2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4.1二项分布教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布新版课程标准学业水平要求1.结合生活中的实例,了解二项分布;2.了解二项分布的均值和方差及其意义.1.结合教材实例,了解二项分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求听从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)3.能利用二项分布概率模型解决实际问题.(数学建模)必备学问·素养奠基1.n重伯努利试验(1)伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)定义:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(3)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.定义中“重复”的含义是什么?提示:“重复”意味着各次试验胜利的概率相同.2.二项分布(1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事务A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事务A发生的次数,则X的分布列为PQUOTE=QUOTEpkQUOTE,k=0,1,2,…,n.假如随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X听从二项分布.(2)记法:X～BQUOTE.(3)结论:QUOTEPQUOTE=1.(4)确定一个二项分布模型的步骤:①明确伯努利试验及事务A的意义,确定事务A发生的概率p;②确定重复试验的次数n,并推断各次试验的独立性;③设X为n次独立重复试验中事务A发生的次数,则X～BQUOTE.3.二项分布的均值与方差假如,X～BQUOTE,那么EQUOTE=np,DQUOTE=npQUOTE.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)依次投掷四枚质地不同的骰子,点数1出现2次的试验是4重伯努利试验.()(2)若随机变量X～BQUOTE,则X=1,2,…,n.()(3)若随机变量X～BQUOTE,则PQUOTE=QUOTE·pk.()提示:(1)×.因为骰子的质地不同,点数1出现的概率不同,因此不是4重伯努利试验.(2)×.X=0,1,2,…,n.(3)×.PQUOTE=QUOTEpkQUOTE,k=0,1,2,…,n.2.(2024·钦州高二检测)某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为QUOTE,现甲参与3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选C.某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为QUOTE,现甲参与3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为P=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.某一批植物种子,假如每1粒发芽的概率为QUOTE,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P=QUOTE=QUOTE.关键实力·素养形成类型一求n重伯努利试验的概率【典例】1.(2024·临汾高二检测)随着二胎政策的开放,越来越多中年女性选择放下手中的工作,为二胎做打算.某公司为了使广阔中年女性安心备孕,且不影响公司的正常效益,对公司全部中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性,若每名中年女性倾向于生二胎的概率为QUOTE,且各名中年女性之间不相互影响,则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.(2024·丰台高二检测)某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是QUOTE,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.【思维·引】1.转化为6重伯努利试验,一次试验发生的概率为QUOTE;2.(1)利用概率的乘法公式计算;(2)利用4重伯努利试验的概率公式计算.【解析】1.选C.依题意,所求概率为QUOTE·QUOTE·QUOTE=15×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.(1)设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事务A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事务Bi,则A=QUOTEB2B3B4;因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P(QUOTE)P(B2)P(B3)P(B4)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～BQUOTE,所以所求的概率为P(X=3)=QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.【内化·悟】你能列举出几个常见的n重伯努利试验的例子吗?提示:(1)反复抛掷一枚质地匀称的硬币.(2)正(次)品率的抽样.(3)有放回抽样.(4)射手射击目标命中率已知的若干次射击.【类题·通】关于n重伯努利试验概率的计算首先要推断是否符合n重伯努利试验的特征,其次求出一次试验的概率,最终用n重伯努利试验的概率公式计算.【习练·破】某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.

【解析】击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=QUOTE,P(x=2)=QUOTE0.62×0.4=QUOTE,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=QUOTE.答案:QUOTE类型二求听从二项分布的随机变量的分布列【典例】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:一次购物款(单位:元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+∞)顾客人数20a3020b统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.(1)试确定a,b的值,并估计每日应打算纪念品的数量;(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.【思维·引】(1)先计算购物款不低于150元的人数,再求b,a.(2)先计算1人获得纪念品的概率,再利用4重伯努利试验求概率、分布列.【解析】(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.该商场每日应打算纪念品的数量大约为4000×QUOTE=2400.(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P=QUOTE=QUOTE,故4人购物获得纪念品的数量ξ听从二项分布ξ～BQUOTE,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=4)=QUOTE=QUOTE,所以ξ的分布列为:ξ01234P【内化·悟】利用二项分布求分布列的步骤是什么?提示:依据题意设出随机变量→分析出随机变量听从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.【类题·通】关于利用二项分布求分布列(1)关键是确定随机变量听从二项分布,以及二项分布中的相关参数;(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事务发生的概率的和,或者利用对立事务求概率.【习练·破】高二(1)班的一个探讨性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在肯定条件下发芽胜利的概率为QUOTE,该探讨性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽胜利的概率;(2)其次小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),假如在一次试验中种子发芽胜利就停止试验,否则将接着进行下次试验,直到种子发芽胜利为止,但试验的次数最多不超过5次.求其次小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列.【解析】(1)至少有3次发芽胜利,即有3次、4次、5次发芽胜利.设5次试验中种子发芽胜利的次数为随机变量X,则P(X=3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=4)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=5)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以至少有3次发芽胜利的概率P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ=1)=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=3)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=4)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(ξ=5)=QUOTE×1=QUOTE.所以ξ的分布列为:ξ12345P【加练·固】在一次抗洪抢险中,打算用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,其次次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是QUOTE.(1)求油罐被引爆的概率;(2)假如引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.【解析】(1)油罐引爆的对立事务为油罐没有引爆,没有引爆的可能状况是:射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事务的概率为QUOTE·QUOTE·QUOTE+QUOTE,所以所求的概率为1-QUOTE=QUOTE.(2)当X=4时记为事务A,则P(A)=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.当X=5时,意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中,记为事务B则P(B)=QUOTE·QUOTE·QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以射击次数不小于4的概率为QUOTE+QUOTE=QUOTE.类型三二项分布模型的应用角度1求均值、方差【典例】(2024·广州高二检测)已知随机变量X～BQUOTE,那么随机变量X的均值E(X)=()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【思维·引】利用二项分布的均值公式计算.【解析】选B.因为随机变量X～BQUOTE,所以E(X)=4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【素养·探】★本例考查二项分布的均值、方差的公差计算,同时考查了数学运算的核心素养.本例若随机变量X～B(n,p),若E(ξ)=3,D(ξ)=2,求n的值.【解析】因为随机变量X～B(n,p),所以E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p),因为E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以np=3①;np(1-p)=2②.把①代入②得到1-p=QUOTE,所以p=QUOTE,把p的值代入①,得到n=9.答案:9角度2解决实际问题【典例】(2024·海口高二检测)假定人们对某种特殊的花粉过敏的概率为0.25,现在检验20名高校生志愿者是否对这种花粉过敏.(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率;(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%,则抽取的样本容量至少要多大?(3)若检验后发觉20名高校生中过敏的不到2人,这说明白什么?试分析缘由.附:0.7518=0.0056,0.7519=0.0042,0.7520=0.003,lg0.75=-0.1249.【思维·引】(1)利用对立事务简化概率计算;(2)利用概率公式列出不等式,通过对数运算求样本容量的范围;(3)从假设、抽样检验的科学性分析.【解析】(1)设样本中对花粉过敏的人数为X,则X～B(20,0.25),所以P(X=2)=QUOTE×0.252×0.7518=0.067,P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.7520-QUOTE×0.25×0.7519=1-0.003-0.021=0.976.所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.067,至少有2人过敏的概率为0.976.(2)设样本容量为n,该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y,则Y～B(n,0.25),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.75n>99.9%,解得0.75n<0.001,取对数得nlg0.75<-3,解得n>QUOTE=24.02,所以抽取的样本容量至少为25人.(3)由(1)知检验的20人中不到2人过敏的概率为1-0.976=0.024,此概率特别小,在正常状况下一次试验中几乎不会发生,出现这种状况的缘由可能有:①原假设不成立,即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25.②检验的样本只针对高校生,没有随机性.③检验的环节出现了问题.【类题·通】关于二项分布的应用(1)若随机变量符合二项分布,则可干脆利用公式求均值和方差;(2)在一些综合性的问题中,二项分布模型要与其他的概率学问,如独立事务同时发生,抽样等学问相结合应用.解题过程中要分清随机变量取值的实际意义,利用相关的概率学问解题.【习练·破】甲、乙两人进行投篮竞赛,两人各投3球,谁投进的球多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为QUOTE,乙投进的概率为QUOTE,求:(1)甲投进2球且乙投进1球的概率;(2)在甲第一次投篮未进条件下,甲最终获胜的概率.【解析】(1)甲投进2球的概率是QUOTE×QUOTE=QUOTE,乙投进1球的概率是QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲投进2球且乙投进1球的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)甲第一次未进最终获胜的状况有:①甲后2球都投进,乙投进1球或都不进:P1=QUOTE×QUOTE·QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.②甲后2球进1球,乙都不进.P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以甲第一次投篮未进,最终获胜的概率为P1+P2=QUOTE.课堂检测·素养达标1.下列随机变量X不听从二项分布的是()A.投掷一枚匀称的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从起先射击到击中目标所须要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球竞赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数【解析】选B.选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为QUOTE,每一次试验都是独立的,故随机变量X听从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事务相互独立且概率不发生改变,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不听从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5局竞赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X听从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X～B(n,0.3).2.在竞赛中运动员甲获胜的概率是QUOTE,假设每次竞赛互不影响,那么在五次竞赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.由n次独立重复试验的概率计算公式,得QUOTE·QUOTE=QUOTE.3.现有5个人独立地破译某个密码,已知每人单独译出密码的概率均为p,