2024-2025学年高中数学第三章概率单元素养评价含解析北师大版必修3

PAGE单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列事务:①假如a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事务的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.由题意可知①③是必定事务,②④是随机事务.2.某班有男生25人,其中1人为班长,女生15人,现从该班选出1人,作为该班的代表参与座谈会,下列说法中正确的是 ()①选出1人是班长的概率为QUOTE;②选出1人是男生的概率是QUOTE;③选出1人是女生的概率是QUOTE;④在女生中选出1人是班长的概率是0.A.①② B.①③ C.③④ D.①④【解析】选D.本班共有40人,1人为班长,故①对;而“选出1人是男生”的概率为QUOTE=QUOTE;“选出1人为女生”的概率为QUOTE=QUOTE,因班长是男生,所以“在女生中选班长”为不行能事务,概率为0,故④正确.3.(2024·蚌埠高一检测)如图是一个边长为3的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1089个点,其中落入白色部分的有484个点,据此可估计黑色部分的面积为 ()A.4 B.5 C.8 D.9【解析】选B.由题意在正方形区域内随机投掷1089个点,其中落入白色部分的有484个点,则其中落入黑色部分的有605个点,由随机模拟试验可得:QUOTE≈QUOTE,又S正=9,可得S黑≈QUOTE×9=5.4.(2024·咸阳高一检测)已知甲,乙,丙三人去参与某公司面试,他们被该公司录用的概率分别是QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三人录用结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录用的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.甲、乙、丙三人都没有被录用的概率P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以三人中至少有一人被录用的概率P=1-P1=QUOTE.5.(2024·汕尾高一检测)影壁,也称为照壁,古称萧墙,是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁.如图是一面影壁的示意图,该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的,正八边形的边长和中间正方形的边长相等,在该示意图内随机取一点,则此点取自中间正方形内部的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设正八边形的边长为QUOTEa,则其面积为(2+QUOTE)QUOTEa2+2×QUOTE(2QUOTEa+2a)a=(4QUOTE+4)a2.中间正方形的面积为2a2.此点取自中间正方形内部的概率是QUOTE=QUOTE.【补偿训练】(2024·唐山高一检测)《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”,注曰:方五斜七者此乃言其大略矣,内方五尺外方七尺有奇.事实上,这是一种开平方的近似计算,即用7近似表示5QUOTE,当内方的边长为5时,外方的边长为5QUOTE,略大于7.如图所示,在外方内随机取一点,则此点取自内方的概率为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选A.由题意可得S内方=25,S外方=50,则外方内随机取一点,则此点取自内方的概率为QUOTE=QUOTE.6.(2024·清远高一检测)从应届中学生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为QUOTE,视力合格的概率为QUOTE,假设各项标准互不影响,从中任选一名学生,则该生恰有一项合格的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.两项都合格的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE,两项都不合格的概率为QUOTE=QUOTE,故恰有一项合格的概率为1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.7.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.QUOTE B.QUOTEC.1-QUOTE D.1-QUOTE【解析】选C.P=QUOTE=QUOTE=1-QUOTE.8.小明通过做嬉戏的方式来确定周末的活动,他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽视),若弹珠到圆心的距离大于QUOTE,则周末去逛公园;若弹珠到圆心的距离小于QUOTE,则去踢足球;否则,在家看书.则小明周末不在家看书的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意画出示意图,如图所示.表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示,则他在家看书的概率为QUOTE=QUOTE,因此他不在家看书的概率为1-QUOTE=QUOTE.9.(2024·潍坊高一检测)四色猜想是世界三大数学猜想之一,其内容是:“随意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面随意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线围成的各区域上分别标有数字1,2,3,4的四色地图符合四色定理,区域A和区域B标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点,则恰好取在标记为1的区域的概率全部可能值中,最大的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.A,B只能有一个可能为1,题目求最大,令B为1,则总数有30个,标1的有10个,则概率为QUOTE.10.某中学举办电脑学问竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成果进行整理后分成5组;第一组[50,60),其次组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而其次小组的频数是40,则参赛的人数以及成果优秀的概率分别是 ()A.50,0.15 B.50,0.75C.100,0.15 D.100,0.75【解析】选C.由已知其次小组的频率是1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,频数为40,设共有参赛选手x人,则x×0.4=40,所以x=100,成果优秀的概率为0.15.11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事务“x+y≥QUOTE”的概率,p2为事务“|x-y|≤QUOTE”的概率,p3为事务“xy≤QUOTE”的概率,则 ()A.p1<p2<p3 B.p2<p3<p1C.p3<p1<p2 D.p3<p2<p1【解析】选B.满意条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA及其边界上.事务“x+y≥QUOTE”对应的图形为图①所示的阴影部分;事务“|x-y|≤QUOTE”对应的图形为图②所示的阴影部分;事务“xy≤QUOTE”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较,可得p2<p3<p1.12.记集合A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合B={(x,y)|x+y-4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.区域Ω1为圆心在原点,半径为4的圆及其内部,区域Ω2为等腰直角三角形及其内部,腰长为4,所以P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(2024·肇庆高一检测)某频率分布表(样本容量为50)不当心被损坏了一部分,只记得样本中数据在QUOTE内的频率为0.6,则估计样本在QUOTE,QUOTE的数据个数之和是________.

分组频数345【解析】由于样本容量为50,故在QUOTE内的频数为50×0.6=30,故在QUOTE内的数据个数之和为30-4-5=21.答案:2114.从一副混合后的扑克牌(52张,不含大小王)中随机抽取1张,事务A为“抽得为红桃K”,事务B为“抽得为黑桃”,则概率P(A+B)=________.(结果用最简分数表示)

【解析】由互斥事务概率公式得P(A+B)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.在箱子中装有十张卡片,分别写有1到10的十个整数;从箱子中任取一张卡片,登记它的读数x,然后再放回箱子中;其次次再从箱子中任取一张卡片,登记它的读数y,则x+y是10的倍数的概率为________.

【解析】先后两次取卡片,形成的有序数对有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共计100个.因为x+y是10的倍数,这些数对应当是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10个,故x+y是10的倍数的概率为P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________.

【解析】记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事务A,如图所示,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF,由几何概型的概率公式得P(A)=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(共70分)17.(10分)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954(1)计算表中优等品的各个频率;(2)该厂生产的电视机优等品的概率约是多少?【解析】(1)优等品的各个频率分别为:0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由以上数据可得优等品的概率约为0.95.18.(12分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司打算了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料,若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别实力.(1)求此人被评为优秀的概率.(2)求此人被评为良好及以上的概率.【解析】将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5种饮料中选出3杯的全部可能状况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事务,E表示此人被评为良好的事务,F表示此人被评为良好及以上的事务,则(1)P(D)=QUOTE.(2)P(E)=QUOTE,P(F)=P(D)+P(E)=QUOTE.19.(12分)某保险公司利用简洁随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表:赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.【解析】(1)设A表示事务“赔付金额为3000元”,B表示事务“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P(A)=QUOTE=0.15,P(B)=QUOTE=0.12.由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为QUOTE=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.20.(12分)在人群流量较大的街道,有一中年人叫卖“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同),旁边立着一块小黑板写道:摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?(2)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱?【解析】(1)把3只黄色乒乓球标记为A,B,C,3只白色的乒乓球标记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个的基本领件为:ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12,A13,A23,BC1,BC2,BC3,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123,共20个.事务E={摸出的3个球为白球},事务E包含的基本领件有1个,即摸出123,P(E)=QUOTE=0.05.(2)事务F={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球},P(F)=QUOTE=0.1,假定一天中有100人次摸奖,由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事务F发生有10次,不发生90次.则一天可赚90×1-10×5=40,每天可赚40元.21.(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的状况,拟采纳分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.【解析】(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为QUOTE=QUOTE,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂,在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事务X)有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2)共有11种,所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=QUOTE.22.(12分)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界