2024-2025学年江苏省徐州某中学高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中高三(上)第一次质检数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，已知全集〃=凡集合4={处(2%-3)•(x+1)W0},B={x\x>0),则图中阴影部分表示的集

合为()

A.{x\x<—1}B.(x\x<-1}

C.{x\x<0或久>-}D.{x\x<0或久>-}

2.“x>l”是“§<1”的()

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

3.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京,

所以甲不去北京，则不同的选法有()

A.18种B.48种C.108种D.192种

4.已知sin(a+$+sina=|,贝！Jcos(2a+今=()

1119

A19B--C-D—

A-一》9927

5.已知函数f(%)=e-|x|,则使得/(2Q)</(a+1)成立的正实数a的取值范围是()

A.。,+8)B.扇+8)C.(1,+8)D.(0,1)

6.已知sin(a—/?)=2cos(a+S),tan(a—S)=贝亚cma-tan^=()

4747

A-7ByC.-D.-

7.已知a>b20且=+W=1,贝U2a+b的最小值为()

a+ba-b

A.12B.8/3C.16D.8混

8.已知函数f(%)=2%+2-%+cos%+/,若。=/(5,2"),b=/(2)5兀)，c=/(SZHTT2),贝(J()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法中，正确的是()

111

A.若PQ4|B)=P(B|4)=土P(4)=I，则P(B)=焉

B.已知随机变量f服从正态分布N(2*2),<4)=0.74,则P(2<§<4)=0.24

C.已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为y=a+bx；若b=2,x=l,y=3,则a=1

D.若样本数据%i，K2，…，So的方差为2,则数据2/-1,2X2-1,2/0-1的方差为4

10.已知AaBC内角4B、C的对边分别是a、b、c,2=2B,则()

A.a2=b(_b+c)B.2+4的最小值为3

cb

C.若A/IBC为锐角三角形，贝哈e(1,2)口.若口=2混,匕=3,贝!]0=3

11.设函数/(x)=2刀3-3ax2+i,贝ij()

A.当a>1时，/(%)有三个零点

B.当a<0时，x=。是/(久)的极小值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1)(1))为曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(2x-的展开式中，/的系数为.(用数字作答)

13.已知函数/Q)=x3f(l)-4Znx-12,则/'(3)=.

14.在AABC,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,^ABC=120°,BD1BC交AC于点D,且BD=1,则

2a+c的最小值为_____.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—2BCD中，底面48C0为正方形，PA1平面力BCD,M,N分别为棱PD,BC的中点，

PA=AB^2.

(I)求证：MN〃平面24B；

(II)求直线MN与平面PC。所成角的正弦值.

16.(本小题12分)

已知函数/(%)=As讥(3%+0)(4>0,3>0,/夕/V兀)的一段图象如图所示.

(1)求函数/(%)的单调增区间；

(2)若久e［一**求函数TO)的值域.

17.(本小题12分)

已知函数/'(x)=%2—(2a+l)x+alnx,aGR.

(1)若a=0,求曲线y=/(比)在点P(2,/(2))处的切线方程.

(2)若f(X)在x=1处取得极值，求/(久)的极值.

(3)若/(久)在［l,e］上的最小值为-2a,求a的取值范围.

18.(本小题12分)

△2BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c.己知asin(4+B)=csin§^.

(I)求4

(II)已知b=l,c=3,且边BC上有一点。满足SMBD=3SAADC，求力

19.(本小题12分)

若曲线C的切线I与曲线C共有几个公共点(其中几6N,n>1),则称2为曲线C的“&一切线”.

(1)若曲线y=/(X)在点(1,-2)处的切线为0—切线，另一个公共点的坐标为(3,4),求/'(1)的值;

(2)求曲线y=%3-3/所有A一切线的方程；

(3)设/(x)=x+s讥x,是否存在te(o,》使得曲线y=/(x)在点(疗⑷)处的切线为73—切线？若存在,

探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由.

参考答案

l.B

2.5

3.D

4.0

5.C

6.4

7.C

8.D

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.24

13.42-4Zn3

14苧

15.解：(I)证明：在四棱锥P—ABC。中，

取PA的中点E,连接E8、EM,

因为M是PD的中点，

所以EM〃/W,且=

又因为底面48CD是正方形，N是8c的中点，

1

所以BN〃AD,且BN=%D.

所以EM-BN-

所以四边形MNBE是平行四边形.

所以MN//EB.

由于EBu平面PAB,MN，平面PAB,

所以MN〃平面P4B.

(〃)因为底面力BCD是正方形，所以AB1AD.

又因为24_L平面4BCD.

所以以点A为坐标原点，AB.AD,4P分别为％、y>z轴，

如图建立空间直角坐标系.4(000),C(2,2,0)，0(020),P(0,0,2),M(OJ,1),N(2,l,0).PC=

(2,2,-2),而=(-2,0,0)，

设平面PCD的法向量为记=(x,y,z).

有：俨.匡=0,即1+：-z=0,令,则z=i,

所以沅=(0,1,1).W=(2,0,-1).

设直线MN与平面PCD所成角为。.

有-mW-।而,沅।-|0x2+lx0+lx(-l)|_710

有：sine-|cos〈MN,m)|_丽阿-/5x/2-io-

所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为点.

10

16.解：⑴由题意知：A=2,最小正周期T=2x得+$=7T,

•••3=2,

由f管)=-2,即s讥弓+0)=-1,

///冗/37r77r

1■1/,/<兀，<彳+9〈彳，

37r3TTJ日37r

•••1+"=f倚口=彳，

故函数/(久)的解析式为：/(%)=2sin(2x+

由2/CTT——<2x+—W2kli-,k6Z,

Z4Z

得kn-%〈kji—J

oo

所以函数/(x)的单调增区间为生兀一^水兀―g,kez；

(2)VXG[-^，5，

2x+与e[0,棠,

2sin(2x+—)€[—2].

・•・函数f(x)的值域为[―，％2].

17.解：(1)若a=0,则/(%)=/一%,则r(x)=2x—1,

故f(2)=2,尸(2)=3,

故曲线y=/(x)在点P(2,/(2))处的切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0；

(2)/(%)=x2—(2a+l)x+alnx,aGR定义域为(0,+8),

则=2x-(2a+1)+%

由于f(x)在x=1处取得极值,故((1)=2-(2a+1)+a=0,a=1,

则((久)=2%-3+-=2/-3T+1=(21)(1),

XXX

令f'(x)>0,则0<x<3或%>1,函数/(久)在(0,；),(1,+8)上均单调递增,

1

贝nt

u2-函数/(%)在6,1)上单调递减,

故当%=只时,f(%)取到极大值f(5)=^-|+ln|=---Zn2,

ZZ4ZZ4

当x=1时，fO)取到极小值/(I)=1-3=-2；

(3)由于/'(%)=2x—(2a+1)+9=(2x?*a),xe

当Q<1时，//(x)>0,仅在a=l,%=1时等号取得，/(%)在［l,e］上单调递增，

则5=/(I)=-2a,符合题意；

当1VQ<C时,则1VQVa时,尸(%)V0,/(%)在［l,a］上单调递减，

aV%Ve时，//(%)>0,/(%)在［a,e］上单调递增,

故/(%)疝九=/(a)</(I)=-2a,不符合题意；

当QNe时,f(x)<0,/(%)在［l,e］上单调递减,

故勿=f(e)</(I)=-2a,不符合题意；

综上，可知a的取值范围为

18.解：(I)由/+8+C=兀可得：sin(i4+8)=sin(7r—C)=sinC,sin^^-=sin^y^=cosp

Xasin(i4+8)=csin^^-,得asinC=ccos^,

由正弦定理得sin/sinC=sinCcos^

因为0<C<TI,所以si?iCH0,所以sinA=cosp

所以2si7i?cos?=cosp

因为0</<7T,所以0V9<5则cos^HO,

所以sin］=:，即曰=£所以

LLZO5

(II)解法一：设ATlBn的4B边上的高为上，△4DC的4C边上的高为修

因为S—BQ=3s△aoc，c=3，b=1,

所以9c.h1=3X/.九2,

所以七=电，40是△ABC角/的内角平分线，所以

因为S^ABD=3s—oc，可知SMBQ=74S^ABC，

所以2x3xZDxsin7=?x2x3xlxsin2

L6423

所以4。=岁.

4

解法二：设N8AD=a(0VaV»则"AC=尹a,

因为S—BO=3s△zoc，c=3,b=1,

所以2cxADxsina=3x-bxADxsin(--a),

所以sina=sin(^—a),

所以sina=^-cosa—^sinaf•••tana=亨，

因为。<仇<§，所以NBA。=S*BD=3s△AQc，可知S-BQ=^^ABC9

所以2x3xZDxsing=gx2x3xlxsing

Z64，3

所以4D=qi

4

解法三：设/。=%,4BDA=a,则N4DC=7T-a,

在△ABC中，由c=3,b=1及余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA,

所以a=V-7,

因为SMBO=3s△4oc，可知3。=3DC——,

在aZBD中标=BD2+AD2-2BD•AD•cosa,

即9=H+402—~Y~•AD•cosa①

在^ADC中，1=/+AD2——二•AD.COS(TT—a)，

16L

即1=三+AD2+g-AD-cosa，

16L

①②结合，可解得力。=厚.

4

19.解：(1)曲线y=/(久)在点(1,-2)处的切线为72-切线，另一个公共点的坐标为(3,4),

则该切线的斜率为空2=3,

D-1

因此广(1)=3.

(2)由y=%3—3/求导得y，=3%2—6%,

3

则曲线y=x-3M在(%。,端-3部)处的切线方程为：y-(%o-3就)=(3%o-6x0)(x-%。)，

32

令h(%)=%—3%—(3%o—6x0)x+3%o—6诏—若+3%Q,

2x

整理得h(%)=(x-x0)(+2x0-3),

此切线为71-切线，等价于方程九(%)=0有且仅有一个根，即久。=3-2&,即%。=1,

所以曲线y=x3-3"的7\一切线仅有一条，为y=-3%+1.

(3)由(％+sinxY=1+cosx,

得曲线y=/(%)在点CfO)处的切线方程为：y-t-sint=(1+cost)(%-t),即y=(1+cost)%+

sint—tcost,

令0(%)=(%+sinx)—[(1+cost)x+