2025年高考数学一轮复习数列中的构造问题（学生版）

培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综

合提升练+拓展冲刺练）

D1【考试提醒】

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的

数列求数列的通项公式.

唱【核心题型】

题型一形如即+i=p〃〃+/00型

形式构造方法

an+1=pan+q引入参数C,构造新的等比数列｛斯一C｝

1=P^n+9川十。引入参数X,y,构造新的等比数列｛源+切+歹｝

［a］

1—pa〃+q"两边同除以夕〃+1,构造新的数n列j

命题点1gW。）

【例题1】（2024•河南•模拟预测）已知数列｛%｝满足一L=：1+：,且出=），则％。u=

an+\$%J4

（）

3IOU21010

B，4而

【变式1］（2024•天津河西三模）若数列｛%｝满足则称｛。,｝为《对奇数列”.已

知正项数列也,+1｝为"对奇数列"，且4=2,则与24=（）

20232024

A.2x32°23B.2c.2D.22025

【变式2］（2022•广西柳州•三模）已知数列｛%｝的首项％=1,其前〃项和为E,,若

S,用=2S“+1,则为=.

【变式3］（23-24高三・山东青岛・期末）已知数列｛%,｝的前九项和为邑，％=2,

a,+i=S”+2•

（1）求数列｛%｝的通项公式;

]3

（2）设d=,记数列｛a｝的前〃项和为q,证明看＜“

log2a„-log2a„+2

命题点2a„+1=pa„+qn+c（p^O,l,qNO）

【例题2】（2023•河南郑州•模拟预测）在数列｛%｝中，％=1,?=9,%+2=3%+1-2%-10,则

｛对｝的前〃项和S"的最大值为（）

A.64B.53C.42D.25

【变式1］（20-21高三上•天津滨海新•期中）已知数列｛%｝满足％=0,an+l=a„+2n-l,则

数列｛4｝的一个通项公式为（）

234

A.an=n-lB.an=（M-1）C.an=（n-1）D.an=（M-1）

【变式2】Q024•宁夏石嘴山•三模）已知数列｛%｝的前，项和为邑，若%=1,见+“用=2〃+1,

则几=.

【变式3］（2024・湖南邵阳•一模）已知数列｛%｝的首项为2M+%M=2"+l（〃eN*）,则

“10-•

命题点3a„+1=pa„+q"(p^O,l,夕WOJ)

【例题3】（2022•河南•模拟预测）在数列｛%｝中，若％=2,。用=32+2向，则%=（）

51

A.n-2nB.----------

22〃

C.2・3〃一2〃+1D.4・3〃T—2〃+I

【变式1](2024・湖南永州•三模)已知非零数列｛%｝满足2%用-2"+2a“=0,则咏=

“2021

()

A.8B.16C.32D.64

【变式2】2024•四川南充•二模）已知数列｛。,｝,满足q=1,且anan+i=2"，贝|%.

【变式3］（23-24高三上•湖南娄底•期末）已知数列｛%｝满足的=2,凡-a用=2",则可。的值

为.

题型二相邻项的差为特殊数列（形如%+i=p%+q%-i）

可以化为恁+l—XIQ“=X2（Q“一1）,其中修，工2是方程N—/一9=0的两个根，若1是

方程的根，则直接构造数列｛Q〃一斯_1｝,若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消

元的方法求数列｛。〃｝

【例题4】（22-23高三上•湖北•阶段练习）己知S”是数列｛%｝的前〃项和，且％=4=1,

an=2a„_x+3an_2（H>3）,则下列结论正确的是（）

A.数列为等比数列B.数列｛“向+2%｝为等比数列

C.S=^（320-l）31+（-广

40D.

2

【变式1］（2024•山西晋中•模拟预测）若数列｛%｝满足％=1,2=4,且对任意的

—1111

及wN（〃22）者口有％讨_2%+%_］=2,则^~-+—T+-~7+••-+-----7=（）

3If11）1012

42120232024J2024

31f1111012

42120242025J2025

【变式2］（2024高三・全国•专题练习）己知数列

｛见｝,%=1,2=2,an+i-5an+4an_i=0（«eN,,«>2）,则｛%｝的通项公式为.

【变式3］（23-24高三上•四川•阶段练习）在数列｛%｝中，%=1,g=2,a向=3%-2a,i

（〃22,〃eN*）.设6“=%+]-%.

⑴求证：数列也｝是等比数列;

⑵设，记数列｛。“｝的前〃项和北，求证：T<\.

U+2）,力（2+i）n

题型三倒数为特殊数列（形如-+1=与二型）

\ran~rsI

1sir1

两边同时取倒数转化为一=一一十一的形式，化归为与+1=夕与+9型，求出一的表达式,

an+\panpan

再求an.

【例题5】（2022・浙江•模拟预测）数列｛为｝满足。用=^^（"eN*）,%=1,则下列结论

错误的是（）

211\~

A.一二一+—B."勺卜是等比数列

。10。3。17

C.［ln-\）an=\D.3a5%7=。49

【变式1］（23-24高三上•山东青岛•期末）设数列｛%｝的前〃项和为S”，已知

12a

%=不，。〃+1=一若1#）,则正整数上的值为（）

/an+1

A.2024B.2023C.2022D.2021

43aV

【变式2］（2021•全国•模拟预测）已知数列｛%｝满足%=%+i=F，若c“=一,则

a

2。〃+Jn

。*2+…+C“=.

,.48〃

【变式3］（2024•全国•模拟预测）已知数列｛。”｝的首项且满足

3a〃十4

⑴求证：数列｛4｝是等比数歹U；

n（、

⑵记C”=7+",求数列｛c,｝的前"项和sn.

1【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2022高三上•河南•专题练习）已知各项均为正数的数列｛a„｝满足a„+1-2n=a„+2〃（"eN*）,

且为>0.若当且仅当力=3时，”取得最小值，且sin（J%）=0,则符合条件的实数为组成的

n2

集合中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛%｝满足6=1,记也,='+1，若存在

%'an

m,〃eN*,使得10g，d+10g,"=6,则迦丑的最小值为（）

mn

8101114

A.—B.—C.—D.—

3345

3.（2023•陕西商洛•模拟预测）已知数列｛%｝的前”项和为S.,a,=-l,an+l+an=2n+l,

若$向+邑=2399,则〃=（）

A.48B.49C.50D.51

4.（23-24高三上•河北•阶段练习）在数列｛%｝中，6=1,an+l=a^-3an+t,且%V2,贝|

实数f的最大值为（）

A.4B.5C.4-\/2D.6

二、多选题

5.（2023•全国•模拟预测）已知数列｛。“｝的前〃项和为S",满足%=La〃+i=2z”+”,则下列

判断正确的是（）

A.邑=11B.a4=19C.Ss=721D.a9=758

6.（2023•辽宁朝阳•一模）已知数列｛%｝满足%=1,且%+1=等工，力eN*,则下列说法正

+1

确的是（）

A.数列｛%｝为递减数列B.0<^<1

fl11

C.阳£7T，=D.—<Wo<—

101^87J115010

三、填空题

7.Q022•湖南益阳•一模）已知数列｛%｝中，%=1,%+1=7-一，若"=-7，则数列入｝

2ana,-L

的前〃项和S“=.

8.（2023・陕西汉中•一模）已知数列｛%｝满足：%+]=3%+3用，若%=3,则｛%｝的通项公

式为•

9.（23-24高三下•湖北•阶段练习）已知数列｛%｝中，^=-,%+1=丁=，〃eN*,则

｛a„an+1｝的前"项和邑=.

四、解答题

10.（2024•陕西西安•二模）已知数列｛%｝的前"项为S"，an=2n+l,数列｛4｝为等比数列,

且出+仇=9,S10+b3=128.

(1)求数列也｝的通项公式；

(2)设c„=a„-bn,求数列｛g｝的前n项和Mn.

11.(2024・全国•模拟预测)已知数列｛%｝满足卬=2,an+1=2an+n.

⑴求证｛%+〃+1｝是等比数列，并求｛。“｝的通项公式；

(2)设=，求证：cx+c2-\---\-cn<\.

an+n

【综合提升练】

一、单选题

L(2023・四川泸州•三模)已知数列｛%｝满足。角=24+2,%=1,则此数列的通项公式为

()

[l,n=lfl,n=1

A.«„=<ciB.a=

[3x2,n>2n[3,n>2

n

C.%=3X2〃T—2D.an=3-2

,、2

2.2023•河南郑州•模拟预测)已知数列｛%｝各项均为正数，q=3,且有4+产3-—，贝|J%二

an

()

13411

A.-------B.——C.4-----------D.-------+2

2"-l2"-l2"-l2"-l

3.（2023•云南红河•一模）已知数列｛〃“｝满足：ax=9,an+l-an=2n,则%=（）

A.21B.23C.25D.27

+8〃+5

4.（2021•四川绵阳•模拟预测）设数列｛%｝满足q=3,〃用=3%-4〃，若bn=---------,

%。〃+1

且数列出｝的前〃项和为S”，则（）

L2、42nJ1）L2）

A.n\1---B.-+--------C.n\1+--D.n\1+-~~-

6n+9）36n+9<6n+9Jv6n+9J

5.（22-23高三上•黑龙江哈尔滨•期末）若数列｛%｝满足。用=/匚（%*0且

则冬山与咏土L的比值为（）

。2023。2022

11

A.-B.-C.2D.3

32

6.（2024•广东茂名•一模）数列｛%｝满足%=8,。向=看片（〃eN*）,

,若数列｛4｝是递减数列，则实数X的取值范围是（）

A・1*[B.1*]C.与+jD.

7.（2023・四川•模拟预测）在数列｛%｝中，VneN\且2<%<3,则下列结

论成立的是（）

A.。2022<。2020B.。2020+“2022>“2021+“2023

C・“2022+“2023<2“2021D.。2023>“2021

,、33a

8.（23-24高三上•江苏盐城•阶段练习）已知数列｛〃/的首项1=y,且%+1=二二，

-+—+—<2025,则满足条件的最大整数〃=（）

%a2an

A.2022B.2023C.2024D.2025

二、多选题

9.（21-22高三上•山东聊城•期末）已知数列｛%｝满足4=1,%+1=瓷7，则下列结论正确

的有（）

川为等比数列

A.

B.｛%｝的通项公式为

C.｛%｝为递增数列

的前"项和北=2"2—3〃一4

10.（2023・重庆•模拟预测）已知数列｛%｝满足％=a；-3%+4,q=4,〃eN*,则下列结

论正确的有（）.

A.数列｛。“｝是递增数列a>4-2"-1

^log2(«,.-2)<2--l

1=1

n.（2024•全国•模拟预测）已知数歹U｛%｝满足。角=。；-2g+2,则下列说法正确的是

（）

A.当％=；时，（〃上2）B.若数列｛对｝为常数列，则g=2

C.若数列｛4｝为递增数列，贝Uq>2D.当%=3时，a„=22n-'+l

12.（2020局二・上海•专题练习）已知数列｛%｝满足a“+i=3a“+4,a,=1,则氏=.

13.（2023・四川乐山■三模）已知数列｛%｝满足%+1=2a“+2,%=1,贝！|。”=.

14.（2023•全国•模拟预测）数列｛%｝满足a“+i+4a“_i=4a“（〃22）,ax=l,a2=3,则log2%

的值为.

四、解答题

15.（23-24高三上•云南楚雄•期末）已知数列｛%｝满足q=2,a“+]=a“+2"+2"7.

⑴求出，。3；

（2）求%,并判断｛4-（"1月是否为等比数列.

16.(23-24高三下,山东•开学考试)已知数歹!J｛%｝满足%=1,。用=。“+2”.

⑴求数列｛6｝的通项公式；

(2也=(-1)"(a,+«-1),求数列也｝的前2n项和S2n.

17.(2024•陕西宝鸡,一■模)已知数列｛%｝,若%=1,且。"+1=2<2"+1.

⑴求证：｛%+1｝是等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式；

(2)若6'="(%+1),且数列的前项和为其，求证：

2"3也+2」34

18.Q024•山西临汾•一模)已知数列｛%｝的首项%=1,且满足an+1=2an+n-l,等比数列｛"｝

的首项且满足

(1)求证：数列｛氏+6是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛。也｝的前〃项和S.

19.（2024•广东深圳•模拟预测）设数列｛g｝满足：%=2,a„+I=2«„+4«-4.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列卜+3%“｝的前〃项和S”.

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.21-22高三下•青海玉树•阶段练习汨知为数列｛%｝的前"项和，若an+l=2«„-2,S2=10,

则｛0“｝的通项公式为（）

2

A.。“=3"-4B.an=2"+2C.an=n"+nD.an=3n-1

2.（20-21高三下•四川成都・期中）已知数列｛%｝满足。角=十二，%=1,数列也｝满足

4=1,b,-bn_x=-｛n>i）,则数列"］的最小值为（）.

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A.――B.—C.2vl3