高考数学一轮复习：幂函数

专题3.4塞函数

练基础

1.（2021•全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）

A.累函数y=H是奇函数

B.基函数y=x2是偶函数

C.暴函数y=x既是奇函数又是偶函数

D.y=/既不是奇函数，又不是偶函数

2.（2020•上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在（-8,0）上单调递增的函数是（）

,_21-3

2D

A.y=B.y=_%3C.y=_x3-y=x

3.（2020.石嘴山市第三中学高二月考（文））基函数/（%）=（疗-2〃?+1卜2，“-1在（0产）上为增函数，则实

数加的值为（）

A.0B.1C.1或2D.2

4.（2020•上海高一课时练习）下面是有关幕函数/（幻=犷3的四种说法，其中错误的叙述是（）

A.〃龙）的定义域和值域相等B.〃无）的图象关于原点中心对称

C./（%）在定义域上是减函数D.7'（X）是奇函数

5.（2020・上海高一课时练习）若幕函数/（x）的图像经过点，则该函数的图像（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=%对称

6.（2019•延安市第一中学高三月考（文））己知事函数/（x）=x"的图像过点（g,乎），则方程/（x）=2的

解是（）

J71

A.4B.—C.2D.—

22

7.（2021.浙江高一期末）累函数"%）=（疗—2帆—2）”-2在（o,+⑹为增函数，则加的值是（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或—3

8.（2021•全国高一课时练习）下列结论正确的是（）

A.幕函数图象一定过原点

B.当。<0时，幕函数>=/是减函数

C.当。>1时，幕函数y=9是增函数

D.函数y=炉既是二次函数，也是塞函数

9.（2021•全国高一课时练习）幕函数的图象过点（3,g）,则它的单调递增区间是（）

A.[-1,+oo）B.[0,+oo）

C.（-co,+co）D.（-oo,0）

10.（2021.全国高三专题练习）下列关于募函数图象和性质的描述中，正确的是（）

A.累函数的图象都过（1,1）点B.募函数的图象都不经过第四象限

C.事函数必定是奇函数或偶函数中的一种D.幕函数必定是增函数或减函数中的一种

练提升

1.（2020•内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若b=,c=1,贝UeA,c的大

小关系是（）

A.a<Zb<.cB.c<a〈b

C.b〈c〈aD.b<.a<ic

m

2.（2019•湖北高三高考模拟（理））塞函数f（x）=乂机的图象过点（2,4）,且。b=（1）,c=-logm3,

则a、b、c的大小关系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.(2021.全国高三专题练习)已知累函数/(x)=满足2/(2)=/(16),若a=/(log42)"=/(in2),

c=/卜得)，则。，b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

4.（2021.安徽高三二模（理））函数/（x）=x"a"其中a>l,n>l,〃为奇数，其图象大致为（）

5.（2021•新疆高三其他模拟（理））若实数加，〃满足加>〃，且即。0,则下列选项正确的是（）

A.m3-n3>0B.

11

C.Ig(m-n)>0D.—<—

mn

6.【多选题】（2020•新泰市第二中学高二月考）已知函数/（无）=丁图像经过点（4,2）,则下列命题正确的有

)

A.函数为增函数B.函数为偶函数

/(石)+/(%)%+%2

C.若X>1,则〃x)>lD.若0<再<%2，则

22

JTr>0

7.【多选题】（2021•湖南高三月考）已知函数/（%）=</,若关于％的方程/«=a有且仅有一个

xe,x<0

实数解，且幕函数g（x）=x"在（0,+“）上单调递增，则实数。的取值可能是（）

1

A.1B.-C.2D.e

e

8.（2019•上海高考模拟）设必€怖彳,一1,一2,3卜若f⑺=娉为偶函数，则戊=

9.（2021•全国高三专题练习（理））已知幕函数丁=炉片9meN*）的图像关于y轴对称，且在（0,+“）上

函数值随着x的增大而减小.

（1）求机值.

（2）若满足（〃+1）2加〈（3—2。）2加，求Q的取值范围.

10.(2021•浙江高一期末)已知累函数/(%)=(m—l)2x"/T"，+2在(0,+co)上单调递增，函数g(x)=2x—左.

(1)求徵的值；

(2)当xe[l,2)时，记/(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设夕：％eAq:xe5,若〃是q成立的必要

条件，求实数上的取值范围.

(3)设砥x)=/(x)-依+1-左2,且无)|在[0,1]上单调递增，求实数上的取值范围.

练真题

1.(2019•全国高考真题(理))若a>6,则()

A.ln(a-Z?)>0B.3y3〃

C.a3-4Z>3>0D.\a\>\b\

3

/(x)={x，x.0,

X<°•若函数g(x)=/⑴一收一2%|(keR)恰有4

2.(2020•天津高考真题)已知函数〔一乂

个零点，则左的取值范围是()

(2"+8)B.^-co,--jl(0,2A/2)

A.m

C.(―8,0)(0,2在D.(—co,0)(2^/^,+8)

2

3.(2020•江苏图考真题)已知产心)是奇函数,当归0时,〃司=户，则斤8)的值是—.

4.(2018•上海卷)已知aEj—2,—1,—1,

.若幕函数Ax)=/为奇函数，且在(0,+8)

上递减，贝Ua=.

x2,X<1

5.(浙江省高考真题(文))已知函数/(%)={6，则/「/(—2)]=_________,/(力的最

XH----6,x>1

X

小值是.

6.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a),尸是函数y=1(尤>0)图象上一动点.若

点P,A之间的最短距离为2&,则满足条件的实数。的所有值为.

专题3.4塞函数

练基础

•/

1.（2021•全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）

A.寻函数y=P是奇函数

B.幕函数y=x2是偶函数

C.基函数产x既是奇函数又是偶函数

D.y=二既不是奇函数，又不是偶函数

【答案】C

【解析】

根据奇偶函数的定义依次判断即可.

【详解】

因为所以A正确；

x一尤尤

因为（一%）2=炉,所以B正确；

因为-x=x不恒成立，所以C不正确；

1

因为,二元5定义域为［0,+00）,不关于原点对称，所以D正确.

故选：C.

2.（2020・上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在（-8,0）上单调递增的函数是（）

_221_3

_%3_3D

A.y=-XB.y=C.-y=x->=X

【答案】B

【解析】

A:y=--为偶函数，且在（0,+。）上递增，即>=-婷在（_8,o）上单调递减，排除；

2

B:y为-偶函x数，在（—8,0）上单调递增；

i

C：y-x为奇函数，故排除；

D:y=X-3为奇函数，故排除.

故选:B.

3.(2020・石嘴山市第三中学高二月考(文))幕函数/(%)=(加-2〃?+1卜2止1在@8)上为增函数，则实

数m的值为()

A.0B.1C.1或2D.2

【答案】D

【解析】

由题意，(尤)为幕函数，所以m2—2根+1=1，解得机=0或加=2.

因为/(x)在(0,8)上为增函数，所以2加一1〉0,即根〉：，所以加=2.

故选D.

4.(2020・上海高一课时练习)下面是有关累函数/(%)=犷3的四种说法，其中错误的叙述是()

A.〃龙)的定义域和值域相等B.〃尤)的图象关于原点中心对称

C./(%)在定义域上是减函数D./(》)是奇函数

【答案】C

【解析】

/(X)=，3,函数的定义域和值域均为(7),0)D(0,48),A正确；

33

/(x)=，3,/(-%)=(_%)-=-x-=-/(%),函数为奇函数，故BD正确；

/■(X)在(-8,0)和(0,+功是减函数，但在(-8,0)5。,48)不是减函数，C错误.

故选：C.

5.(2020・上海高一课时练习)若幕函数“X)的图像经过点,则该函数的图像()

A.关于无轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线对称

【答案】B

【解析】

设/(x)=x"，依题意可得(g)"=4,解得£=—2,

所以/(x)=X~2,因为f(-x)=(一X)-2=x~2=f(x),

所以/（%）为偶函数，其图象关于y轴对称.

故选：B.

6.（2019•延安市第一中学高三月考（文））已知暴函数/（x）=/的图像过点（；,等），则方程/。）=2的

解是（）

A.4B.—C.2D.—

22

【答案】A

【解析】

依题意得（g）&=乎，解得a=g,所以f（x）=£，

由/（x）=2得;_解得％=4.

故选：A.

7.（2021•浙江高一期末）鼎函数"%）=（苏—2帆—2）”-2在（0,+◎为增函数，则加的值是（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或—3

【答案】B

【解析】

由幕函数解析式的形式可构造方程求得加=-1或机=3,分别验证两种情况下/（%）在（0,+。）上的单调性

即可得到结果.

【详解】

/（无）为幕函数，2根—2=1，解得：加=—1或7〃=3；

当切=—1时，f（x）=x',则/（%）在（0,+8）上为减函数，不合题意；

当机=3时，/（%）=/,则/（%）在（0,+“）上为增函数，符合题意；

综上所述：771=3.

故选：B.

8.（2021•全国高一课时练习）下列结论正确的是（）

A.幕函数图象一定过原点

B.当。＜0时，累函数丁=/是减函数

C.当。＞1时，塞函数＞=/是增函数

D.函数既是二次函数，也是基函数

【答案】D

【解析】

由函数丁=二|的性质，可判定A、3不正确；根据函数＞=必可判定c不正确；根据二次函数和暴函数的

定义，可判定D正确.

【详解】

由题意，函数y的图象不过原点，故A不正确；

函数y=在(-8,0)及(0,+co)上是减函数，故8不正确；

函数y=必在(-°0,0)上是减函数，在(0,+℃)上是增函数，故C不正确；

根据塞函数的定义，可得函数y=/是二次函数，也是基函数，所以D正确.

故选：D.

9.(2021•全国高一课时练习)塞函数的图象过点(3,g),则它的单调递增区间是()

A.[-1,+oo)B.[0,+oo)

C.(-co,+co)D.(-oo,0)

【答案】B

【解析】

根据利用待定系数法求出募函数的解析式，再根据募函数求出单调增区间即可.

【详解】

设塞函数为70)=严，

因为累函数的图象过点(3,73)，

所以13)=3。=^/^=3万,

解得

2

所以r2，

所以幕函数的单调递增区间为［0,+00）.

故选：B

10.（2021•全国高三专题练习）下列关于幕函数图象和性质的描述中，正确的是（）

A.幕函数的图象都过（1,1）点B.幕函数的图象都不经过第四象限

C.塞函数必定是奇函数或偶函数中的一种D.募函数必定是增函数或减函数中的一种

【答案】AB

【解析】

举反例结合基函数的性质判断即可.

【详解】

因为产=1，所以的幕函数都经过（LD，故A正确;

当x>0时，产>0,幕函数的图象都不经过第四象限，故B正确；

y=f的定义域为［0,48）,为非奇非偶函数，故C错误；

y=：在（—8,0）和（0,+8）上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D错误.

故选：AB

练提升

1.（2020•内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若6=.了，c=f,贝i］0,b,

C的大

小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b〈c〈aD.b〈a〈c

【答案】D

【解析】

Vy=x|（x>0）是增函数，

"•'yX是减函数,.\b<a<c.

故本题答案为D.

7nm

2.（2019•湖北高三高考模拟（理））哥函数/O）=x的图象过点（2,4）,且a=6窘b=（|）,c=—10gm3,

则a、b、c的大小关系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】c

【解析】

事函数/（久）=的图象过点（2,4）,

27n=4,0=2；

1_

/.a=m2=V2>1，

仁（尹十（0,1），

c=-logm3=-log23<0,

.,.V2>->-log3,

92

.\a>b>c.

故选：C.

3.（2021.全国高三专题练习）已知正函数量（x）=x"满足2/（2卜〃16），若a="log,2）,b=f（\n2）,

c=/（54）,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

由2/（2）=”16）可求得a=；,得出/（九）单调递增，根据单调性即可得出大小.

【详解】

由2/（2）=/。6）可得2.2。=24a，，l+a=4a,

/.a=1,即/（%）.由此可知函数/（九）在R上单调递增.

,clogo21,-log,211

而由换底公式可得log42=：j~~"―=-,ln2=-~~―,52=-j=

log242log2eV5

log,2log,2

,/1<log,e<2,：.-~~,于是Iog42<ln2,

log24log,e

11,

又：7不<5,，52<log42,故。，b,c的大小关系是b>a>c.

故选：C.

4.（2021•安徽高三二模（理））函数/（尤）=九"优，其中。>1,n>l,"为奇数，其图象大致为（）

【答案】B

【解析】

分析了（无）在（0,+"）、（F,0）上的函数值符号，及该函数在（0,+"）上的单调性，结合排除法可得出合适

的选项.

【详解】

对任意xeR,优>0，由于〃>1,"为奇数，当x<0时，xn<Q，此时/（龙）<0,

当x>0时，£>0,此时/（九）>0,排除AC选项；

当x>0时，任取再、9w（°，+°°）且玉〉々，则",>4*>（），xf>%2>0,所以/（%）>/（%2），

所以，函数/（x）在（0,+。）上为增函数，排除D选项.

故选：B.

5.（2021•新疆高三其他模拟（理））若实数加，〃满足根〉”，且加。0,则下列选项正确的是（）

A"-屋。B.

C.Ig（m-n）>0D.—<—

mn

【答案】A

【解析】

利用幕函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.

【详解】

解：：函数＞在XGR时单调递增，且冽＞",.•.帆3-九3＞0，故A正确；

:函数》=（；）"，在X£R时单调递减，且加〉〃，・・・（；广＜（；）〃，故B错误；

当m=1,〃=；时，1g（加一〃）=lg；＜0,故C错误；

当根=1,〃=—1时，-=1＞—=—1,故D错误；

mn

故选：A.

6.【多选题】（2020•新泰市第二中学高二月考）已知函数/'（力=工。图像经过点（4,2）,则下列命题正确的有

（）

A.函数为增函数B.函数为偶函数

C.若刀＞1,则〃x）＞lD.若0＜西＜々，则〃.）；/（%）＜/广；々］.

【答案】ACD

【解析】

将点（4,2）代入函数〃#=y得：2=4°，则

1

所以1（九）=/＞

显然/（无）在定义域［0,+8）上为增函数，所以A正确.

/（X）的定义域为［0,+s）,所以“X）不具有奇偶性，所以B不正确.

当x＞l时，石〉1，即所以C正确.

当若0＜X］＜4时，

（/（“I）+/（“2））2_（（X1+工2）2_+

菁+尤2、2

-(•

2,

%+%2+X1+X2

4——^

即/(西)；/(々)</[^^]成立,所以D正确.

故选：ACD.

%>0

7.【多选题】(2021•湖南高三月考)已知函数/(%)=<'，若关于元的方程/(')=〃有且仅有一个

xex,x<0

实数解，且基函数g(X)=X”在(0,+8)上单调递增，则实数。的取值可能是()

1

A.1B.-C.2D.e

e

【答案】AD

【解析】

作出了(X)的图象，根据方程根的个数判断参数。的取值，再结合函数g(x)=x"在(0,+。)上单调递增，即

可求解出结果.

【详解】

当xWO时，f(x)=xex,/f(x)=ex(x+l),当x<-L时当-l<x<0时/，(x)>。

所以/(x)=x/在(f),一1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，最小值为/(-

所以/(X)的图象如图所示，因为/>(X)=a有且仅有一个实数解，即y=/(x)的图象

与V=a有且只有一个交点，所以ae[e,+8).11,0,一：1,

又因为g(x)=x“在(0,+")上单调递增，所以a>0,所以aw[e,+8){1}.

故选：AD

8.(2019•上海高考模拟)设a6&[,—1,—2,3卜若/⑺=一为偶函数，则a=.

【答案】-2

【解析】

由题可知，a=—2时，fM=x-2,满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；

a=己弓，一1,3时，不满足f(-x)=f(x),

•*,cc——2.

故答案为：-2.

9.(2021•全国高三专题练习(理))已知哥函数y=%3时9(^eN*)的图像关于y轴对称，且在(0,+。)上

函数值随着尤的增大而减小.

(1)求加值.

(2)若满足(a+l)2"<(3—2a)2",求a的取值范围.

【答案】(1)m=l；(2)u(4,+co).

【解析】

(1)由题意可知3m—9为负偶数，且加eN*，即可求得加值；

(2)将所求不等式化为(“+1)2<(3—2a)2,求解，即可得出结果.

【详解】

(1)因为函数y=x3m-\meN*)在(0,+。)上单调递减,

所以3加—9<0，

解得m<3.

又因为mwN*，所以相=1,2；

因为函数的图象关于,轴对称，

所以3加一9为偶数，故加=1.

2

(2)由(1)可知，根=1,所以得+<(3—2〃)2,解得Q>4或

即a的取值范围为D(4,+GO).

10.(2021.浙江高一期末)己知嘉函数/(x)=O—1)2——+2在(0,+co)上单调递增，函数g(x)=2%-左.

(1)求机的值；

(2)当xe[l,2)时，记/(x),g。)的值域分别为集合A,B,设夕：％e:xe5,若〃是q成立的必要

条件，求实数上的取值范围.

(3)设砥x)=/(x)-依+1-左2,且|尸(幻|在[0,1]上单调递增，求实数上的取值范围.

【答案】(1)m=0：(2)0<^<1；(3)[-1,0][2,-w)

【解析】

(1)由幕函数的定义(m-1)2=1,再结合单调性即得解.

(2)求解/(X),g(x)的值域，得到集合A,B,转化命题P是q成立的必要条件为3口4,列出不等关

系，即得解.

kk

(3)由(1)可得E(x)=f—乙+1—k2,根据二次函数的性质，分类讨论»«0和两种情况，取并

集即可得解.

【详解】

(1)由募函数的定义得：=〃2=0或加=2,

当m=2时，/(%)=犷2在(0,+8)上单调递减，与题设矛盾，舍去；

当机=0时，/(》)=必在(0,+8)上单调递增，符合题意；

综上可知：m=0.

(2)由(1)得：f(x)=x2,

当xe[l,2)时，f(x)G[l,4),即4=[1,4),

当xe[l,2)时，g(尤)e[2-左,4-左)，即5=[2—左,4-左)，

[2-k>l[k<l

由命题。是4成立的必要条件，则5uA,显然贝IJ,,,，即八，

—4-k<4^>0

所以实数人的取值范围为：0W左W1.

(3)由(1)可得歹(；0=必—6+1—左2,二次函数的开口向上，对称轴为％=_|,

要使I尸(x)l在[0,1]上单调递增，如图所示:

BP|-°或,解得：或左"

F(0)>0[F(0)<0

所以实数人的取值范围为：[—1,0][2,y)

练真题

•/

1.(2019•全国高考真题(理))若a>6,则()

A.ln(a-Z?)>0B.3y3"

C.a3-Z>3>0D.|a|>|Z)|

【答案】C

【解析】

取a=23=1,满足。＞万，ln(a—b)=。，知A错，排除A；因为9=3"＞3)=3，知B错，排除B；取

a=l,b=-2，满足。＞6,1=问＜网=2,知D错，排除D,因为幕函数y=三是增函数，。＞匕，所以/＞匕3,

故选C.

£(、x.O,

fW=jX＜°•若函数=/⑴一收一2耳(keR)恰有4

2.(2020•天津高考真题)已知函数〔一羽

个零点，则左的取值范围是()

A.j(2&,+co)—co,一万；(0,2收)

B.

c.(-8,0)(0,2⑶D.(7,0)(2"+8)

【答案】D

【解析】

注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I履-2|=乎?恰有3个实根

l-v|

即可，

令/?(x)=,即y=|依—21与h(x)=么?的图象有3个不同交点.

\x\|x|

,、f(x)x2,%>0

因为/z(x)=一丁=1,

|x|[1,x<0

当左=0时，此时y=2,如图1,y=2与五(%)=△。有2个不同交点，不满足题意；