全国统考2024高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2排列与组合学案理含解析北师大版

PAGE11.2排列与组合必备学问预案自诊学问梳理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据排成一列

组合合成一组2.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同的个数

组合数的个数

3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(2)C性质(1)0!=;

Ann=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1(2)CnC1.Anm=(n-m+1)2.Anm=n3.(n+1)!-n!=n·n!.4.kCnk=n5.Cn考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后依次.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)若组合式Cnx=Cnm,则(5)排列中,给出的n个元素各不相同,被取出的元素也各不相同的状况.即假如某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.()2.2024年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖实行,长三角城市群包括:上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生打算高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中随意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764 B.916 C.812563.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法种数为()A.18 B.20 C.21 D.224.2024年7月1日迎来了我国建党99周年,6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班,他们站成一排拍照留念时,要求同班的3名党员站在一起,且满意条件的每种排法都要拍一张照片,若将照片洗出来,每张照片0.5元(不含过塑费),且有一半的照片须要过塑,每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分),则每名老党员须要支付的照片费为()A.20.5元 B.21元 C.21.5元 D.22元5.(2024广西柳州抽测)将4名学生分别支配到甲、乙、丙三地参与社会实践活动,每个地方至少支配一名学生参与,则不同的支配方案共有种.

关键实力学案突破考点简洁的排列应用题(多考向探究)考向1在与不在问题——特别元素(或位置)优先法【例1】6人站成一排,其中甲不能站在排头,乙不能站在排尾的不同排法共有种.

解题心得解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法——即以元素为主,优先考虑特别元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法——即以位置为主,优先考虑特别位置的要求,再考虑其他位置.变式发散6人站成一排,则甲既不站排头又不站排尾的站法有种.

对点训练16个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种 B.216种C.240种 D.288种考向2相邻问题——捆绑法【例2】3名男生、3名女生排成一排,男生必需相邻,女生也必需相邻的排法种数为()A.2 B.9 C.72 D.36解题心得在实际排列问题中,某些元素要求必需相邻时,可以先将这些元素看成一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“捆绑法”.对点训练2某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车须要停放,假如要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16 B.18 C.24 D.32考向3不相邻问题——插空法【例3】某校高三要支配毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出依次,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()A.1800 B.3600 C.4320 D.5040解题心得某些元素要求不相邻时,可以先支配其他元素,再将这些不相邻元素插入已排好的元素的空隙或两端位置,这种方法称为“插空法”.对点训练3某次联欢会要支配3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出依次,同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168考向4定序问题——等几率法【例4】有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不肯定相邻),不同的排法共有种.

解题心得若有(m+n)个元素排成一列,其中有m个元素之间的依次固定不变,则将这(m+n)个元素排成一列,共有Am+nm+n种不同的排法,然后固定其他的n个元素的位置不动,把这m个元素变换依次,共有A对点训练47个人排成一队参观某项目,其中A,B,C三人进入展厅的次序必需是先B再A后C,则不同的列队方式种数为()A.120 B.240 C.420 D.840考点组合问题【例5】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必需在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解题心得组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必需非常重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用干脆法和间接法都可以求解,通常用干脆法分类困难时,考虑逆向思维,用间接法处理.对点训练5(1)从4男2女共6名学生中选出队长1人,副队长1人,一般队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,不同选法共有()A.156种 B.168种 C.180种 D.240种(2)2024年国庆假期,高三的8名同学打算拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种 B.24种 C.48种 D.36种考点分组与安排问题【例6】按下列要求安排6本不同的书,各有多少种不同的安排方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均安排给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.解题心得分组、安排问题的一般解题思路是先分组再安排.(1)分组问题属于“组合”问题.①对于整体均分,不管它们的依次如何,都是一种状况,所以分组后肯定要除以组数的阶乘;②对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;③对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)安排问题属于“排列”问题.①相同元素的“安排”问题,常用的方法是采纳“隔板法”;②不同元素的“安排”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,其次步是发放;③限制条件的安排问题常采纳分类法求解.对点训练6(1)某科研单位打算把7名高校生安排到编号为1,2,3的三个试验室实习,若要求每个试验室安排到的高校生人数不小于该试验室的编号,则不同的安排方案的种数为()A.280 B.455 C.355 D.350(2)(2024新高考全国1,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆支配1名,乙场馆支配2名,丙场馆支配3名,则不同的支配方法共有()A.120种 B.90种 C.60种 D.30种(3)在其次届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了便利接待,现将其中的五个参会国的人员支配酒店住宿,这五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的支配方法共有()A.96种 B.124种 C.130种 D.150种11.2排列与组合必备学问·预案自诊学问梳理1.肯定的依次2.排列组合3.(1)1考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2.B4名同学去旅游的全部状况有44=256(种),恰有一个地方未被选中共有C41·C42C213.B当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有A22·A33=12(种),当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的随意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有4.B利用捆绑法可求得照片的总数为A33A44=144,则每名老党员须要支付的照片费为144×05.36第一步,先从4名学生中任取两人组成一组,与剩下2人组成三组,有C42其次步,将分成的三组支配到甲、乙、丙三地,则有A33=故共有6×6=36(种)不同的支配方案.关键实力·学案突破例1504(方法1特别元素法)分两类:第1类,甲先从中间四个位置选一个站好,有A41种站法.乙不站排尾,则乙可从除排尾之外的4个位置中选一个站好,共有A41种站法.其余四人随意排,有A44第2类,甲站排尾,此时,乙不再特别,共有A55种站法.依据分类加法计数原理,共有A4(方法2特别位置法)排头与排尾特别,故可以从排头与排尾入手.分三类:第1类,从除甲、乙之外的4人中选2人站排头、排尾,有A42A44种站法.第2类,甲站排尾,有A55种站法.第3类,乙站排头,有A55种站法(其中重合部分:乙站排头,甲站排尾,有(方法3间接法)6人站成一排有A66种站法,甲站排头或乙站排尾有2A55种站法,甲站排头且乙站排尾有A44种站法,故共有A变式发散480先支配甲的位置(既不站排头又不站排尾),再支配其他5人的位置,分为两步:第1步,将甲排在除排头、排尾的随意位置上,有A41种站法;第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有A55种站法.由分步乘法计数原理可知,共有对点训练1B分两类:第1类,甲在最左端,有A55=5×4×3×2×1=120(种)不同的排法;第2类,乙在最左端,甲不在最右端,有4A44=4×4×3×2×1=96(种)不同的排法.所以共有120+例2C可分两步完成:第1步,把3名女生作为一个整体,看成一个元素,3名男生作为一个整体,看成一个元素,两个元素排成一排有A22种排法;第2步,3名女生排在一起有A33种排法,3名男生排在一起有A3对点训练2C将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上随意排列,有A33=6(种)方法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空位中,有4种方法,故共有4×6=例3B先解除舞蹈节目以外的5个节目,共A55种排法,再把2个舞蹈节目插在6个空位中,有A62种排法,所以共有对点训练3B先支配小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.支配小品节目和相声节目的依次有三种:“小品,小品,相声”“小品,相声,小品”和“相声,小品,小品”.对于第一种状况,形式为“□小品歌舞小品□相声□”,有A22C31A32=36(种)支配方法;同理,第三种状况也有36种支配方法;对于其次种状况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品□相声□小品□”,有A22A43例48407名学生的排列共有A77种,其中女生的排列共有A33种,依据从左到右,女生从矮到高的排列只是其中的一种,故有对点训练4D依据题意,先将7人排成一列,有A77种排法,其中A,B,C三人进入展厅的次序必需是先B再A后C,即A,B,C三人依次肯定,则不同的列队方式有A7例5解(1)从余下的34种商品中,选取2种,有C342=561(种)取法,故某一种不合格商品必需(2)从34种可选商品中,选取3种,有C343种或者C353-(3)从20种合格商品中选取1种,从15种不合格商品中选取2种,有C201C152(4)选取2种不合格商品有C201C152种取法,选取3种不合格商品有C153种取法,共有C故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2555种.(5)随意选取3种的总数为C353,因此共有C353-C15故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6090种.对点训练5(1)B(2)B(1)从4男2女共6名学生中选出队长1人,副队长1人,一般队员2人组成4人服务队有C61·C51·C42=6×5×4×32=180(种)选法,服务队中没有女生的选法有C41·C(2)由题意,第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为C32=3(种),然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4,故有3×4=12(种);其次类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为C31=3,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=例6解(1)先从6本书中选1本,有C61种安排方法;再从剩余5本书中选择2本,有C52种安排方法,剩余的就是3本书,有C33种安排方法,所以总共有(2)由(1)可知分组后共有60种方法,分别分给甲、乙、丙后的方法有C61C(3)从6本书中选择2本书,有C62种安排方法;再从剩余4本书中选择2本书,有C42种安排方法;剩余的就是2本书,有