浙江省温州市普通高中2025届高三第一次适应性考试数学试题一模数学试题

温州市普通高中2025届高三第一次适应性考试数学试题卷2024.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则复数对应的点位于第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3.已知平面向量，满足，，则（）A.1 B. C.2 D.4.若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C.5 D.-56.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（）A.28 B.29 C.30 D.318.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（）A.3 B.4 C.5 D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，微信公众号：浙江省高中数学部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（） A B C D10.已知，，，，其中，点为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（）A. B.C. D.11.已知函数，则（）A. B.当时，C.当时， D.当时，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。12.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则______.13.如图所示的五面体为《九章算术》中记载的羡除，它指的是墓道或隧道.其中，四边形，，均为等腰梯形，平面平面，，，，和间的距离为2，和间的距离为4，则该羡除的体积为__________.14.已知正项数列满足，且，则_____.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若为中点，，，求的周长.16.（本小题满分15分）点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程.17.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面平面，平面.（1）求证：；（2）若二面角的正弦值为，且，求.18.（本小题满分17分）已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知集合.（1）集合，且中的任意三个不同的元素，，都有.（i）当时，（微信公众号：浙江省高中数学）写出一个满足条件的恰有四个元素的集合；（ii）对于任意给定的，求集合中的元素个数的最大值.（2）已知集合，，且同时满足以下条件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素个数.

温州市普通高中2025届高三第一次适应性考试数学试题参考答案及评分细则一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDDBCABD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABCADACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。12.13.1214.6069四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.答案对，有相应过程，就得满分；答案错，得相应的过程分.（1）解法1：由题意，得则所以因为在中，，所以评分细则（分两个过程，2分+4分）过程1：边化角：有边化角的想法，过程有错的给1分，过程对的，给2分.过程2：利用两角和的正弦公式及，各得1分，得到，得1分，再得出的值，得1分，共4分.答案正确，有相应过程的，就得满分.（1）解法2：由题意，得，所以，因此因为，所以评分细则（分两个过程，3分+3分）过程1：利用余弦定理，将角化边，结果有错得1分，结果正确得3分.过程2：化简整理，得出，得2分，消去，得出结果，结果正确得1分，共3分.答案正确，有相应过程的，就得满分（1）解法3：由题意，得所以由射影定理，得因为，所以评分细则（分两个过程，3分+3分）过程1：整理成射影定理的结构，得3分，整理结果错误，如果有整理的过程，就给1分.过程2：化简得出结果，得3分.答案正确，有相应过程的，就得满分（2）解法1：由已知条件，得.在利用余弦定理，得.所以由余弦定理，得，所以.因此所以的周长为评分细则（分三个过程，3分+2分+2分）过程1：利用已知条件和余弦定理，得出，结果正确就得3分，结果不对，但有余弦公式得1分，题干已知条件有转化成，得1分.过程2：利用余弦定理，得出，两个式子只要写出一个正确就得2分.过程3：解方程得出或者的值，正确得1分，再计算得出周长，结果正确再得1分，共2分.答案错误，如果出现周长也给1分.答案正确，有相应过程的，就得满分（2）解法2：因为，所以.因此，所以又由余弦定理，得，所以因此，所以的周长为评分细则（分三个过程，3分+2分+2分）过程1：利用，得出，结果正确就得3分，结果错误，但有出现，得1分，有余弦定理将角化边，得1分.过程2：由，得出，结果正确得2分.过程3：解方程得出或者，的值，正确得1分，再计算得出周长，结果正确再得1分，共2分.答案错误，如果出现周长也给1分.答案正确，有相应过程的，就得满分（2）解法3：以的边，为邻边将补成平行四边形，利用平行四边形长度关系可得，，所以.又由余弦定理，得，所以因此，所以的周长为评分细则（分三个过程，3分+2分+2分）过程1：利用平行四边形长度，得出或得3分.答案错误，如果出现补形或者平行四边形长度关系，就给1分.过程2：由，得出，结果正确得2分.过程3：解方程得出或者，的值，正确得1分，再计算得出周长，结果正确再得1分，共2分.答案错误，如果出现周长也给1分.答案正确，有相应过程的，就得满分（2）解法4：利用向量关系，可得因此又由余弦定理，得，所以因此，所以的周长为评分细则（分三个过程，3分+2分+2分）过程1：利用向量关系，得出，结果正确得3分.结果错误，如果有向量表示就给1分.过程2：由，得出，结果正确得2分.过程3：解方程得出或者，的值，正确得1分，再计算得出周长，结果正确再得1分，共2分.答案错误，如果出现周长也给1分.答案正确，有相应过程的，就得满分（2）解法5：在和分别利用余弦定理，可得.所以又由余弦定理，得，所以因此所以的周长为.评分细则（分三个过程，3分+2分+2分）过程1：在和分别利用余弦定理，得出，结果正确得3分.两次利用余弦定理结果错误，看到余弦定理也给1分.过程2：由，得出，结果正确得2分.过程3：解方程得出或者，的值，正确得1分，再计算得出周长，结果正确再得1分，共2分.答案错误，如果出现周长也给1分.答案正确，有相应过程的，就得满分16.（本小题满分15分）点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（6分）（2）过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程.（9分）解：（1）根据题意可得，所以，（合计2分）注：可以用替代又，所以，（合计4分）解得或（舍去），故所求抛物线方程为（合计6分）注：没有舍去扣1分（2）法1：，，设，，，所以，注：（1）设没有交代斜率不存在的情况，不扣分；（2）联立方程，韦达定理无论关于或者均得2分.（合计13分），（舍去）所以.（合计15分）注：没有舍去扣1分注：（1）用亦可；（2）只要将等价转化为向量数量积等于0或斜率之积等于-1，给1分，若转化为坐标表达，无论式子对错，均给2分；（3）第一步方程解错，第二步思路正确，得分不超过4分.（2）法2：设，，，设线1分（合计7分），所以联立方程，韦达定理2分（合计9分），（合计11分），所以过定点，（合计13分）又因为过，所以（合计15分）（2）法3：，，设，，，设线1分（合计7分），（合计9分）（合计11分）（合计13分）所以.（合计15分）（2）法4：设，，不妨设，，设线1分（合计7分），，同理（合计9分）（合计11分），（合计13分）又因为过，所以（合计15分）（2）法5：设，，设线1分（合计7分），，，（合计10分）.（合计12分）又因为过，所以（合计13分）解得，，所以（合计15分）17.（1）方法1（综合法）：过作于点，因为平面平面，所以面，所以，又因为平面，所以，而，所以面，所以备注：1、线面垂直线线垂直（2分）；面面垂直线面、线线垂直（2分）；最后线面垂直线线垂直（2分）；2、没证，有，再由面，得.也给4分，如下图3、抄题目，瞎写不给分：如果其它都没得分，有平面，得到，也送他2分.（1）方法2（综合法）：过作于点，不同于点，有面，所以，又因为平面，所以，所以面，与矛盾，即，重合，即面，所以备注：线面垂直线线垂直（2分）；面面垂直线面垂直（2分），得矛盾线面垂直线线垂直（2分）（1）方法3（建系）：以为原点建立空间直角坐标系（如图），因为面面，设，，，有，，，由有，（否则，，和重合，矛盾）所以，即，备注：建系有设坐标运算就给2分；解得的坐标得2分；（1）方法4（综合法）：因为平面，所以面，又因为面面，面面面，所以面，所以.备注：此方法最终给4分（线面垂直面面垂直（2分）；线面垂直线线垂直）；两个平面垂直于同一个平面，交线也垂直于该平面，这一结论没证不给分.（2）方法1（综合法）：二面角的平面角与二面角的平面角互补，过作交于点，由面，有，所以面，所以，则为二面角的平面角，且，设，有，，，所以，即，所以备注：1、找角+证明+指出角给4分（找角过程1分+证明1分+指出角2分）；2、只要有相关长度运算就给1分，公式代入运算给2分（只有公式给1分）；3、答案正确2分.4、其它没怎么得分，只有角的转化“二面角的平面角与二面角的平面角互补”，也给1-2分，如图第2问可给3-4分（角转化+作角+计算）.（or综合）：如方法1，找角+证明+指出角设，有，，，所以，解得（2）方法2（建系）：如图，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，二面角的平面角与二面角的平面角互补，记为，设，有，，，，设面的法向量为，有，即，令，得，又面的法向量为，所以，解得，所以.备注：1、建系设坐标给2分（只有建系给1分）；2、两个法向量共3分（有算法向量的过程就给1分）；3、公式代入运算给2分（只有公式给1分）；4、答案正确2分；5、空间非直角坐标系给0分.（特别注意，这次会有很多斜系，一律0分）6、只有公式没任何运算，如图给3分（建系1分+算法向量公式1分+二面角公式1分）（or建系）：设，有，设面的法向量为，有，即，令，得，又面的法向量为，所以，得，又，即，所以，，则.（2）方法3（等体积法）：过作于点垂直平面于点，二面角的平面角为即，设，由有，即，所以，所以，得注：其它方法类似给分18.解：（1）当时，，，（求导结果错，过程有出现积的求导公式如：给1分）令（1分，前面求导错也给）得：，当时，，时，，所以在单调递减，单调递增所以时，①答案对，有过程，满分（如：没有说明单调性，不扣分）②答案对，全程没有出现扣1分）.（2）解法一：，，由得：，所以，问题即：有且仅有三个变号零点当时，，故在单调递减，又，所以故此时在有且仅有一个变号0，不合题意；当时，所以在有唯一零点.在递增，递减，故此时在至多有两个变号零点，不合题意；当时，，，，所以在有两个零点：，且时，，时，，时，，所以在递减，递增，递减，又，故，，又时，，因为的增长速度大于的增长速度，故，，于是，又，，所以，令，则，因为的增长速度大于的增长速度，故，，于是，所以在，各有一个零点，，故此时有三个零点：，0，，合题意：所以.（2）由得：，（共2分，没过程不扣分）令（1分，有对求导，不管对错，给1分）（1分，有对求导（或求二阶导），不管对错，给1分）当时，不合题意；（最后的答案为时，这1分也给）当时，不合题意；当时，所以在有两个零点：，所以在递减，递增，递减，又，故，，出现，，或，或，，或，，所以解法二：由，得：，（共2分，没过程不扣分）令（1分，有对求导，不管对错，给1分），当时，（1分，有分离，不管对错，均给分），记，则，（1分，有对求导（或求二阶导），不管对错，给1分）所以在单调递增，又，所以时，，时，又，所以，，所以，时，，所以当且仅当时，与，（且）有两个交点，又，（出现4，1分，出现6，1分）故当且仅当时，有三个变号零点，所以（2）解法二：由，得：，（共2分，没过程不扣分）令（1分，有对求导，不管对错，给1分），当时，，（1分，有分离，不管对错，均给分），，记，则，（1分，有对求导（或求二阶导），不管对错，给1分）所以时，，时，（1分，对单调性分析，答案对给分），，（共2分，出现4，1分，出现6，1分）故当且仅当