，切点为

(-1,3)不合题意，舍去，当/=Y时，切点为(1,-3),即当尸取(1,-3)时，△PA3的面积最大，因为直

线为y=x—2,所以直线A3与切线y=x—4间的距离为4=7言=拒，所以△9的面积最大

值为工|AB|d=工J(_1_2)2+(—3—0)2义0=3,故。项正确.

故选：BCD

【点评】此题考查椭圆方程的方程及几何性质，解题的关键是根据题意求出椭圆方程，考查计算能力，属

于中档题

22

7.已知圆锥曲线C：土—匕=1,若三个数1,7成等差数列，则C的离心率为()

4b

C.叵D.72

2

【答案】BC

【分析】首先求得6=±2,根据匕的不同值，分椭圆和双曲线，求离心率.

【详解】由三个数1,〃，7成等差数列，得2。2=8，解得人=岸.若6=-2,则圆锥曲线。：—-^=1

4b

22IyB22

即为椭圆C：—+^=1,可得离心率为J1—4=注；若力=2,则圆锥曲线C：L—匕=1即为双

42V424b

曲线C：三—$=1,可得离心率为£=巫.

42V42

故选：BC.

【点评】易错点睛：本题容易因忽略万的正负性或误将/的值当作是6的值而致错.

8.已知椭圆三+二=1的左、右焦点分别是耳，居，左、右顶点分别是A,A?，点P是椭圆上异

2520-

于A，4的任意一点，则下列说法正确的是()

A.附|+|%卜5

4

B.直线24与直线尸&的斜率之积为-w

C.存在点P满足N£PE=90°

D.若△耳「耳的面积为4百，则点P的横坐标为土石

【答案】BD

【分析】根据椭圆的定义判断A,设P(x,y),计算斜率之积，判断B,求出当尸是短轴端点时的/耳「巴

后可判断C,由三角形面积求得尸点坐标后可判断D.

【详解】由题意"=5/=2石,°=6，耳(-百,0),6电,0),A(-5,0),4(5,0),短轴一个顶点

为(。，6，

|尸耳|+|尸周=2。=10,A错;

222

设P(x,y),则L+2L=1,/=20(1-—),

252025

2214

所以左左PA,上x上号?=2。(1q)义不?—,B正确;

x+5x-55

因为tanNOBM—=—j==—<1,所以。。</。员工<45。，从而g=2/0耳心<90。,

…1OBJ2452

而尸是椭圆上任一点时，当尸是短轴端点时/月尸鸟最大，因此不存在点尸满足/耳「玛=90。，C错;

i2]A

P(x,y)，S△,=.|耳阊屏|=3g=4行,g=4,则红+上=1,xp=±5D正确.

22520

故选：BD.

【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质.有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的

斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点.

22

9.已知｛4｝是公比为4的等比数列，且4=1,曲线Q：—+-=1,zieN*.()

anan+l

A.若q>0且qwl,则C”是椭圆

14

B.若存在“eN*，使得G表示离心率为不的椭圆，则£=—

23

C.若存在〃eN*，使得C“表示渐近线方程为x±2y=0的双曲线，则^=一；

D.若q=-2,4表示双曲线Q的实轴长，则4+/+…+%=6138

【答案】ACD

【分析】由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项判定，即可求

解.

【详解】因为q>0且所以。“〉0,a“+i〉0且。“+i彳，所以C”表示椭圆，所以A正确.

当表示椭圆时，显然4>0且4W1,若9>1,则为+1〉4，e=卜+…卜_'口,令

V-v-vq

r~fi-4

若0<q<l,则4〉。用，e=AA+,令g=:,解得q=2,所以故B错误.

"~"=L^±L=A/T7,

Va„Van24

若G表示双曲线.显然q<0,故双曲线G的一条渐近线方程为y==

令G=5,解得4=—彳，所以C正确.

若q=-2,当"为偶数时，。“<0,an+,>0,双曲线Q的焦点在V轴上，则£=2点二；当”为奇数时,

«„>0,4+1<0，双曲线c”的焦点在X轴上，则2=2月，

所以

b1+b2-\---\-b20=2(8"+y[a^H---F5y^")+2+H卜=4(屈"+H1')-2+2〃^"

1-210

=4x------2+2x1x210=3x2"—6=6138，所以D正确.

1-2

【点评】解决本题的关键有两个：（1）能根据公比4的取值情况判断4+1，4的正负；（2）能根据椭圆、

双曲线的方程和几何性质建立氏+1，a,的数量关系.

10.下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）

A.设A、3为两个定点，左为非零常数，|西卜|而卜左，则动点P的轨迹为双曲线

B.设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，。为坐标原点，若丽=:（如+砺），则动点P的轨迹为椭

圆

C.方程2炉-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

222

D.双曲线上—匕=1与椭圆匕+＞2=1有相同的焦点

25935.

【答案】CD

【分析】根据双曲线的定义可判断A选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断B选项的正误；求出

方程2炉-5%+2=0的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断C选项的正误；求出双曲线与椭

圆的焦点坐标，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，若动点尸的轨迹为双曲线，则卜所卜|而卜＜|通即冏＜|通

但可与|通|的大小关系未知，A选项错误；

对于B选项，由丽=g（函+而）可得而-d=g（厉+砺）—函=:（砺—函），

可得Q=!通，所以，点尸为线段A6的中点，

2

如下图所示：

当为圆。的一条直径时，P与C重合；

当A6不是圆。的直径时，由垂径定理可得CPLA5,

设AC的中点为M，由直角三角形的几何性质可得1PMi=g|AC|（定值）,

所以，点P的轨迹为圆，B选项错误;

对于C选项，解方程2f—5x+2=0，可得%=g，々=2,

所以，方程2/—5%+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；

对于D选项，双曲线的焦距为2后工？=2用，焦点坐标为(土回0),

椭圆余+/=1的焦距为2Am=2属，焦点坐标为(土国,o),D选项正确.

故选：CD.

【点评】求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：

(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；

(2)定义法：根据圆的定义写出方程；

(3)几何法：利用圆的性质列方程；

(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

三、填空题

22

11.已知《，工是椭圆二+与=1(a>b>0)的左，右焦点，过B的直线与椭圆交于P，Q两点，

ab

若PQ，P片且|Q周=P周，则APFFZ与AQFFZ的面积之比为.

【答案】A/2+I

【分析】根据椭圆的定义，运用勾股定理、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】设归用=和,二|。制="/2,由椭圆的定义可知：|尸闻=2。一加,二.依图=2。一同,

所以|PQ|=4a-(及+l)m,因为尸。，期,所以|「耳『+=依耳『,

即m2+[4a-(V2+l)m]2=(V2m)2(A/2+l)m2-4(72+l)ma+8cz2=0,

解得m=(4-2回a或加=20a，

当机=2夜o时，|QE|=2a—瓜<0,所以不符合题意，故舍去，

因此机=(4-26a,所以|=(2夜-2)a,|Q闾=(6—4回a,

,/ZPF2Fi+NQB4=7i.:.sinZPF2Fi=sinZQF2Fx,

△尸耳耳与AQ不居的面积之比为:

2M用,sin/桃耳_2行—2_6—1_血—1_]_忘+]

；M&HQg|,sinNQ£-6-4423-2^2(A/2-I)2拒-1

故答案为：6+1

【点评】关键点睛：根据椭圆的定义结合勾股定理，选择合适的三角形面积公式是解题的关键.

12.已知定点4(0,2),3(0,—2),C(3,2),以C为一个焦点作过A,3两点的椭圆，则椭圆的另一个

焦点F的轨迹方程是.

2

【答案】y2-^-=l(y<-l)

【分析】由题可得|AC|+|”|=忸C|+忸同，进而可得|人典-191=2,可判断R的轨迹为以A8为焦点

的双曲线的下支，根据双曲线的定义即可求解.

【详解】A,3在以C,E为焦点的椭圆上，

.•.|4。|+|"|=忸4+忸典,

.'.|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=732+42-V32+02=2，

则可得R的轨迹为以A,8为焦点的双曲线的下支，

22

设双曲线方程为与—a=1(”—a),

则可得2a=2,即a=l,c=2,.-.b1=c2-a2=3.

则焦点F的轨迹方程是y2-y=l(y<-1).

2

故答案为：＞2—、=l(yW—1).

【点评】关键点睛：本题考查双曲线定义的理解，解题的关键是得出|A4-忸同=2,判断出R的轨迹为

以A,3为焦点的双曲线的下支.

X2

13.已知点A为椭圆C：一=l(a〉〃〉0)的左顶点，F(c,0)为椭圆的右焦点,B,E在椭圆上,

a+方

四边形Q43E为平行四边形(。为坐标原点)，点E到直线A石的距离等于叵，则椭圆。的离心率为

2

【答案】Vio-2

3

【分析】根据椭圆的对称性先求出点E的坐标，从而求出直线AE的方程，根据点E（c,O）到直线AE的距

离建立方程，从而求出离心率.

【详解】由四边形Q43E为平行四边形，则AO/ABE,且忸闵=a

不妨设3,E在％轴上方，点E在第一象限.

由椭圆的对称性可得=|，则yB=b

Cb

-2~

所以E

所以直线AE的方程为：y=),即3ay-6bx-#>ab=0

|-^Z?c-V3(?Z?|6b

所以点E（c,O）到直线AE的距离为：d=

J9a2+3后

化简得3c2+4ac—2a2=0，即3e?+4e—2=0

解得e=±W—2,所以取e=W—2

故答案为：加-2

3

【点评】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率，解答本题的关键是根据托奥运的对称性得出J,

,、I—A/SZJC—y/3ab\、5人

然后得出直线AE的方程，根据占.到百续4斤的距禽得方程d—1「一1—属于中

档题.

14.己知椭圆G：「+与=10〉。〉0）的右顶点为P,右焦点F与抛物线。2的焦点重合，。2的顶点与G

ab

的中心O重合.若G与02相交于点A,B,且四边形QAPfi为菱形，则G的离心率为.

【答案】-

3

【分析】设抛物线的方程为y2=2px,得至U/=4cx，把A（g代入椭圆的方程化简即得解.

【详解】

设抛物线的方程为=2px,；T=c,.1p=2c,.1V=4u.

a2

由题得4幺,、河），代入椭圆的方程得五2ac,

2示k

所以8ac=3b°—3（cz2—c2）,3c2+Sac—3a2-0,

所以3e?+8e—3=0，

所以（3e—l）（e+3）=0,

因为0<e<l,

所以e=L

3

故答案为：-

3

【点评】求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）

方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.

15.已知椭圆「+4=1（。〉6〉0）,左、右焦点分别为匕，B，设以线段月月为直径的圆和此椭圆在

ab

qi

第一象限和第三象限内的公共点分别为M，N,四边形”片”的面积为S,周长为/,若1=方，则

该椭圆的离心率.

【答案】B

2

【分析】由椭圆的定义知/=4a,由圆的性质以及椭圆的对称性知四边形片为矩形，则有

C1

|加片|2+|〃8|2=|耳6『求|町|,|/6|,再由S=|"E|-|A/g|求面积，结合]=以及椭圆参数关系

即可求离心率.

【详解】由题意知：l=\MF1\+\MF2\+\NF]\+\NF2\=4a,且引，由对称性知:

四边形为矩形,

...设|=7〃>|M片|=2。一根，即（2。一相）2+/=4。2,得病—2am+2b2=0,

二解得：m=a+y/a2-2b2^m=a—y/a2-2b2（舍），

2222

|MR\=a+y/a-2b,\MF2\=a-^cr-2b,有S=|M片|•||=2b,

222

„52b1Bna-c.21milA/3

又方=77T=，即—;—=l~e=--贝=」一

2=2iJe

I16a-32a42

故答案为：昼

2

【点评】利用圆的性质，椭圆的对称性及定义求出焦点相关的四边形的周长和面积，根据它们的比例关系

以及椭圆参数关系，列齐次方程求离心率.

四、双空题

22

16.已知耳、工分别是椭圆1+:=1（。〉6〉0）的左、右焦点，过耳的直线与椭圆交于尸、Q两点，

ab

若归£]:归名|:|。制=2:3:1,则cos/^PB=,椭圆的离心率为.

【答案】-叵

915

【分析】设耳|=1，得到|「耳|=2,|「卜=3,根据椭圆的定义,求得出闾=4,在。尸0居中,由余弦

定理求得cosN耳尸耳，在耳中，由余弦定理求得闺耳|,结合离心率的定义，即可求解.

【详解】如图所示，不妨设|Q£|=1,

因为周=2:3:1,所以|「耳|=2,|尸闾=3,

由椭圆的定义可得|「£|+|尸耳|=|。£|+|。闾=5,所以|。闾=4,

在APQK中，由余弦定理可得cosN£P月二闸[*IT平=32+32—42」,

22x|Pg|x|PF,|2x3x39

在月中，由余弦定理可

|^|=J附「+附「-2x|P讣质|cos"P6=^22+32-2X2X3X1=^

[35_

所以离心率cvTVio5.

e————--=---

a515

故答案为：,；叵.

915

【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得心。得值，根据离心率的定义求解离心率e；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

22

17.已知椭圆c：——+2了=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为耳,工，点？在椭圆上，且西•耳瓦=0,

ab

I尸周=:，|P闾=3,则c的标准方程为；若过点1,1]的直线/与椭圆C交于A,B两

点，且点A6关于点M对称，则/的方程为.

22

【答案】Ul2x-3j+6=0

94

【分析】记椭圆的半焦距为c,根据椭圆的定义，由题中条件，得到。=3；再由勾股定理，根据

丽•司瓦=0,求出C,得到户，即得椭圆方程；设A（/x）,3（%,%），根据题中条件，由中点坐标

公式，得出《「，再将坐标代入椭圆方程，两式作差整理，求出直线/的斜率，即可求出直

［乂+%=2

线方程.

【详解】记椭圆的半焦距为c,

根据椭圆的定义可得，2a=|Pf；|+|PF,|=|+y=6,则。=3,

又两•战=。，则咫坨工，所以帆周=亚丁二所=』1"^=26=2c,

则,=占；所以尸=4—02=4,因此椭圆。的方程为土+2L=i；

94

|，1）对称，所以＜%+%2=-3

设A（%，X）,B（x2,y2）,因为点A,3关于点M

71+%=2

[22

-%----------1-------------1JL

94II-I-ZZ2^—r：gX1~-X,"丫|"一c

由题意可得《、、,两式作差可得」——二+二~工=0,

94

I94

_1一为_网+=2__132

则^AB_i

%一%29%+%9

2（312

所以直线45的方程为,_1=§[^+5）=§》+1,即2%—3y+6=0.

22

故答案为：—+—=1；2x—3j+6=0.

94

【点评】求解椭圆中的中点弦问题时，一般需要先设弦端点的坐标，代入椭圆方程，两式作差整理，求出

弦所在直线方程，进而即可求解.

五、解答题

18.已知点P（J5,点）在椭圆C：M+4=l（a〉6〉o）上，且椭圆C的离心率为Y2,若过原点的直线

a-b-2

交。于A,3两点，点A在第一象限，轴，垂足为。，连接并延长交C于点E.

（1）求椭圆。的方程；

（2）证明：AB^AE.

V22

【答案】（1）—+《v=1；（2）证明见解析.

63

【分析】（1）先求出a、b,写出椭圆。的方程；

（2）设直线A6的斜率为左，则其方程为，=区（左＞0）.

用设而不求法表示出直线AE的斜率，整理化简后为-工，即可证明1

k

【详解】（1）因为点在椭圆c上，所以^+==1①，

ab

又因为椭圆。的离心率为自，所以母=0二]②，

22

由①②得，a2=6,b2=3.所以椭圆C的方程为工+匕=1

63

（2）设直线A5的斜率为左，则其方程为丁二"（左＞。）.

设A(H,成),B(-u,-uk),D(w,0).

k.、

y=-(x-u)

kk

于是直线跳;的斜率为,，方程为丁=5（%—〃）.由《22

二+匕=1

得（2+左2）尤2_2沈上2%+左2〃2_]2=0（§）

设石（七,%）,贝卜"和再是方程③的解，故％—〃=上竺

乙十K

,,u(3k2+2，由此得％=＜。一切=$

故石二色———

12+1C乙乙十K

uk37

----z—uk1

2+左之1

从而直线AE的斜率为〃3.+2)—=一%'所以

-....

2+k2

【点评】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

22]

19.已知椭圆C：T+2=l（a〉b〉0）的离心率为$,。为坐标原点，尸是椭圆C的右焦点，A为椭圆C

3

上一点，且Ax轴，|ARI=]-

（1）求椭圆C的方程;

⑵过椭圆C上一点尸（%,%）（%H0）的直线/：笄+誓=1与直线AF相交于点M,与直线x=4相交

ab

于点N.证明：7777为定值•

\NF\

【答案】(1)三+匕=1(2)证明见解析

43

3

【分析】(1)设尸(c,O),A(c,%),根据离心率及|Ab|二］列方程求出。力即可求解;

(2)求出交点M,N的坐标，计算并化简，即可求解.

22

【详解】(1)设尸(c,O),A(c,%),则4+4=1,

ab

又因为£=工，所以|%|=走6,

a2702

3

因为|A尸|=—,

2

所以|Ab1=1%|=¥6=g，

所以b=，

'^-b2=c2U=2

C।,解得

因为《—=—<b=6

a2

c=1

b=A/3

22

所以椭圆c的方程为工+匕=1

43

(2)由(1)知直线/的方程为替+管=1(%工。)，

12-3xx

即丁=一1—o―(y*°).