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2021年国际奥林匹克数学竞赛试题分享一、代数试题1.已知实数x,y满足x^2+y^2=1,求证:x^4+y^4≥1/2。二、几何试题2.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(3,4),C(5,6),求三角形ABC的面积。三、组合数学试题3.一个袋子里有10个红球和15个蓝球,每次从中随机取出一个球,取出后不放回,求连续取出3个红球的概率。四、数论试题4.已知正整数a,b,c满足a+b+c=2021,且a、b、c互不相同,求满足条件的a、b、c的组合数量。2021年国际奥林匹克数学竞赛试题分享一、代数试题1.已知实数x,y满足x^2+y^2=1,求证:x^4+y^4≥1/2。二、几何试题2.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(3,4),C(5,6),求三角形ABC的面积。三、组合数学试题3.一个袋子里有10个红球和15个蓝球,每次从中随机取出一个球,取出后不放回,求连续取出3个红球的概率。四、数论试题4.已知正整数a,b,c满足a+b+c=2021,且a、b、c互不相同,求满足条件的a、b、c的组合数量。一、代数试题解析1.对于第一题,我们可以利用平方差公式和基本不等式来证明。根据平方差公式,我们有x^4y^4=(x^2+y^2)(x^2y^2)。由于x^2+y^2=1,我们可以将上式化简为x^4y^4=x^2y^2。然后,利用基本不等式,我们有x^2+y^2≥2xy,即x^2y^2≥2xyy^2。由于x^2+y^2=1,我们可以将上式化简为x^2y^2≥2xy1。因此,我们有x^4y^4≥2xy1。由于x^2+y^2=1,我们可以将上式化简为x^4+y^4≥2xy1。利用基本不等式,我们有2xy≤x^2+y^2=1,因此x^4+y^4≥2xy1≥1/2。这就证明了原命题。二、几何试题解析2.对于第二题,我们可以利用海伦公式来求解。根据海伦公式,我们有S=√[p(pa)(pb)(pc)],其中p=(a+b+c)/2是半周长。将点A、B、C的坐标代入,我们可以计算出三角形ABC的边长a、b、c,进而计算出半周长p。然后,代入海伦公式,即可求出三角形ABC的面积。三、组合数学试题解析3.对于第三题,我们可以利用概率乘法原理来求解。第一次取出红球的概率是10/25,第二次取出红球的概率是9/24(因为第一次取出红球后,袋子里只剩下9个红球和15个蓝球),第三次取出红球的概率是8/23(因为前两次取出红球后,袋子里只剩下8个红球和15个蓝球)。因此,连续取出3个红球的概率是10/259/248/23。四、数论试题解析4.对于第四题,我们可以利用枚举法来求解。由于a、b、c互不相同,我们可以枚举a的可能取值,然后对于每个a的取值,枚举b的可能取值,计算c的取值。需要注意的是,由于a、b、c的和为2021,我们需要确保c的取值在合理范围内。通过枚举法,我们可以计算出满足条件的a、b、c的组合数量。2021年国际奥林匹克数学竞赛试题分享一、代数试题1.已知实数x,y满足x^2+y^2=1,求证:x^4+y^4≥1/2。二、几何试题2.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(3,4),C(5,6),求三角形ABC的面积。三、组合数学试题3.一个袋子里有10个红球和15个蓝球,每次从中随机取出一个球,取出后不放回,求连续取出3个红球的概率。四、数论试题4.已知正整数a,b,c满足a+b+c=2021,且a、b、c互不相同,求满足条件的a、b、c的组合数量。一、代数试题解析1.对于第一题,我们可以利用平方差公式和基本不等式来证明。根据平方差公式,我们有x^4y^4=(x^2+y^2)(x^2y^2)。由于x^2+y^2=1,我们可以将上式化简为x^4y^4=x^2y^2。然后,利用基本不等式,我们有x^2+y^2≥2xy,即x^2y^2≥2xyy^2。由于x^2+y^2=1,我们可以将上式化简为x^2y^2≥2xy1。因此,我们有x^4y^4≥2xy1。由于x^2+y^2=1,我们可以将上式化简为x^4+y^4≥2xy1。利用基本不等式,我们有2xy≤x^2+y^2=1,因此x^4+y^4≥2xy1≥1/2。这就证明了原命题。二、几何试题解析2.对于第二题,我们可以利用海伦公式来求解。根据海伦公式,我们有S=√[p(pa)(pb)(pc)],其中p=(a+b+c)/2是半周长。将点A、B、C的坐标代入,我们可以计算出三角形ABC的边长a、b、c,进而计算出半周长p。然后,代入海伦公式,即可求出三角形ABC的面积。三、组合数学试题解析3.对于第三题,我们可以利用概率乘法原理来求解。第一次取出红球的概率是10/25,第二次取出红球的概率是9/24(因为第一次取出红球后,袋子里只剩下9个红球和15个蓝球),第三次取出红球的概率是8/23(因为前两次取出红球后,袋子里只剩下8个红球和15个蓝球)。因此,连续取出3个红球的概率是10/259/248/23。四、数论试题解析4.对于第四题,我们可以利用枚举法来求解。由于a、b、c互不相同,我们可以枚举a的可能取值,然后对于每个a的取值,枚举b的可能取值,计算c的取值。需要注意的是,由于a、b、c的和为2021,我们需要确保c的取值在合理范围内。通过枚举法,我们可以计算出满足条件的a、b、c的组合数量。2021年IMO的试题也展示了一些新的数学思想和方法,如数论中的“中国剩余定理”在组合数学中的应用,以及几何中的“平面几何变换”在解决复杂几何问题中的应用。这些新的数学思想和方法不仅提高了试题的难度,
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