浙江省温州市普通高中2024届高三年级上册第一次适应性考试数学试题

浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考

试数学试题

一、单选题

I.设集合M=二则McZ=()

[x-23J

A.{21,22}B.{20,21,22}C.{20,21,22,23}

D.eR|20<x<23j

2.设复数z对应的点在第四象限，则复数z-(l+i)"对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

ncA

3.动点M(xj)到定点尸(-4,0)的距离与M到定直线/：>-亍的距离的比等于不,

则动点〃的轨迹方程是()

人一「％22

A.——+—=1B.——+—=1

2592516

2222

C.匕+二=1D.2+±=1

2592516

4.已知向量2=(0,4),6=(-3,-3),贝£在石上的投影向量的坐标是()

A.(-2,-2)B.(2,2)

C.(0,-3)D.(0,3)

5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.

A.0.4+QB.0.8+aC.0.4D.0.8

-3，(0>0)，0,3的值域为卜6,2],则0的取值范围

6.若函数/(x)=2sincox

是()

「5J「510-

A.-AB.—,

l_3J|_63J

-55-■510"

c.—>—D.

|_63j33

试卷第1页，共4页

aaa

7.已知｛%｝为等比数列，贝!|“出024=1”是"%……„=r2……%047一“，〃是任意正整

数”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

8.如图，所有棱长都为1的正三棱柱4BC-45G，BE=2EC,点尸是侧棱44上的

动点，且万=2m，〃为线段尸2上的动点，直线CHc平面=M,则点初的轨

迹为（）

A.三角形（含内部）B.矩形（含内部）

C.圆柱面的一部分D.球面的一部分

二、多选题

9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是

()

中位数的估计值介于100和105之间

C.该班成绩众数的估计值为97.5D.该班成绩的极差一定等于40

10.已知平面an平面尸=加，则下列结论一定正确的是（）

A.存在直线。u平面a,使得直线a，平面"

B.存在直线。u平面使得直线a〃平面£

C.存在直线平面a,直线bu平面/，使得直线a,直线6

D.存在直线au平面a,直线6u平面使得直线a〃直线6

试卷第2页，共4页

11.若圆C与直线3X-4/-12=0相切，且与圆龙2-2x+/=0相切于点N(2,o),则圆C

的半径为()

12.定义在R上的函数/(x)的导函数为尸(无)，对于任意实数x,都有

/(-x)+e2V(x)=0,且满足2〃x)+/(x)=2,贝|()

A.函数尸(无)=e"(x)为奇函数

B.不等式e"(x)_p＜0的解集为(O,ln2)

C.若方程〃x)-(x-a)2=0有两个根X],x2,则卷+为＞2。

D./(x)在(OJ(O))处的切线方程为＞=4x

三、填空题

13.已知sin63o=a,贝!Jsin333Q=(用。表示).

14.(1+句+(1-⑸=.

15.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半

径为外，r2,且4一々=1,则它的内切球的体积为.

22

16.斜率为1的直线与双曲线=1(。＞0/＞0)交于两点42,点C是曲线

E上的一点，满足ACMC和△OBC的重心分别为尸,。，O8C的外心为五,

记直线OP,OQ,OR的斜率为匕，k2,左3，若左的&=一8,则双曲线E的离心率

为.

四、解答题

71

17.已知四棱锥尸的底面/BCD为等腰梯形，AD//BC,ZBAD=-,

AD=2BC=4,PB±ABCD.

D

试卷第3页，共4页

(1)求证：APVCD,

(2)若四棱锥尸-ABCD的体积为2,求平面PCD与平面PC8夹角的余弦值.

7T

18.设。3C的三个内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且

⑴若4+6=1,求。的最小值；

4_B

(2)^<cosA+cosB-cos---的值.

19.等差数列｛0“｝的前〃项和为S”，出=3,S5=S,+S3.

⑴求S,；

(2)记］为数列｛2｝的前〃项和，若&=13,且｛卮轨｝是以2为公差的等差数列，求

数列｛，｝的通项公式.

20.已知/(x)=e1(x>0).

⑴求导函数;''(X)的最值;

⑵试讨论关于X的方程=b">o)的根的个数，并说明理由.

21.已知抛物线-=4歹的焦点为尸，抛物线上的点4(%,%)处的切线为/.

⑴求/的方程(用％,为表示);

(2)若直线/与了轴交于点3,直线相与抛物线交于点C,若//C3为钝角，求为的取

值范围.

22.某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所

示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9.

⑴求每个电子模块导通的概率P(保留两位有效数字)；

(2)已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否

导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件

才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原

电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据分式不等式化简集合即可由交运算求解.

【详解】M=xeRx|20<x<23},

所以McZ={20,21,22},

故选：B

2.B

【分析】由i的周期性化简计算后判断所求复数对应点的象限.

【详解】由复数2-(1+疗0°对应的点在第四象限,

贝设z=Q+bi(a>0,/)<0),

由(l+i)100=[(l+i)2]5°=(2i)50=250i50=250i2=-250

得Z•(1+i)100=-250(a+历)=-250a-25%i,

由-25,<0,-25%>0,

得复数2-(1+40°对应的点在第二象限.

故选：B.

3.A

【分析】根据距离公式即可化简求解.

,24

【详解】根据题意可得太一=飞,平方化简可得9x?+25/=25x9,

XH----

4

进而得日+片=1,

259

故选:A

4.B

【详解】根据投影向量的定义，结合坐标运算即可求解.

【分析】Z在右上的投影向量为Wc°s«1\'a-bb-12

(丽一(-3)2+(-3)

故选：B

答案第1页，共16页

5.D

【分析】根据随机变量的方差公式可得.

【详解】由分布列可得

£(X)=0.4a+0.2(Q+1)+0.4(a+2)=Q+1,

D(X)=0.4(a-a-l)2+0.2(a+l-a-l)2+0.4(a+2-a-l)2=0.8,

故选：D

6.D

【分析】禾u用可得再由三角函数图像性质可得

+兀，解不等式即可求得。的取值范围.

【详解】根据题意可知若，则可得。％-工£;

显然当x=0时，可得2sin(ox—G,

由/■(x)的值域为[-73,2],利用三角函数图像性质可得T]0-1W；+兀，

解得六。卷，即。的取值范围是1,y.

故选：D

7.C

【分析】根据等比数列的性质，由递推公式%,•%=*(〃?+〃=20可得出结论.

__2

【详解】因为｛%｝为等比数列，则对+i4047f&=%。24

2

aa

右。2024=1，则n+\'n+2....°4047-〃=1，贝|多，电...。〃=%，。2.....&047-〃

所以，〃2024=1是4•。2…,。〃=4•。2…•。4047-〃的充分条件；

又根据已知可知叫，。2.....="1，”2.........%......“4047一〃="〃+1＞。〃+2......。4047一〃，

aa

约去％・。2……n可得n+\'%+2.....@047-〃=1

__2

因为｛%｝为等比数列,所以。向."4047f="皿华d=。2。24,

所以。2024=1,

a

所以当｛氏｝为等比数列时，％•出•,…%=%・%…，。4047f是2024=1的充分条件；

答案第2页，共16页

故选：c

8.A

【分析】根据题意首先保持H在线段EB上不动（与尸重合），研究当点尸运动时〃的轨迹

为线段MN,再根据H点在线段FB上运动的轨迹即可得出点M的轨迹为AMNE及其内部的

所有点的集合.

【详解】如下图所示：

首先保持H在线段网上不动，假设H与尸重合

根据题意可知当厂点在侧棱44上运动时，若尸点在4点处时，G为的中点，

此时由万=2匹可得满足两=2标，

当尸点运动到图中耳位置时，易知函=2函，取NG]CCE=尸，可得辟=2定,

取棱/C上的点N,满足不=2而，根据三角形相似可得尸三点共线，

当点尸在侧棱幺4上从4点运动到A点时，M点轨迹即为线段九W；

再研究当点H在线段F2上运动，

当点、H在线段F8上从点F运动到点3时，加点的轨迹是线段,

当点b在线段不B上从点耳运动到点B时，M点的轨迹是线段尸E,

答案第3页，共16页

因此可得，当点尸是侧棱M上运动时，a在线段E8上运动时，点〃■的轨迹为△跖VE及其

内部的所有点的集合；

即可得”的轨迹为三角形(含内部).

故选：A

9.ABC

【分析】由频率分布直方图的性质可知A正确；由中位数定义以及图中频率计算可知B正

确；由众数定义可得图中最高的区间即代表众数即可估计为97.5,即C正确；由于成绩高

分和最低分不一定分别为130,90,因此极差不一定为40,即D错误.

【详解】对于A,由频率分布直方图的性质可知，图中所有小长方形的面积之和等于1,即

A正确；

对于B,易知组距为5,前两组成绩所占的频率为(001+0.06)x5=0.35<0.5,

前三组成绩所占的频率为(0.01+0.06+0.05)x5=0.6>0,5,由中位数定义可得其估计值介于

100和105之间,即B正确；

对于C,由图可知频率最高的成绩区间［95,100),取中间值为代表可知班成绩众数的估计值

为97.5,即C正确；

对于D,由图可知成绩最高区间为［125,130］,最低区间为［90,95),但最高分和最低分不一

定分别为130,90,所以其成绩极差不一定为40,即D错误；

故选：ABC

10.BCD

【分析】A.由面面垂直的判定定理判断；B.由。//加时，利用线面平行的判定定理判断；C

由“_Lu夕,6//机判断；D.由“〃加,6u4,6//加判断.

【详解】A.若存在直线au平面a,使得直线ad.平面则C尸，故错误；

B.当a//加时，又au(3,mu/3,所以al1/3,故正确；

C.当a，%6匚夕,6//加时，：_1_石，故正确；

D.当a//机,6u/,6//"z时，al1b,故正确；

故选：BCD

11.BD

【分析】由已知得圆心在无轴，设圆心为(％0),然后由圆与直线相切及过点(2,0)列方程组

答案第4页，共16页

求得圆心后再求得半径.

【详解】圆/-2x+/=0的圆心为(1,0),半径为1,

圆C与圆龙2+=0相切于点/(2,0),则圆心在x轴，设圆心为(生。)，

则由题意卜-2|」九」2|,解得.=_1或.=

a=T时，半径为|一1一2|=3,a=时，半径为二2=1,

11444

故选：BD.

12.AC

【分析】根据奇函数的定义即可判定A,根据导数的运算可得62/仁)-62'=',进而可求解

/(司=^^即可求解BD,根据二次函数的图象性质，即可求解C.

【详解】对于A,尸(x)=e"(十，尸(f)=e-"(-x),由〃-x)+e2"(x)=0可得

e-V(-x)+eV(x)=0,所以尸(x)+尸(r)=0,且定义域为R,故尸(x)=e"(x)为奇函数,

A正确，

由于[e2r/(x)-e2x]Z=2e2v/(x)+e2r/(x)-2e2x=e2x[2/(x)+/'(x)-2]=0，所以

『"⑺一小』,。为常数，贝ij/(x)=g£

0

又在〃f)+e2"(无)=0中，令x=0,则"0)=0,故〃0)=菱=0,故c=-l,

所以〃x)=U，

对于B,eV(x)-4<0e2V(x)-3<0,又®e2x-4<0,贝Ux<ln2,

ee

故B错误，

对于C,-为单调递增函数，而y=(x_q)2为开口向上，且对称轴为1二〃

的二次函数，X1,&且占<。<工2是/(x)=(x-Q)2的两个交点，/(xj=(x-a)2的两个交点

设为王,可，则不+巧,=2a,且不<a<x；,又〃尤)=1-*为单调递增函数，所以

/(Xl)=/(-X2，)</(X2)=>J1：2,<X2>所以再+%>2<2，C正确，

由2/(x)+r(x)=2得2/0+/'(0)=2n宜(0)=2,所以〃x)在(0,0)处的切线方程为

y=2x,D错误,

答案第5页，共16页

故选：AC

13.-71^7

【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.

［详解］sin333°=sin(270°+63°)=-cos63°=-Jl-sinW=J-a2,

故答案为：-小

14.82

【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.

【详解】(1+V2)5=C^l°(V2)5+C；1'［V2)4+C)2(⑹3+(⑹2+仁［4(⑹1+仁］5(⑹。

(i_可=cT/可+c［T(可+c/卜可+c丁/可+cT卜何+cj卜司。

可得两式和的结果为82,

故答案为：82

15.生

3

【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直

径，最终利用球体体积公式求解即可.

【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，D,C分别为上、下底面

的圆心，点。为内切球的球心，点E为球。与圆台侧面相切的一个切点.

CD=yjAB2-(BC-AD)2=血+J一(万-炉=^4^=2.

rn44

因此可得：内切球半径，，=<=1,即得内切球的体积为小

4yr

故答案为：

16.百

【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值取NC,3c的中点

答案第6页，共16页

M,N,得到k「L=k,%c=W，再由NC/BC,结合所以左心七=一8,求得

aa

2=0,利用e=£=Jl+（2>,即可求解.

aa\a

【详解】若直线>=h+加与双曲线±-《=1有两个交点G,H,设G,〃的中点为K,

a2b2

y=kx+m

联立方程组（尤22,整理得（/-/左2）无2-2/初穴-/„72-/62=0,

L2b2

2a1kma2km

可得%+%//=则打二上t配

b2-a2k2b2-a2k2

又由长（乙,我）在直线V=去+加上，可得力=/叱。+m=〃：,,

b-akbJ-ak

所以L母*,所以

即直线/与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线/的斜率之积为定值上,

a

如图所示，取4cle的中点〃,N,

因为△OZC的重心P在中线O河上，△03C的重心。在中线ON上，

所以冗=k0p=k0M,k?=k0Q=koN,可得左。叔=《w.须c==’

a

即匕也C=无2,演C=4

a

又由“C/BC,可得3c•后BC=-1，可得占此=一（±）2

a

因为/C」3C,且“3C的外心为点R,则R为线段的中点，

可得k,k=—r，因为k.=1,所以k=—r，

0RABaORa

所以左隹质=一（与）3=-8,所以2=收，

aa

所以e，=Jl+（2）2=3

aVa

故答案为：V3.

答案第7页，共16页

【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得见C得值，根据离心率的定义求解离心率e；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元

二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；

3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率

问题.

17.(1)证明见解析

【分析】(1)根据梯形的性质求解可证进而根据线线垂直即可求证，

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量求解平面夹角，或者利用几何法，结合线面垂直找

到两平面的夹角，根据三角形的边角关系即可求解.

【详解】(1)•尸8_L平面N2CZ),CDu平面48C。，

PBLCD,

IT

过点、B忤BHIICD,由Z5CQ为等腰梯形，NBAD=1

4

JT

故ABHA=NADC=ABAD=-,

4

71

所以NABH=m，即即

PB^AB=B,PB,48u平面PAB,

.•.(力上平面力吕，DCu平面尸48,

故4P_LCD.

答案第8页，共16页

(2)方法~■:Vp-ABCD=§S梯形ZBCZ),PB=2,

・・・AH=AD-BC=2,AB=BH=C,

(CB+AD)ABsm^(2+4)xV2x^-

S梯形ZBCZ)=2=2=3

:・PB=2.

如图，建立空间直角坐标系，

5(0,0,0),C(V2,-V2,0),Z)(2A/2,-V2,0),P(0,0,2),

PC=(V2,-V2,-2),5C=(-V2,0,0),5C=(V2,-V2,0),

设平面PCD法向量为加=(x,Kz),

则PC-m=V2x—y/2y—2z=0fDC-m=—y/2x=0，

取z=—1,得浣=(0,后,一1)

同理，设面尸3。法向量为〃=(见4c),贝lj

PC-m=也a-41b-2c=0BC-n=>/2a-41b=0，

取Q=l,得〃=(1,1,0),

/-一\m-nV2V3

由题意，侬5")=丽=5万=7-

设平面PCD与平面PCB的夹角为8,贝Ucos。=|cos/m,«\|=^-9

答案第9页，共16页

方法二：Vp—ABCD=]$梯形Z5CO，PB=2,

■■■AH=AD-BC=2,:.AB=BH=41,

(CB+AD)ABsin^(2+4)xV2x—

S梯形46CQ-------------------2-=3

22

PB=2.

・•,P3JL平面48CD,尸Bu平面尸8C,.,.平面尸BC）平面48CD,

过。作。则。8_L平面PBC垂足为H,PCu平面尸BC,则。，_LPC,

过77作尸C的垂线，垂足为E,连DE,

由于HE工PC,DH工PC,HEcDH=u平面DEH,

所以PC_L平面。Eb.OEu平面故尸C_LD£,

则NDE”为所求二面角夹角的平面角.

PB=BC=1,AB=CD=4i,所以N8CP=:,

DH=CDs"=l,CH=CH=1,HEHCsin-^―,

442

V2

cosZDEH—==—

DE3'

18.(l)y

(2)0

【分析】（1）首先应用余弦定理得‘2=.2+〃-仍，

然后方法1：使用均值不等式求解C的最小值；

方法2：利用已知条件a+b=l,将c转化成关于。的二次函数，进而求解最小值.

（2）方法1：利用三角形内角和为环得N+3=T，将其代入原式中利用和差角公式即

可化简求值;

答案第10页，共16页

方法2：将cos/=cos（且芋+甘］,cosB=cos1与-型［代入原式，然后利用和差角公

式即可化简求值；

【详解】（1）由余弦定理知c2=/+62-2abcosg,

方法1：/=/+6?=（°+61―3ab2（a+=；

所以当a=6=1时取等，此时448c为正三角形.

22

故。的最小值为g.

Y去2：C?=〃+/—Clb=Q2+(1—q)_Q(1-Q)

=3Q2—3a+1=3(a——

I+冷

所以c'g,当a=；时取等.

故。的最小值为，

27r

(2)方法1：因为/+5=a—C=-^―

、

所以原式=354+35

7

-cosf74-y

I22

7

=-COSy4+—sin^--cosy4-—siny4=0

2222

27r

方法2：因为4+5=»—。=7

nA+BA-BA-B

原式=cos+cos-cos-----

22222

A+BA-B,A+B,A-BA+BA-B.A+B,A-BA-B

=cos-----cos-------sin-----sm------1-cos-----cos------Fsin-----sin-------cos-----

222222222

cA+BA-BA-B

=2cos-----cos--------cos------

222

A-BA-B

=2cos—cos-------cos------

322

A-BA-B八

=cos-------cos------=0

22

答案第11页，共16页

、A-B

综上所述：cos4+cos8-cos---=0

19.(1)S“=〃2

8,w=1

⑵b“=

6n+l,n>2

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可得公差，进而可求解，

（2）方法一根据等差数列的性质列方程即可求解4=8,进而可求解，苗+等=2〃+1,进而

根据%,的关系即可求解，方法二，利用待定系数法，结合等差数列性质的运算即可得

0+T“=2〃+1,即可利用根据的关系即可求解.

【详解】（1）解一：设等差数列｛。“｝的公差为4,则电=%+d=3,

由S5=S4+9可得5%+10d=4al+6d+3%+3",gp2ax=d,

解得4=1,d=2,故s,=〃+当二9=八

解二：由$5=$4+号得$5-S,=$3,故4=3%=9,则[=矢”=2

故a“=a2+(n-l)d=2n-\,则S“=(.=川.

(2)解一：由题意知病隹-历了=2,

则J17+4-T^=2,移项平方得了4=3,则4=8

可得｛历1｝是首项为3,公差为2的等差数列，则，S“+7；=2〃+1,

可得Sn+T„=(2n+1)?,则Tn=3/+4//+1,

2

当“22时，7；,_1=3(«-1)+4(«-1)+1,故

22

bn=7；i-7；_1=3n+4H+l-[3(tt-l)+4(M-l)+l]=6n+l,

8,〃=1

故也,=

6n+\,n>2

解二：由题意可设JS“+7；=2〃+q（9是常数）,

答案第12页，共16页

A息/1+拓b,==24++q/平方相减可得“一

则

则JS"+T=2〃+1，可得S"+7；=（2"+l）2,

贝ljTn=3n2+4〃+1,

2

当“22时，7；,_1-3（«-1）+4（«-1）+1,故

2

bn=Tn-Tn_}=3n+4力+1-[3（“-1）-+4（“-l）+l]=6"+l,

8,n=l

故

a=6w+l,n>2

4

20.(1)最大值等于-

e

(2)答案见解析

【分析】(1)求出导函数/(X),令g(x)=/'(无)，对g(x)再求导，利用导数确定单调性得最

值;

(2)方程变形为左=/也，令左(x)=Z@,对左(x)求导，确定单调性，得出函数值域后可

XX

得结论.

【详解】(1)••・r(x)记g(x)=r(x)

i-l1i-l(一2、1--l-2x1

•••g'(x)=e工・/+ex-I^5-l=ex=0,解得:X=—

2

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当x€&,+(»)时，g'(x)<o,g(x)单调递减，

所以广3的最大值等于/停=上

11--

(2)方法1：由〃x)=丘，即e、=b，即后=土二

X

令％（力=?2,由左'（x）=0解得：X=1

.・"(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，.."nwt(x)=Ml)=l,且Q)>0

答案第13页，共16页

所以：当左＞1时，方程无解；当后=1时，方程有1个解；当0〈人＜1时，方程有2个解.

方法2：由=即广三二日，即左=

X

令g=fe(0,+oo),/«)=/"，.•/(7)=(1一由/'⑺=0解得：t=l

・•・/«)在(0,1)上单调递增,在(1,+s)上单调递减，4«)=/(1)=1,且/(。＞0

所以：当左＞1时，方程无解；当a=1时，方程有1个解；当0＜后＜1时，方程有2个解.

方法3：由〃x)=H,即两边取对数得：1-：=lnA+hu,即In左=1-Tru.

^/z(x)=l---lnx,所以由〃(%)=二_，=^^=0,解得x=l

XXXX

当xe(0,l)时，/(x)＞0,单调递增,当xe(l,+oo)时，/i'(x)＜0,单调递减

所以%x(x)=Ml)=°

当ln4＞0,即左＞1时，方程无解；

当In左=0,即％=1时，方程有1个解；

当In左＜0,即0＜%＜1时，方程有2个解.

21.(i)y=gx°x一%

⑵％〉血-1

【分析】(1)由相切利用导数或判别式求斜率，再由点斜式写出方程；

(2)由//C3为钝角，所以正.无＜0,将向量坐标化得关于坐标的不等式，再利用韦达

定理消元代入不等关系化简求解范围

【详解】(1)解法1：抛物线K：X2=勺即卜=日，

4

则/=Jx,则在/(%,%)处切线48的斜率为4=：%,

所以，AB：