人教版高中数学《统计》重难点归纳总结（解析版）

第9章统计重难点归纳总结

普查

抽签法

收物据简单随机抽样r——-

抽查随机数表法

分层随机抽样

频率分布直方图

统领里州直克表

计扇形图

图表

折线图

箜衫图

直视图

用样本估计总体

平均数

申械

特征数众数

方差

极差

百分位数

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

考点一简单随机抽样

【例「1】（2023•云南）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号

001,002,……，699,700,从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行

第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（）

33211834297864560732524206443812234356773578905642

84421253313457860732253007328523457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.368C.253D.072

【答案】B

【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前8个编号分别是：253,313,457,860（舍）,

732（舍），253（舍），007,328,523,457（舍），889（舍），072,368,则得到的第8个样本编号是368.

故选:B.

【例1-2］（2023贵州六盘水）为研究病毒的变异情况，某实验室成功分离出贝塔毒株、德尔塔毒株、奥密

克戎毒株共130株，其数量之比为7:2:4,现采用按比例分配的分层抽样的方法从中抽取一个容量为26的样

本，则奥密克戎毒株应抽取（）株

A.4B.6C.8D.14

【答案】C

4

【解析】由题意可得：奥密克戎毒株应抽取26x」「=8株.故选：C.

【一隅三反】

1（2023•四川绵阳）现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活

小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁

以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方

法分别为（）

A.①抽签法，②分层随机抽样B.①随机数法，②分层随机抽样

C.①随机数法，②抽签法D.①抽签法，②随机数法

【答案】A

【解析】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；

对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.

故选：A.

2（2022春・广东揭阳•高一普宁市华侨中学校考阶段练习）（多选）为了解某市高三毕业生升学考试中数学成

绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列

说法错误的是（）

A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生

B.个体指的是1000名学生中的每一名学生

C.样本容量指的是1000名学生

D.样本是指1000名学生的数学升学考试成绩

【答案】ABC

【解析】因为要了解某市高三毕业生升学考试中学生的数学成绩的情况，所以要进行成绩统计，

因此，本题的总体是该市高三毕业生的数学成绩，个体是指每名学生的成绩，样本容量是1000,

因此样本是指1000名学生的数学成绩，故选：ABC

3.（2022•江苏•高一专题练习）已知总体容量为106,若用随机数表法抽取一个容量为10的样本.下面对总体

的编号最方便的是（）

A.1、2、3、…、106B.0、1、2、…、105

C.00、01、02、…、105D.000、001、002、…、105

【答案】D

【解析】由随机数抽取原则可知最方便的编号应为均编排为三位数，从000开始，到105结束，D为正确

答案..故选：D

4.（2022•高一单元测试）（多选）下面的抽样方法不是简单随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709

的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

【答案】ABC

【解析】A、B不是简单随机抽样，•.♦抽取的个体间的间隔是固定的，

C不是简单随机抽样，•.♦总体的个体有明显的层次，属于分层抽样，

D是简单随机抽样，故选：ABC.

考点二统计图的解读

【例2-1］（2022•高一单元测试）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选

择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分

数，由高到低进行排序，评定为/、B、C、D、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年

参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年

“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的

是（）

2016年该校“选择考”等级统计2018年该校“选择考”等级统计

■4等级28%

■8等级32%

■C等级30%

。等级8%

■E等级2%

A.获得A等级的人数减少了

B.获得8等级的人数增加了1.5倍

C.获得。等级的人数减少了一半

D.获得E等级的人数相同

【答案】B

【解析】设2016年参加考试尤人，则2018年参加考试2x人,

根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：

年份ABCDE

20160.28%0.32%0.3x0.08x0.02x

20180.48%0.8x0.56x0.12x0.04x

由图可知A、C、D选项错，B选项对.

故选:B.

【例2-2］（2022•高一单元测试）（多选）某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，其各项支出

占家庭这一年支出的比例如下图，则下面结论正确的是（）

2018年家庭各项支出比例2019年家庭各项支出比例

①日常生活②房贷还款③旅游①日常生活②房贷还款③旅游

④教育⑤保险⑥其他④教育⑤保险⑥其他

A.2019年日常生活支出减少

B.2019年保险支出增加了一倍以上

C.2019年其他支出是2018年其他支出的两倍多

D.2018年和2019年每年中的日常生活和房贷还款支出之和占该年总支出的一半以上

【答案】BCD

【解析】设2018年的总支出为x,则2019年的总支出为1.5x,

又2018年家庭各项支出分别为：

①0.35x、②0.3x、③O.lx、④0.15x、⑤0.05x、@0.05x,

又2019年家庭各项支出分别为：

①0.51x、@0.375%,③0.18x、@0.195%,⑤0.105x、@0.135x,

比较相应数据，0.51x>0.35x/选项不正确，

2019年保险支出为0.105x,比较0.05x,增加了一倍以上，B正确；

2019年其他支出为0.135X,2018年其他支出0.05x的两倍多，C正确；

2018年和2019年每年中的日常生活和房贷还款支出之和分别为0.65X,0.885X，都占该年总支出的一半以上,

D正确，故选：BCD.

【一隅三反】

1.（2022•高一单元测试）某只股票近10个交易日的价格如下:

天数12345678910

股价/元4.324.184.284.344.304.454.514.484.524.55

下列几种统计图中，表示上面的数据较合适的是（）

A.柱形图B.扇形图C.折线图D.茎叶图

【答案】C

【解析】柱形图主要用来比较每天股价的最大值和最小值，开盘价和收盘价，也有一定的表示趋势的作用;

扇形图主要用来表示价格区间的比例关系，用扇形面积比较彼此之间的比例很直观，但不能表示股价的趋

势和波动情况；

折线图则能有效地表示出每天的股价波动情况和趋势；

茎叶图可以收集所以的原始数据，便于随时填写，也能看出主干上数据的多少，但不能表示股价波动的情

况；

通过以上比较，作如图的折线图，我们比较直观地看出此股票在这10天中，

其价格总体是一个上升趋势，也可以看出每天的变化，

.♦•用折线图表示不断变化的数据，是有优越性的；

2.（2023・全国•高一专题练习）（多选）某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进

了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，佳户对商品房的户型

结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取〃名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查,

如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为!，二居室住户占，如图2是用分层抽样的方法从所

有调查的市民的满意中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）

A.样本容量为70

B.样本中三居室住户共抽取了25户

C.根据样本可估计对四居室满意的住户有70户

D.样本中对三居室满意的有15户

【答案】ABC

【解析】A选项，总体容量为600,样本容量为600x10%=60,故选项A错误，

B选项，样本中三居室住户共抽取300xl0%=30（户），故选项B错误，

C选项，对四居室满意的住户共有200x40%=80（户），故选项C错误，

D选项，样本中三居室住户有300xl0%=30（户），

对三居室满意的住户有30x50%=15（户），故选项D正确，

故选：ABC.

3.（2022•高一单元测试）（多选）下列说法中，错误的是（）

A.频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率

B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

C.数据2、3、4、5的方差是数据4、6、8、10的方差的一半

D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

【答案】ABC

【解析】A选项，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故A错，

B选项，一组数据的方差是这组数据的标准差的平方，B错，

C选项，数据2、3、4、5的平均数为3.5,设其方差为s?,

4、6、8、10在2、3、4、5的基础上扩大了2倍，

二方差将变为原来的2?=4倍，,4、6,8、10的方差为4sz,C错，

D选项，方差越大，表示这组数据的波动越大，即不越稳定，波动越大，D对，

故选：ABC.

4.（2022•高一单元测试）（多选）关于统计数据的分析，则以下结论中错误的是（）

A.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化

B.绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距

C.一组数据的方差一定是正数

D.如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在

[50,60）的汽车大约是60辆

频率

【答案】BC

【解析】A选项，..•方差反映一组数据的波动大小，...整体变化不改变波动大小，

，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，对，

B选项，频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率，错，

1--_

C选项，由S-=—［（X］-X）-+（%-x）2+-X）］得出方差是非负数，错，

n

D选项，根据频率分布直方图得，时速在［50,60）的汽车大约是200x0.03x10=60（辆），对，

故选：BC.

5.（2022・高一单元测试）（多选）某市为最大限度的吸弓1“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才

引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越

来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取“名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调

查的所有市民中四居室共200户，所占比例为2，二居室住户占j如图2是用分层抽样的方法从所有调查的

市民的满意中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）

A.样本容量为60

B.样本中三居室住户共抽取了25户

C.根据样本可估计对四居室满意的住户有70户

D.样本中对三居室满意的有15户

【答案】BC

【解析】A选项，总体容量为600,样本容量为600x10%=60,对，

B选项，样本中三居室住户共抽取300x10%=30（户），错，

C选项，对四居室满意的住户共有200x40%=80（户），错，

D选项，样本中三居室住户有300xl0%=30（户），

对三居室满意的住户有30x50%=15（户），对，故选：BC.

考点三特征数

【例3-1］（2022•高一单元测试）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测

试结果按如下方式分成六组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…;

第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17

秒的学生人数占全部总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒的学生人数为丁，则从频率分布直方图中可分

析出x和了分别为（）

A.0.135B.0.145C.0.935D.0.940

【答案】D

【解析】成绩小于17秒的学生人数占的频率=0.34+0.36+0.18+0.02=0.9,

则成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为90%,

成绩大于等于15秒的学生的频率为=0.34+0.36+0.06+0.04=0.8,

则人数等于50x0.8=40人，

故选：D.

【例3-2］（2023•全国・专题练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发

生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例数据信息如下：

甲地：总体平均数为3,中位数为4；

乙地：总体平均数为1,总体方差大于0;

丙地：中位数为2,众数为3；

丁地：总体平均数为2,总体方差为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】D

【解析】对于甲地，若连续10日的数据为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,则满足平均数为3,中位数为4,但不符合

没有发生大规模群体感染的标志，A错误；

对于乙地，若连续10日的数据为0,0,0,0,0,0,0,0,04。，则满足平均数为1,方差大于0,但不符合没有发生

大规模群体感染的标志，B错误；

对于丙地，若连续10日的数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,则满足中位数为2,众数为3,但不符合没有发生大

规模群体感染的标志，C错误；

对于丁地，若总体平均数为2,假设有一天数据为8人，则方差S2>\X（8-2）2=3.6>3,不可能总体方差

为3,则不可能有一天数据超过7人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.

故选：D.

【例3-3］（2022•高一单元测试）给定一组数5、5、4、3、3、3、2、2、2、1,则85%分位数为

【答案】5

【解析】将数据从小到大排序得1、2、2、2、3、3、3、4、5、5,则急xlO=8.5,.•.第85百分位

数为5.故答案为：5

【一隅三反】

1.（2022・高一单元测试）如图是2022年在北京举行的冬季奥运会上，七位评委为某高山滑雪打出的分数的

茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）

79

844647

93

A.842.4

B.844.84

C.851.6

D.854

【答案】C

【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据84、84、86、84、87的平均数为4=吃吧等曳区=85,

方差为2_(84-85)2+(84-85)2+(86-85)24(84-8^24(87-8^2J

'5V

故选：C.

2.(2022春•新疆塔城・高一沙湾县第一中学校考期末)2021年是中国共产党成立100周年，某学校团委在7

月1日前，开展了“奋斗百年路，启航新征程"党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数(满

分100分且每人的分值为整数)分成6组：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]得到如

图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名学生的分数说法错误的是()

A.分数的中位数一定落在区间[85,90)

B.分数的众数可能为97

C.分数落在区间[80,85)内的人数为25

D.分数的平均数约为85

【答案】B

【解析】A,由频率分布直方图可得

(0.01+0.02x2+0.03+6+0.07)x5=1,解得6=0.05,

前三组的概率为(0.02x2+0.05)x5=0.45<0.5,

前四组的概率为(0.02x2+0.05+0.07)x5=0.7>0.5,

所以分数的中位数一定落在第四组[85,90)内，故A正确;

B,分数的众数可能为87.5,故B错误；

C,分数落在区间［80,85）内的人数约为0.05x5x100=25,故C正确.

D,分数的平均数为：

72.5x0.02义5+77.5义0.02x5+82.5x0.05x5

+87.5x0.07x5+92.5x0.03x5+97.5x0.01x5=85,故D正确.

故选：B

3（2023四川广元）为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如

图所示的茎叶图.有下列结论：

甲乙

985289

213012

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；

②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；

③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；

④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③B.①④

C.①③D.②④

【答案】A

【解析】甲的得分为25,28,29,31,32；

乙的得分为28,29,30,31,32；

因为#25+28+29+31+32）=29,#28+29+30+31+32）=30

|［（25-29）2+（28-29）2+（29-29f+01-29J+02-29力=6

|［（28-30）2+（29-30）2+（30-30）2+（31-30）2+（32-30）2］=2

故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为6、2；

故正确的有②③；

故选：A

考点四综合运用

【例4】(2023•全国•高二专题练习)某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了

样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在［1000,1500).

频率

0.0005-----------------I------------

0.0004-----------I——

0.0003------------------------------------

0.0002----|-----

0.0001------------------------------------——।»

O1000150020002500300035004000月收入/元

(1)求居民月收入在［3000,3500)的频率；

(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出

100人作进一步分析，则月收入在［2500,3000)的这段应抽多少人？

【答案】⑴0.15

(2)2400元

(3)25人

【解析】⑴月收入在［3000,3500)的频率为：

0.0003x(3500-3000)=0.15

居民月收入在［3000,3500)的频率为0.15.

(2)0.0002x(1500-1000)=0.1,

0.0004x(2000-1500)=0.2,

0.0005x(2500-2000)=0.25,

0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

51+02

样本数据的中位数为2000+°--(°--)=2000+400=2400

0.0005

样本数据的中位数为2400元.

(3)居民月收入在［2500,3000)的频率为：

0.0005x(3000-2500)=0.25,

：.10000人中月收入在［2500,3000)的人数为：

0.25x10000-2500,

再从10000人中分层抽样方法抽出100人,

则月收入在［2500,3000)的这段应抽取:

，八八2500

100x--------=25,

10000

/.月收入在［2500,3000)的这段应抽25人.

【一隅三反】

1.(2022•高一单元测试)2016年1月1日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了150

名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下:

频率

(1)根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值无、众数和样本方差$2(同组数据用区间的中

点值代替，结果精确到个位)；

(2)若在愿意生育二孩的且年龄在［30,34)、［34,38)、［38,42)的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取19人,

试估计每个年龄段应各抽取多少人？

【答案】⑴平均值36、众数为36,方差25

(2)人数分别为4人、11人、4人.

【解析】⑴

已婚男性的平均年龄元和样本方差S?分别为：

x=24-0.04+28-0.08+32-0.16+36-0.44+40-0.16