新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第12讲新高考新结构命题下的

解三角形解答题综合训练

(10类核心考点精讲精练)

I传.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版

块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适

中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第16、17题这样的中等大题中，

此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,

以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、面积及最值

1.（2024•河南焦作,模拟预测）记的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知点尸为线段/C上

2

的一点，且/尸=26户，BF=2,asin^4+csinC-sinS=jasinC.

(1)求cos/48c的值;

（2）求。8C面积的最大值.

【答案】⑴g

⑵容

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.

（2）由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出。8C面积的最大值.

【详解】（1）

b.A.「7.n2.厂

因为a=-^-=2R,QsinZ+csmC—匕sin6=—asinC

sin/sin8sinC3

b2c

则Q•」-+(>—--b---=—a---,化简得益+c2-62=*ac,

2R2R2R32R3

22人2乙

由余弦定理得，cosNNBC=o。-H

2QC2Cac3勺

(2)在08C中，cosZ^C=1,ZABCe(0,Ti),

则sinZABC=71-cos2=Jl一(J=,

由/尸=2CF得，BF=BA+AF=BA+-AC=BA+-\BC-BA\=-BA+-BC,

33V733

22

^BF=-BA+-BC,所以疗二f，说+2弱=lc+-a+2x-x-acx-=4.

33(33199333

4

由基本不等式，得go?+Q2

9-+2x—x—cicx—=4N2x—x—ucH----ac

3333327

即当且仅当c=2a,即”=城，,=亚时等号成立，

442

所以“8C的面积S=LacsinN/3C4！x幺*逑=迪，

22434

故当c=々R,a=时，”8C面积的最大值为逑.

244

2.(2024•贵州铜仁•模拟预测)在△45C中，已知tan/+tanB+l=tan/・tan3,AB=2也，AC=243-

⑴求角8；

(2)若。台。为锐角三角形，^GA+GB+GC=f),求△G45的面积.

【答案】⑴8=］或年

(2)SAG«B=f+1

【分析】(1)利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出tanC,再利用正弦定理求出角8；

⑵根据基+瓦+灵=。得到点G为三角形重心，由%〃直接求解即可.

【详解】(1)tanA+tanB=tanA-tanB,

「在三角形中，tanA+tanB^0，

tanA+tanB1/,,

...tan/tanB",■■._ianA,twB=-^：•tan(N+3)=-1,

在443c中，A+B+C=n,

tanC=-tan(A+5)=1,

Jr

又0＜。＜兀，c=~,

4

•••AC=b=2A/3，AB=c=2V2，

由正弦定理」4=4=-^,得,布衣加也。2"以百，

sinAsmBsinCsin〃=------=---尸—=--

c2j22

7.n兀52兀

b＞c,■■B=

（2）因为。BC为锐角三角形，所以5=1，

GA+GB+GC=O,

点G为三角形。8c重心，

所以S-GAB=AB-AC-sinA,

又;sin（5+C）=sin/=,

所以邑GHB亚・2道,痛;亚=?+l,

所以△G/B的面积为@+l.

3

3.（2024・全国•模拟预测）在“8C中，AB=2BC.

3

（1）若cosB=y,求tan4；

（2）若力C=2,求。5C面积的最大值.

4

【答案】⑴亍

(2)|

4

【分析】（1）解法一先利用同角三角函数基本关系求得sinB=y，再利用正弦定理结合两角和正弦公式化

简求解即可；

7

解法二结合已知利用余弦定理求得cos/=不，然后利用同角三角函数基本关系求解即可.

765

（2）利用余弦定理得cos2=又一，然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可.

4a2

【详解】（1）解法一因为cos2=|,所以sin8=Jl-cos23H|]=1.

r4R

在“BC中’由正弦定理得而7=法=2,

所以sinZ=5sinC=2sin（5+/）=5sin5cos^4+—cos5sin^4=—cos/+仿sin/,

4

所以7sinZ=4cosZ,则tan/=—.

7

解法二设/5=2Q,则BC=〃，

I913

*23222222

在AABC中，由余弦定理得AC=AB+BC-2AB-BCcosB=4a+a-—a=—af

.21322

力52+/。2-5。24aH----a—ci

57

所以/C=a,所以cos/=

2AB•AC4^/652

5-------a

〜…/sin/4

所以tan/=-------

cosA7

(2)由(1)中解法二可知8C=Q,AB=2a,

4B2+BC2-AC25a2-4

在A^BC中,由余弦定理得cos8=

2AB•BC4a2

所以S“BC=g4B,BCsinB=a2y/l-cos2B=J/_d=:J_9a4+叱一上

=-j-9L2-20T+256<4,当q二也时取等号，

4、l9J933

4

故^ABC面积的最大值为］.

4.(2024•全国•模拟预测)在中，内角4民。的对边分别为〃也c.已知

cos2B-cos2ZBAC=2sinC(sinC-sin5).

⑴求/B/C.

⑵若点。为边5C的中点，且/。=2,求小与。面积的最大值.

【答案】⑴:7T

⑵述.

3

【分析】(1)由二倍角公式化简已知等式，然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得/9C.

(2)由向量建立等量关系，结合基本不等式求得“8C面积的最大值即可.

【详解】(1)由二倍角公式，得l-2sin咽一(1一2sin2/A4c)=2sinC(sinC-sinB),

即sin2Z^C-sin25=sinC(sinC-sin5).

由正弦定理，得炉=02一防，即0?+/一/=儿.

I人口壬TmZR.。2+及—Q2be1

由弦定，付cosNBAC=---------=---=—.

2bc2bc2

JT

因为0</氏4。<兀，所以NA4C=—.

3

(2)因为点。为边8C的中点，所以2)万=就+方，

所以4AD2=~AC+~AB+21就||2g|cosZ^C,

即16=〃+，+儿之3bc,解得bc4-^~,当且仅当b=c=46时，等号成立.

33

grpic_1,•/n_退k/e16_4A/3

/TT以S4R0=-besin/B4c——be«—x—=-----,

3AC24433

所以A/8C面积的最大值为述.

3

5.(2024・全国•模拟预测)在“5C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=l.

⑴若C-8=五，c=6bsinC,求6;

(2)若(a+b)(sin4-sinfi)=(c-b)sinC,求AABC的面积S的最大值.

【答案】⑴#-1

⑵亘

4

JT

【分析】（1）根据正弦定理，由c=V^sinC得至hinC=V^sinSsinC，进而求得sinfi,再由C-2=石，求

得角8A,得到siM,再由正弦定理求得6；

（2）根据正弦定理角化边得到〃+°2-1=反，用余弦定理求得/,再根据基本不等式求得beW1,然后利

用三角形面积公式，即可求得S的最大值.

【详解】（1）■-c^42bsmC，由正弦定理得sinC=0sinBsinC，

又Ce（O,兀），所以sinCwO,所以sin5=*,

jr冗

又C-8F，所以5<C,所以8为锐角，所以8二，

「7L7L7Cr*r^I\।A兀兀5兀

C=----1—=—,所以4=兀------

124343n

5兀71+兀.717171.716+屈

故siib4=sin——=sinsin—cos—+cos—sin—=

12464644

lxV2

T7。b7asinB?01

X-，所ccr以l：=,<=F一a=。3-1.

sirUsinBsinA72+76

4

（2）因为（。+6）何田-$1而）=（0-6屈11。,

由正弓玄定理得（Q+b）（Q—b）=（。一b）c,即/+/—〃=6c,

匚匚i、I//+，—Q2be1

所以cos/=---------=——=-，

2bc2bc2

又4e（O㈤,所以4g

因为。之=/+c?—be,所以1=〃+，_历之2bc-be=be，

即6cW1,当且仅当b=c=l时等号成立，

所以S=L加sin^=」义且6c4立xl=1,当且仅当b=c=l时取等号,

22244

所以S的最大值是且.

4

考点二、周长及最值

1.（23-24高三•河北沧州,模拟）”8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,Jtan,asinB

b

⑴求角A的大小；

（2）若b+c=®,08c的面积为毡，求。3c的周长.

3

【答案】（1）/=与；

（2）273+2.

【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.

（2）利用三角形面积公式求出6c,再余弦定理列方程求解即得.

2tan/2sin4cos4

【详解】（1）依题意,=2sin4cos/

1+tan2Asin2T4+COS2A

在。8C中，由正弦定理得竺学_sinAsinB

=sin/,

bsinB

因此2sin/cos/=sin比,而sinZ>0,则cosA=—,又0</<兀，

2

所以/4.

(2)由A/8C的面积为毡，得」6csin/=3g,解得儿=?,

3233

由余弦定理得/=c2+b2-2bccosA=c2+b2-be=(b+c)2-3bc,

而6+0=百4,则。2=(Cap-8,解得。=2,b+c=2A/3,

所以AABC的周长为273+2.

2.(2024•河南新乡•二模)已知。8C的内角48,C的对边分别为。,瓦。,您£=誓~

c4b-a

⑴求sinC的值；

(2)若“8C的面积为姮，且a+6=^c,求O8C的周长.

23

【答案】⑴妪

4

(2)4+76

【分析】(1)根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得cosC=!，进而得到sinC的值;

(2)由若O8C的面积为姮，求得而=4,再由余弦定理，求得c=而，进而求得“8C的周长.

2

【详解】(1)解：因为小cosA上十#…/国/日cosCcosA

--------，由正弦定理得-----=------------

4b-asinC4sin5—sin力

可得4sinBcosC-sin4cosc=cossinC,

BP4sinBcosC=sin4cosC+cosAsinC=sin(4+C)=sinB,

因为3£(0,兀)，可得sin5〉0,所以4cosc=1,BPcosC=-,

4

所以sinC=Vl-cos2C-@5

4

(2)解：由(1)知sinC=姮，

4

因为若力的面积为姮，可得LqbsinC=姮，即工必、姮=姮，解得必二4,

222242

又因为Q+6=------0,

3

2222

由余弦定理得。?+b-2abcosC=(a+b)-2ab-2abx^=(a+b)-^ab=(^^-c)-10,

整理得。2=6,解得C=C，

所以a+6=2yxyj~6—4，

3

所以AABC的周长为Q+6+C=4+>/6.

C—r)S1T1/4

3.(2024・陕西•模拟预测)“BC的内角4瓦C的对边分别为a,6,c,--=—

a-bsinC+siiw

⑴求C;

(2)若a+b=6,求AA8C的周长最小值.

JT

【答案】(l)c=；

(2)9

【分析】(1)首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角C的值;

(2)根据(1)中等式结合基本不等式求周长的最小值.

siiL4a

【详解】(1)因为T，由正弦定理可得N

a-bsinC+sin5a-bc+b

整理得°2=Q6,

ab_1

由余弦定理知cosC=""七

lablab2

jr

且O<c<7t,所以c=§.

(2)由(1)可知：a2+b2-c2=ab,整理得c?=(a+b)2-3“6=36-3ab,

且成或=9,当且仅当a=6=3时，等号成立，

4

则/=36-3a6N9,BPc>3,可得a+b+c29,

所以。8c的周长最小值9.

4.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=4sin(x+ejcosx-l.

⑴求的最小正周期与图象的对称中心；

(2)在A/BC中，/(/)=1,8C=4,求“8C周长的取值范围.

【答案】⑴)=兀;(.-A'。[‘，"

⑵(8,12]

【分析】(1)易得/(x)=2sin12x+^J,再利用正弦函数的性质求解；

(2)由/'(4)=1,8C=4结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长

L^ABC=a+b+c=4+4cosC+^smC+^smC=8sin[c+t]+4,再利用正弦函数的性质求解.

V3.1、

【详解】(1)解：由题意得/(x)=4——sinx+—cosxcosx-1=2V3sinxcosx+2cos%-1,

=V3sin2x+cos2x=2sin

所以/(%)的最小正周期7号=兀;

令=标,左£Z,贝!]'=竺一±,左EZ,

6212

故/(x)图象的对称中心为[5-丘',0：左£Z.

(2)由/(/)=2sin[2/+e]=l,得5抽(22+.]=g,

「八，LL,I兀C,7113K

又0＜4＜兀，所以一＜24+一＜---,

666

所以2/+m=",则/=.则5+0=4.

O633

设。3。的内角4瓦c所对的边分别为4C,

6c48百

由正弦定理得sinfi-sinC一.兀一亍，

sin—

3

._8V3.„_8V3v.pn艮.「8』「

b=-----SIHD-------xsin------C—4cosCH--------sinC,c=------sinC,

33I3J33

则周长£=a+b+c=4+4cosC+sinC+sinC，

ZA33

=4+4cosC+4V3sinC=8sin|C+—|+4,

jr

因为ce,所以C+/e

o

故sin因止匕ABCe(8,12].

5」

5.(2024・陕西汉中•二模)在A/8C中，角N,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下列条件中选择一个条

件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.)

①记AA8C的面积为S,且。方•就=2S；②己知asinB=6cos(N-/).

6

⑴求角/的大小；

(2)若。8C为锐角三角形，且°=#，求“BC周长的取值范围.

【答案】⑴)=1;

⑵(3拒+跖3扃

【分析】(1)选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角

的余弦化简即得.

(2)利用正弦定理化6+c为角8的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.

【详解】(1)选条件①，由•就=2S,得樨ccos/=2x；6csin/,整理得tan/=VL而

0<Z<兀，

所以

选条件②，由Qsin8=bcos(4—四)及正弦定理，得sinZsin8=sinBcos(/--),

66

而sinB〉0,则sin4=005(4-己)=^^cosZ+gsin/,整理得tan/=百，而0<4<兀，

所以Z

兀b_c_a_娓/

(2)由(1)知"二可，由正弦定理得sin5sinCsin/.兀,

3sin—

3

因止匕b+c=2V2sinB+2后sinC=2V2[sinB+sin(y+B)]

=2A/2(-1sinB+cosB)=2y/6sin(B+.)

0<B<-

,解得因此〈冬,

由。3。为锐角三角形，得〈02+1

2兀7162363

0<------B<一

32

贝IJ组<sin(5+四)W1,于是3后<6+c«26，3近+瓜<"b+c43屈,

26

所以AABC周长的取值范围是(3A/2+V6,3A/6].

考点三、边长、线段及最值

1.(2024•陕西西安・模拟预测)在平面四边形48co中，NCBD=30。,NB4D=60。,BC=4,BD=26

(1)若40=48,求A/CD的面积.

⑵求/C的最大值.

【答案】⑴6

(2)2+26

【分析】（1）由题意计算出c。、4D及NADC,借助面积公式即可得；

（2）借助△N8D中3。定长，/54D定角，则△48。外接圆圆心到A点的距离为定值，再计算出圆心到

点C的距离，由三角形三边关系即可得.

【详解】（L）

由NCBD=30。，BC=4,BD=2。,

贝!ICD2=BD2+CD2-2BDCDcosACBD=4,

即CD=2,有CD2+BD2=CD2,故NBDC=90。,

由=ABAD=60°,则△48。为正三角形，

即有NO=AS=8。=2百，NADC=90°+60°=l50°,

则SAcn=-AD-CDsmzADC=-x243x2x-=43；

222

由2D=26，^BAD=60°,

作出△N8D外接圆，令圆心为O,

即有0/=。2=2,ADOB=2ABAD=120°,

180°—120°

贝I]ZDBO=--------------=30°,贝I]ZCBO=30°+30°=60°,

2

即有CO?=台。2+如一2"-8。cosNC8。=12,

即CO=2右，

贝U/C4/O+OC=2+2«,当且仅当A、。、C三点共线时等号成立,

即/C的最大值为2+26.

2.（2024・全国•模拟预测）在锐角。3C中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acos5=&(1+cos^4),

（1）证明：A=2B；

（2）求二的取值范围.

a

【答案】（1）证明见解析

rvi组

(2)\7

【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；

（2）由。BC是锐角三角形，可求出进而求出YZ<COSB<@,由正弦定理结合两角和的正弦

6422

c111

定理可得一=2cos5-^~令cosB=t,y=2t--,由y=2一丁的单调性即可求出答案.

a2cos62t2t

【详解】（1）由acos5=b（l+cos/）,结合正弦定理得sin力cosB=sinB（l+cos4）,

即sinAcosB-cosZsin5=sinB,

所以sin—5）=sin5,

所以力一8=5或（4—5）+5=兀（舍去），所以4=23.

TVTT7T

(2)在锐角A/BC中，0<8<,，0<A=2B<-,0<C=TT-35<-,

口口兀n兀bi、i"\/2

即:〈8〈;，所以——<cosB<——.

6422

csinCsin35sin2BcosB+cos2BsinB八八1

—=-......=--------=---------------；------------------=2cosB------------

asinAsin2Bsin2B2cosB

因为k2”［在上卷-上单调递增,

所以收一一，=¥'

所以晨(亚20

a

3.（2024•江苏扬州•模拟预测）记“BC的内角4民。的对边分别为。也c,若（a+b+c）（a+人-c）=3,且

“8C的面积为空.

4

⑴求角C;

(2)若诟=2而，求|。。|的最小值.

【答案】⑴2?冗

(2)逅

3

【分析】(1)借助余弦定理与面积公式可得广三=6,结合二倍角公式可得tanC=C,即可得解;

1+cosC2

(2)结合题意借助向量，可得函=；。+|而，结合模长与数量积的关系计算即可得

CD2=^b2+^a2-^,利用基本不等式即可得其最值.

【详解】(1)v(a+/>+c)(a+6-C)=3,3=(a+Z>)2-c2=a2+Z>2-c2+2ab

ab=—^-——-

结合余弦定理得3=2abcosC+2ab=2ab(l+cosC),

2(l+cosC)

_1,•_3j3sinC

-Sc“BC=-absmCr==V3,

1+cosC

cc

2sin—cos—「「

C71

KP-------22=tan；=5Xv—G故c吟;

cos2-222

2

—►1―►2—►

・・・祝2丽，：.CD=-CA+-CB,

CD2^[-CA+-CB\=-b2+-a2+-abcosC=-b2+-a2--,

U3J999993

22

X-62+-a22"一

993333

当且仅当b=2"=#时，CD长取最小值，此时CQ=

长的最小值为

3

4.(2024・江西鹰潭•二模)”8C的内角的对边分别为。，b,c,满足“£二=吗

cosAcosB

77

⑴求证：A+2B=~.

272

(2)求巴*的最小值.

c

【答案】⑴证明见解析，

(2)4>/2-5

【分析】⑴根据题意，化简得到疝(/+8)=3"噌-3,即可得证；

(2)由(1)知/=g-23且C=W+8,禾IJ用正弦定理得到y^=4cos2g+—W-5,结合基本不等式,

22c2cos2B

即可求解.

【详解】(1)证明：由^~'11"=sin',可得/#2E且sin/cosB+cos/sin8=cos5,

cosAcosB2

所以sin(/+8)=cos5=sin|--5I,

TTTT

因为43为三角形的内角，可得/+即/+22=],得证.

ITTT

(2)解：由(1)知4=----2B,且。=兀一4—8=—FB,

22

所以/+尸_si/Z+sii?2_cos?25+sin?8_Qcos。8-1)~+1-谒2

c1sin2Ccos2Bcos2B

所以之々=4COS23+-4--524收-5,当且仅当COS28=«1时，等号成立，

C-cos-B2

所以久久的最小值为4拒-5

C

5.(2024•全国•一模)已知443c的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,且ND是8c边上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-42b)sinC.

⑴求角力；

(2)若sin(3-C)=S，a=5,求皿

【答案】⑴/=；

(2)AD=6

【分析】（1）已知条件利用正弦定理角化边，化简后由余弦定理求出cos/,得角出

(2)由sin(5-C)=,sin(5+C)=^^,得sinBcosC=拒cosBsinC=?垃,tanB=^-tanC,得

10210102

3AF)ADAV)AV)

CD=-BD,有BD=2,CD=3,再由即tan5+tanC+l—tanBtanC=^+笥+l—器•奇=0,解出/£)

2

的值.

【详解】（1）△ASC中，(sinA-sinB)(a+b)=(c-41b)sinC,

由正弦定理,有(a-b)(a+b)=(c-6b)c,BPa1-b2=c2-y/lbc

得/+/_/y/lbc9

i22_24ibc_

由余弦定理，cosN」c一。

2bc2bc~~T

jr

由0<4<兀，得/=W

5

(2)sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=,

sin/=sin[兀一(8+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

解得sin5cosC=32,cosBsinC=2^，则瓦。都为锐角,

1010

.sinBcosC3/口「3「

有z---------=—,得tanB=—tanC,

cos5sinC22

锐角AABC中，AD.1BC,则有tanB=——,tanC=——

BDCD

3

贝IJCQ=5肛

又BC=a=BD+CD=5,得BD=2,CD=3,

由taM=Tan(2+C)=l,得含黑黑=7，即tan8+tanC+lTanBtanC=。,

2

ADAD_ADADADAD1AD八々刀/日s「

++1=Qf——+——+l--------=0,解得/。=6.

BDCDBDCD236

6.(2024•陕西西安•模拟预测)在OBC中，角4瓦。的对边分别为〃也。，已知

sinA=sinCcosB----sin5sinC,

3

⑴求角C的大小；

(2)若C的角平分线交48于点。，且C0=2,求。+26的最小值,

【答案】(i)c=m2兀

⑵6+40

【分析】(1)利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到tanC,由此得解;

(2)利用三角面积公式推得1+：=!，从而利用基本不等式"1"的妙用即可得解.

n

【详解】(1)因为sin/=sinCeos5----sin5sinC,

3

、V3

所以sinCeos5———sin5sinC=sin(C+5)=sinCcosB+cosCsinB,

所以一^^sinBsinC=cosCsinB,

3

由于0<5<兀，贝Usin5>0,所以一立sinC=cosC,即tanC=一百，

3

2兀

又Ce(0,7i),所以

(2)因为C的角平分线父43于点。，且CD=2,S—Be=SAACD+SMCD，

2711..711「A.71

——=—b・CD•sm—+—a•CD-sin—,

32323

.2717171

等式两边同除以2。69。可得sm《~sm—sm§,则工+；=：,

2F二b2

23+竺

贝lja+2b=2(a+2b)46+4V2,

Ia

当且仅当殳即6=2+收,a=2+2行时，等式成立,

ab

故a+2/>的最小值为6+4&-

考点四、三角函数值及最值

1.（2024・上海•三模）已知在448c中，角42,C所对的边分别为°,瓦c,6=l,且满足

2acosB=cosC+ccosB.

（1）若.=勺屿，求。BC的面积S；

13

⑵求Q+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值.

或*

【答案】

⑵最大值鸣f

【分析】（1）首先由余弦定理求出。，再结合三角形面积公式即可求解;

（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解.

【详解】(1)'：b=\,2acosB-cosC+ccosB,/.2acosB-bcosC+ccosB,

又•­,-T—=-7^—=-^―=2R,/.2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，

sinAsinBsinC

2sinAcosB=sin(B+C).

又丁在AASC中，B+C=it-A,AG(0,7i),2sin/cosB=sinZ,

因为sin4>0,所以cos5=

2

又••,在"SC中，5£（0,兀），-4

再由三角形的余弦定理得:b2=a2+c2-2accos51=a2+c2-ac

即C2_ML+A=0,解得,V13-3屈

=--^c=——

13131313

当c=*时,,s=LC巴画4号

221313213

u誓时,

S=—acsinB=I巫又叵乂巫=巫,

221313213

ab120

友sin/c=述sinC.

(2)sin4sinCsinB63

33

2

至smN+延smC=^s/c+U71+述4A/3smc

/.a+2c=

33333

坦(些smC+应cos-2721.9、/2M

=—sinC+cosC=-^―sm(C+^)<^—

331414

7

其中，sin（z?=-----，cos0=-------，°，大，

#1414I2j

・•・在中，BCe,

.•.当C+0=］时，。+2c取到最大值率，

un,c/兀）V2T

止匕日寸，cosC=cos\--（p\=svn（p=.

2.（2024•全国•模拟预测）设的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若

2sin2C=cosC-cos（4一8）+1.

（1）求“一："的值;

C

（2）若A48c为锐角三角形，求cosC的取值范围.

【答案】（1）2

【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦定理以及余弦定理公式，代入计算，即可得

到结果;

（2）根据题意，由余弦定理可得cosC=91?+2］,构造函数了=、+，［坐求导即可得到其值

域.

【详解】（1）因为2sin2c=cosCcos（